合工大2017级研究生《数值分析》试卷_A_解答

合肥工业大学研究生考试试卷

课程名称

数值分析

考试日期

学院

全校2017级研究生

姓名

年级

班级

学号

得分

一、计算题 (每小题5分，满分共30分) 1. 已知近似值

*120.10

m

n x a a a =×"有5位有效数字，试求其相对误差限。

P22练习6.(1)(2) 设

*

120.10m

n x a a a =±×"，

*1

*

*

110.5100.5101100.102m l m l l m x x a a x x

−−−+−××≤≤=×× 441

1100.5102a −−=×≤×，其中5l =. 2. 设

31

42A −=

−⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，求Cond()A ∞. 6A

∞

=,1

112232A −−−⎛⎞=⎜⎟

−−⎝⎠,1

72

A −∞

=

; 1

Cond()7

6212

A A A

∞

−==×=

3. 设2

2

(35)

()x f x −+=，求函数

()f x 的差商01

2

3

[2,2,2,2,]f π.

0123

[2,2,2,2,]9f π=

4. 设

4

()f x x

=.用Lagrange 余项公式求

()f x 关于节点1,0,1,2−的3次Lagrange 插值多项

式

3()p x .

p143,用Lagrange 余项公式，例如求

4

()f x x

=关于节点21,0,1−−的3次Lagrange 插值多项

式

3()p x .

法1:(4)333()

()()()()(1)(1)(2)4!f r x f x p x x x x x x ξω=−=

=+−− 433()()()(1)(1)(2)p x f x r x x x x x x =−=−+−− 443232(22)22x x x x x x x x =−−−+=+−

法2:

41,0,1,16;0,1,2,3i i y x i ===;01

()(1)(2)

6

l x x x x =−−−11()(1)(1)(2)2l x x x x =+−−,21

()(1)(2)2l x x x x =−+−,

31

()(1)(1)6

l x x x x =+−,

34

3

3

32400()()()22()()

i i i i i i i p x x y l x x x x x x x x ωω=====+−′−∑∑,

5. 设函数

0.9 1.4706 1.0 2.3257 1.10.1653(),(),()f f f −===,用三点数值微分公式计

算

(1.0)f ′′的近似值。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------装 订 线

0122(1.0)1

(2)334.61f y y y h

′′=

−+=− 6. 用2点古典Gauss 求积公式计算

1

1

2

sin d I x x

−=

∫

的近似值(保留4位小数)。

1

1

2

22sin d 1sin(1sin(0.654433

I x x

−=

=×−

+×≈∫

； 二、(本题满分10分) 对下列方程组建立收敛的Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式，并说明收

敛的理由。

1

231

231

2

3791,

10431,86 1.x x

x x x x x x x −+=−++=+−=⎧⎪

⎨⎪⎩

1

2

3

1

2

3

1

2

3

10431,861,

79 1.x x x x x x x x x −++=+−=−+=⎧⎪⎨⎪⎩

104

3186719A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟

⎜⎟−⎝⎠

0001000043100080006710009000−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜

⎟⎜⎟⎜⎟=++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝

⎠⎝⎠⎝⎠L D U =++,111b ⎛⎞

⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠

,(1)()k k J J Ax b x B x f +=⇒=+,

其中10

4103101806879190J B E D A −−⎛⎞⎜⎟=−=−⎜⎟

⎜⎟−⎝⎠

,1J f D b −=,8

19

J B

∞

=<, 故收敛.(1)1()1()()k k Ax b x D L Ux D L b +−−=⇒=−+++,

(1)

()

k k G G x

B x

f +=+,1110

00()1801801924017219D L −−⎛⎞⎜⎟+=⎜

⎟⎜⎟⎝⎠

, 其中100.4

0.3()00.050.7125011800.4G B D L U −−−⎛⎞⎜⎟=−+=−−⎜⎟

⎜⎟−⎝

⎠，1110()118049240G f D L b −−⎛⎞⎜⎟=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，两者

迭代矩阵均为对角占优矩阵，故均收敛。

三、(本题满分10分) 用下列表中的数据求次数不超过4次的插值多项式

()p x ，使之满足

()()i i p x f x =，0,1,2i =，和

0011()(),()()p x f x p x f x ′′′′==.(要求写出差商表)

i x 0 1 2 ()i f x

1 3 －

2 ()

i f x ′

1

－2

i x ()i f x 1[],i i f x x + 12[],,i i i f x x x ++

123[]

,,,i i i i f x x x x +++ 1234[]

,,,,i i i i i f x x x x x ++++ 0 1 0 1 1 1 3

2

1

1 3 －

2 －4

－5

2

－2

－5

－3 0.5

2.75

22224()15(1) 2.75(1)p x x x x x x x =++−−+− 23418.7510.5 2.75x x x x =++−+

四、(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的形如

e

b x

y a =最小二乘函数，并计算总误差

Q .

i

0 1 2 3 4 i x

0 0.5 1 1.5 2 i y

2.1 1.3 1.0 0.7 0.5 P199-200例5.2.3

i

0 1 2 3 4 i x

0 0.5 1 1.5 2 i y 2.1 1.3 1.0 0.7 0.5

ln i

y 0.7419 0.2624

－0.3567

－0.6931

4,1m n ==

ln ln y bx a =+,01ln ,a b αα==,ln ,s y t x ==,