必修五余弦定理

B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
算一算试试！
证明
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：
cosB= c2+a2 - b2 2ca
cosC= a2+b2 - c2 2ab
想一想：余弦定理在直角三角
形中是否仍然成立？
cosC=
a2+b2-c2 2ab
C=90°
a2+b2=c2
cosA=
b2+c2-a2 2bc
cosB=
c2+a2-b2 2ca
cosA= —cb cos B= —c
剖析 剖 析 定 理
解 : 原 式 s i n 2 7 0 0 s i n 2 5 0 0 2 s i n 7 0 0 s i n 5 0 0 c o s 6 0 0
sin2 600 3 4
剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 +c2 -a2 2bc
∴ c 2=a 2+b 2-2 a b c o s C
证明
rr rr
格式二：逆用公式 ababcos
证明： b2 + c 2 －2 b c ·cos A
2
2
= AC ＋ AB －2· AC ·AB ·cos A
2
2
= AC + AB －2· AC ·AB
C
B
2
=（ AC － AB ）
A
2
= BC
2
A 2 B ( b cC o a s )2 (b sC i n 0 )2
b 2 c2 C o 2 a s cb C o a 2 s b 2 s2 i C n
a2b22acboCs
∴ c 2=a 2+b 2-2 a b c o s C
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
b A
C
a 2 C D 2 B D 2
(b sinA )2 (c b co sA )2
a b 2 s in 2 A c 2 b 2 c o s 2 A 2 b c c o s A
复习 直角三角形中的边角关系：
1、角的关系：
A
A+B+C=180°
A+B=C=90 °
c b 2、边的关系：
a2+b2=c2
B
a
C
3、边角关系： sinA= —ac =cosB
sinB = —b = cosA c
看一看想一想
直角三角形中的边a、 b不变， 角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB
b2 c2 a2 coAs
2bc coBs a2c2b2
2ac
c2=a2+b2-2abcosC coCsa2b2 c2
2ab
cosB= awenku.baidu.com +c2 -b2 2ac
cosC= a2 +b2 -c2 2ab
们的夹角，求第三 a2=b2+c2-2bccosA
边和其他两个角.
b2=a2+c2-2accosB
c
b 2 c2 2 b cco sA
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
c2a2b22 acbo Cs
A
证明：ABACCB
b
c
A•B A B (A C C)• B (A C C)B
A•C A C 2 A•C C B•C BC Ba
B
u u r2u u r2 u u ru u r
u u r2
∴ A B= A C+ 2 A C C B c o s ( 1 8 0 0 - C ) + C B
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍。
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B
aC
变形
c2=a2+b2-2ab·cosC
cosA= b2+c2 - a2 2bc
得:a2RsinA b2RsiB nc2Rs iC n
代a入 2b2c22bcoAs并化:简得 s2 i A n s2 B i n s2 C i n 2 sB i sn C i c n A os
练 习 : 求 s i n 2 7 0 0 s i n 2 5 0 0 s i n 7 0 0 s i n 5 0 0 的 值 .
A 90 0a 2 b 2 c 2
A 9 0 0 a 2 b 2 c 2
P14例3
A 9 0 0a 2 b 2 c 2 P15练习2,3
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子 a2b2c22bcco As 转化为角的关系式？
分析： 由正 : 弦 a定 b理 c 2 R siA nsiB nsiC n
同理可证：
= BC
=a2
b2=a2＋ c2－ 2· bc· co Bs
c2=a2＋ b2－ 2· abcoCs
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C (0, 0) B (a , 0) A(bcosC,bsinC)