一元一次方程去括号去分母

这是一座石墓， 里面安葬着丢番图． 请你告诉我， 丢番图寿数几何？ 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年． 再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭． 五年之后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲一半的年龄． 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中渡过风烛残年． 请你告诉我， 丢番图寿数几何？
去括号是解 方程时常用 的变形．
x＝10
由上可知，种茄子10亩． 所以种西红柿：25－10＝15（亩）． 答：种茄子10亩，种西红柿15亩．
例1 解方程
（1）x＋5（2x－1）=3－2（－x－5）
解：去括号，得 x＋10x－5＝3＋2x＋10 移项，得 x＋10x－2x＝3＋10＋5 合并同类项，得 9x＝18 系数化为1,得 x＝2．
解：设x张白铁皮做盒身,列方程 2×16x＝45×（100－x） 解，得 x＝60 则做盒底的铁皮为：100－x＝40（张） 答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮 做盒底．
目前初中数学主要分成代数与几何 两大部分，其中代数学的最大特点是引 人了未知数，建立方程，对未知数加以 运算．而最早提出这一思想并加以举例 论述的，是古代数学名著《算术》一书， 其作者是古希腊后期数学家一“代数学 之父”丢番图．
分析：原计划生产x件零件，所以 计划每小时生产零件数×26＝实际每小时生产 零件数×24－60．
解：设原计划每小时生产x件零件，列方程 24x×（x+5） －60＝26x 去括号，得 24x+120-60＝26x 移项及合并同类项，得 2x＝60 系数化成1,得 x＝30 所以原计划26×30＝780（件）
x＝84． 答：丢番图去世时的年龄为84岁．
这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃 及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作， 至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了 许多有关数学的问题．
答：原计划生产780件零件．
（2）一个服装车间，共有90人，每人每 小时加工1件衣服或2条裤子，问怎样安排工 作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服 配一条裤子）
分析：为了使 每天生产的衣服和 裤子正好配套，应 使生产的衣服和裤 子数量相等．
解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数 为（90－x）人．列方程
应该同乘以什么数？
各分母的最小公倍数84.
1 x 1 x 1 x 5 1 x 4 x 6 1 2 7 2
去分母（方程两边同乘各 分母的最小分倍数）
解：14x＋7x＋12x＋420＋42x＋336＝84x 移项
14x＋7x＋12x＋42x －84x ＝－420－336 合并同类项
－21x＝－756 系数化为1
去括号，得 4x＋8＝5x－10 移项及合并同类项，得 －x＝－18 系数化为1，得 x＝18． 答：船在静水中的行驶速度为18千米/时．
常用的关系式
顺流时的速度=静水中的速度+水流的速度 逆流时的速度=静水中的速度-水流的速度
练一练
（1） 一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流 而下．如果轮船在静水中的速度为每小时15千 米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最 多开出多远然后返回才能保证在 7．5小时内回 到原码头？
解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能 保证在 7.5小时内回到原码头． 列方程
（15－3）x＝（15＋3） ×（7.5－x） 解，得： x＝4.5 即轮船开出后： （15－3）x＝54（千米） 后，返回才能保证在 7.5小时内回到原码头．
（2） 甲、乙两人在一条长400米的环形跑
道上跑步．甲的速度是360米/分，乙的速度是
解：设生产甲种零件x天，列方程： 2×100x＝3×100（30－x） 解，得： x＝18 则生产乙种零件的天数为：30－x＝12 （天） 答：应安排生产甲种零件18天，乙种零 件12天．
（2）某水利工地派40人去挖土和运土，如 果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎 样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
新课导入
巴甫洛维奇·契诃夫是19世纪末 俄国现实主义代表作家之一，是杰出 的短篇小说家与戏剧家．他在上大学 期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇 小说．契诃夫的作品对俄国文学和戏 剧的发展有重大影响．他对数学也很 感兴趣，在短篇小说《家庭教师》中 就有下面一道趣题：
某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料 共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布 料每俄尺3卢布．请问商人买来黑布料、蓝 布料各有几俄尺？
x=2（90－x） 去括号，得
x＝180－2x 移项及合并同类项，得
3x＝180 系数化为1,得 x＝60． 所以做裤子的人数为： 60－x＝20（人）． 答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人 为20人．
练一练
（1）某车间每天能生产甲种零件100个，或 者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取3个、2 个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产 品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
列方程，得
8x－7＝0 解，得
x＝0.875 答：酒壶中原有0.875斗酒．
例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺 水航行需要4小时，逆水行驶需要5小时，水 流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的行 驶速度．
分析：已知两个码头之间的距离相等 所以：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间
解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米/时， 则顺流速度为（x ＋2）千米/时，逆流速 度为（x－2 ）千米/时． 可列方程 4× （x ＋2）＝5× （x－2 ）
解：设每天派x人挖土，列方程 5x＝3（40－x） 解，得 x＝15 所以每天运土人数为: 40－x＝25（人） 答：每天派15人挖土，25人运土，正好 能使挖出的土及时运走．
（3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒 身16个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一 套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身， 多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套， 又能充分地利用白铁皮？
解：高全校市级三好生x人，列方程 200x＋50（20－x） ＝2000 解，得x＝5． 所以校级三好生： 20－x＝15（人）
答：市级三好生5人；校级三好生15人．
2．一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面 看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问 鸡、兔各有多少只．
解：设鸡x只，列方程 2x＋4（21-x） ＝66 解，得 x＝9 所以兔的个数为：21－x＝12（只）
（卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单 位和长度单位）
如何解决这个问题呢？
解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布 料（138－x）俄尺；因而买蓝布料花了3x卢 布，买黑布料花了5（138－x）卢布，根据 买两种布料共用540卢布，列得方程
3x＋5（138－x） = 540
怎样使这个方程转化为x = a的形式？
3.3 解一元一次方程（二） ——去括号与去分母
教学目标
知识与能力
1．掌握解一元一次方程中“去分母”、 “去括号”的方法，并能解此类型的方程．
2．了解一元一次方程解法的一般步骤．
教学目标
过程与方法
1．通过运用算术和列方程两种方法解决 实际问题的过程，体会到列方程解应用题更为 简捷明了；掌握去括号解方程的方法，会用去 分母的方法解一元一次方程．
2．培养分析问题，解决问题的能力．
教学目标
情感态度与价值观
通过列方程解决实际问题，感受数学的 应用价值，激发学习数学的信心．
教学重难点
重点
解含有括号、分母的一元一次方程的解 法．
难点
1．弄清列方程解应用题的思想方法； 2．会用去括号、去分母解一元一次方 程．
化简下列各式：
（1）3a＋2b＋（6a－4b）
需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,
小船从早晨6时由A港出发顺流到达B港时，
发现救生圈在途中掉落了水中，立即返
回,1h后找到救生圈．
1. 若小船按水流速度由A港漂流到B港,
需要多长时间?
48小时
2. 救生圈是在什么时候掉入水中的?
11时
例3：（1）某工厂计划用26小时生产 一批零件，后因每小时多生产5件，用24小 时不但完成了任务，而且比原计划多生产 了60件，问原计划生产多少件零件？
答：笼中有鸡9只，兔12只．
（3）李白街上走，提壶去买酒，遇 店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝 光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒?
斗：古代的一个计量单位； 1斗 = 10升 ．
解：设：设酒壶中原有x斗酒．
第一次遇店：2x 第一次遇花：2x－1＝2x－1 第二次遇店：2（2x－1） ＝4x－2 第二次遇花：4x－2 －1＝4x－3 第三次遇店：2（4x－3） ＝8x－6 第三次遇花：8x－6－1＝8x－7
想一想去括 号时符号变
化规律．
9a－2b （2）（－3a＋2b） ＋3（a－b）
－b
（3）－5a＋4b－（－3a＋b）
－2a＋3b
知识回顾
去括号法则
1．括号外的因数是正数，去括号后各 项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
2．括号外的因数是负数，去括号后各 项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
解这个方程：
3x＋5（138－x） = 540 去括号
解： 3x＋690－5x＝540
移项
去括号法则
3x－5x＝540－690 合并同类项
－2x＝－150 系数化为1
x＝75
由上可知，顾客
买蓝布料75俄尺．所 以买黑布料：138－ 75＝63（俄尺）．
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问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季 改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44 000元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿 每亩用了1800元．问两蔬菜各种了多少亩？
分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种 西红柿_（__2_5_－__x_）__亩．种茄子每亩用了1700 元．那么种茄子一共用去了__1_7_0_0_x__元； 种 西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用 去了_1_8_0_0__（__2_5_－__x_）_元．根据王大伯种这两 种蔬菜共用去了44000元，可列方程
练一练
解下列方程．
（1） 3x－5（x－3）=9－（x+4） x＝10 （2） 6x ＝－2（3x－5） ＋10 x 5
3
（3） －2（x＋5）=3（x－5） －6 x 1 1
5
( 4 ) 6 2 3 x 5 x 6 1 2 x 1 x＝14
练一练
1．某校准备将2000元奖金全部发给20名三好 生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三 好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校 级三好生各有多少人？
1700x＋ 1800 （25－x）＝44 000． 怎样解这 个方程？
1 700x＋ 1 800 （25－x）＝44 000． 去括号
解： 1 700x＋45 000－1 800x＝44 000
移项
1 700x－1 800x＝44 000－45 000
合并同类项
－100x＝－1 000 系数化为1
请你列出方程算一算，丢番图去世 时的年龄？
解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意 可列方程
1 x 1 x 1 x 5 1 x 4 x 6 1 2 7 2
怎样使这个方程转化为x = a的形式？
1 x 1 x 1 x 5 1 x 4 x 6 1 2 7 2
分析： 为使方程变为整系数方程，方程两边
（2）4x－3（15－x） ＝6x－7（11－x）
解：去括号，得 4x－45＋3x＝6x－77＋7x 移项，得 4x＋3x－6x－7x＝－77＋45 合并同类项，得 －6x＝－32 系数化成1，得
x 16 3
讨论：解一元一次方程的
步骤是什么？
（1）去括号 （2）移项 （3）合并同类项 （4）系数化成１
读一读
丢番图的生平
丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》 在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重 要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响， 以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方 程”．
关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中 略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学 问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数 学问题集中，得以流传至今：
240米/分．
1. 两人同时同地同向跑，多长时间两人第
一次相遇，此时两人一共跑了几圈？ 5
2. 两人同时同地反向跑，几秒后两人第一
次相遇？ 40
3. 两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要
多长时间两人第一次相遇？ 11秒
4. 两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要
多长时间两人第一次相遇？
26秒
（3）一小船由A港到B港顺流行驶航行