沪科版数学第17章一元二次方程复习课件
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若方程的两根为互为倒数，则a=c。
3 、 已知 x1、x2 是关于x的一元二次方程
4kx2 4kx k 1 0 的两根，是否存在实数
k，使 2x1
x2
x1
2x2
3 2
成立？
4 、 若关于的一元二次方程 kx2 2x 1 0 有两
个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
3、一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次 手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是 多少?
解: 设这次到会的人数为 x,根据题意,得
xx 1 66.
2
整理得: 解得:
x2 x 132 0.
x1
1 23 2
12;
x2
1 23 2
0(不合题意, 舍去).
整理得x2 4x 45 0. 解得x1 5, x2 9.
x 4 5 4 9,或x 4 9 4 5.
答 : 这两个数为5,9或 9,5.
2.有一个正两位数,它的十位数字与个位数 字的和是5.把这个两位数的十位数字与个 位数字互换后得到另一个两位数,两个两 位数的积为736.求原来的两位数.
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
2.用因式分解法解方程： （y+2)2=3(y+2） 3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
三、一元二次方程根的判别式
答: 每年的平均增长率为10%.
6、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变 的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商 场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那 么每千克应涨价多少元?
解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0
解这个方程得:x1=5 x2=10
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
7、某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采 取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降 低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈 利1200元,每件衬衫应降价多少元?
解得: x1 1; x2 105(不合题意,舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
5、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司 缴税的年平均增长率为多少?
解: 设每年平均增长率为 x,根据题意,得
40(1 x)2 48.4.
解这个方程:
x1 11.1 10%; x2 11.1 2.1 0(不合题意,舍去).
若一元二次方程有实数根，则 b2 4ac 0
例题：求证：关于x的方程 x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
．
• 练习： 1、关于x的一元二次方程（m 1)x 2 x 1 0 有实数根，则m的取值范围是_______
2、关于x的方程 (a 6)x2 8x 6 0 有实数根，
请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答 题目中提出的有关问题.
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0，我们可以将x2－ 1视为一个整体，然后设x2－1=y，则原方程可化为y2 －5y+4=0 ①
解得y1=1,y2=4.
当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，x=± 2 .当y=4时，
x2－1=4，∴x2=5，x=± 5 . ∴原方程的解为
则整数a的最大值是_______.
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2
1 x2
0
B.ax2 bx c 0
C.(x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为 __________________,二次项系数为_____,一次项系数 为______,常数项为_______.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
105 x x10x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解得x1 2, x2 3.
5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.
答: 这次到会的人数为12人.
4、如图在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水 渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个 矩形小块,水渠应挖多宽.
解 : 设水渠的宽度 xm, 根据题意, 得
(92 2x)60 x 6885.
整理得: x2 106 x 105 0,
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
b2 4ac
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 无实根(无解) b2 4ac 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x + m ) 2 = a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
A. k 1
B. k 1且 k 0
C. k 1
D. k 1 且 k 0
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
6. 作答注意单位。
三、一元二次方程的应用。
1、数字问题 2、变化率问题、疾病传播问题 3、利润问题 4、面积问题 5、几何问题
注意： ①设要有单位 ②解出方程后检验根的合理性
1、两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设较小的数为x,根据题意,得
xx 4 45.
x1+x2 = p x1·x2= q
以x1、x2为两根的一元二次方程为： x2－(x1+x2)x+x1·x2=0
1、关于x的一元二次方程x²+(m-1)x-5=0， 当 m _=_1_时，方程的两根为互为相反数.
若方程的两根为互为相反数，则b=0。 2、关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0， 当 m _=_4_时，方程的两根为互为倒数.
2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次 方程，则 （C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
3、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=__2____.
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
当m_______时，是一元二次方程；当m______时，是 一元一次方程；当m=______时，x=0.
9.（2014•扬州）已知关于x的方程
（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ 1 =0有两个相等的实数根，
求k的值．
4
10.（2014•株洲）已知关于x的一元二次方程 （a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并 说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的 形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方 程的根．
3、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数 式a2+b2+2ab的值是______.
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ ）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
x1= 2 ，x2=－ 2 ，x3= 5 ，x4=－ 5 .
解答问题： (2)解方程（x2-3 ）2 - 3(x2-3)=4
一元二次方程根与系数关系
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2 ，则
x1+x2 =
b a
x1·x2=
c a
若方程x2+px+q=0(a≠0)的两根 为x1、x2 ，则
解 : 设每件衬衫应降价 x元,根据题意,得
(40 x)(20 2 x ) 1200. 1
整理得 : x2 30 x 200 0.
解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降价20元.
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分wenku.baidu.com,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
一元二次方程
一、定义及一般形式:
1.只含有_一____个未知数,且未知数的
最高次数为__2____的__整_式_____方程 叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
_a_x_2_+_b_x_+_c_=_0______(a≠0);其中a是
二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常 数项.
1、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是： _2x_2_-_3_x-_1_=_0___, 其二次项系数是_2___,一次项系数 是_-_3__,常数项是_-_1__.
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+
m
2
=0
有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____． 4
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1， -2，则这个方程可以是______________.
8、已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2m+1=0,
3 、 已知 x1、x2 是关于x的一元二次方程
4kx2 4kx k 1 0 的两根，是否存在实数
k，使 2x1
x2
x1
2x2
3 2
成立？
4 、 若关于的一元二次方程 kx2 2x 1 0 有两
个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
3、一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次 手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是 多少?
解: 设这次到会的人数为 x,根据题意,得
xx 1 66.
2
整理得: 解得:
x2 x 132 0.
x1
1 23 2
12;
x2
1 23 2
0(不合题意, 舍去).
整理得x2 4x 45 0. 解得x1 5, x2 9.
x 4 5 4 9,或x 4 9 4 5.
答 : 这两个数为5,9或 9,5.
2.有一个正两位数,它的十位数字与个位数 字的和是5.把这个两位数的十位数字与个 位数字互换后得到另一个两位数,两个两 位数的积为736.求原来的两位数.
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
2.用因式分解法解方程： （y+2)2=3(y+2） 3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
三、一元二次方程根的判别式
答: 每年的平均增长率为10%.
6、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变 的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商 场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那 么每千克应涨价多少元?
解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0
解这个方程得:x1=5 x2=10
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
7、某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采 取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降 低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈 利1200元,每件衬衫应降价多少元?
解得: x1 1; x2 105(不合题意,舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
5、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司 缴税的年平均增长率为多少?
解: 设每年平均增长率为 x,根据题意,得
40(1 x)2 48.4.
解这个方程:
x1 11.1 10%; x2 11.1 2.1 0(不合题意,舍去).
若一元二次方程有实数根，则 b2 4ac 0
例题：求证：关于x的方程 x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
．
• 练习： 1、关于x的一元二次方程（m 1)x 2 x 1 0 有实数根，则m的取值范围是_______
2、关于x的方程 (a 6)x2 8x 6 0 有实数根，
请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答 题目中提出的有关问题.
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0，我们可以将x2－ 1视为一个整体，然后设x2－1=y，则原方程可化为y2 －5y+4=0 ①
解得y1=1,y2=4.
当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，x=± 2 .当y=4时，
x2－1=4，∴x2=5，x=± 5 . ∴原方程的解为
则整数a的最大值是_______.
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2
1 x2
0
B.ax2 bx c 0
C.(x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为 __________________,二次项系数为_____,一次项系数 为______,常数项为_______.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
105 x x10x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解得x1 2, x2 3.
5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.
答: 这次到会的人数为12人.
4、如图在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水 渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个 矩形小块,水渠应挖多宽.
解 : 设水渠的宽度 xm, 根据题意, 得
(92 2x)60 x 6885.
整理得: x2 106 x 105 0,
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
b2 4ac
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 无实根(无解) b2 4ac 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x + m ) 2 = a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
A. k 1
B. k 1且 k 0
C. k 1
D. k 1 且 k 0
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
6. 作答注意单位。
三、一元二次方程的应用。
1、数字问题 2、变化率问题、疾病传播问题 3、利润问题 4、面积问题 5、几何问题
注意： ①设要有单位 ②解出方程后检验根的合理性
1、两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设较小的数为x,根据题意,得
xx 4 45.
x1+x2 = p x1·x2= q
以x1、x2为两根的一元二次方程为： x2－(x1+x2)x+x1·x2=0
1、关于x的一元二次方程x²+(m-1)x-5=0， 当 m _=_1_时，方程的两根为互为相反数.
若方程的两根为互为相反数，则b=0。 2、关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0， 当 m _=_4_时，方程的两根为互为倒数.
2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次 方程，则 （C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
3、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=__2____.
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
当m_______时，是一元二次方程；当m______时，是 一元一次方程；当m=______时，x=0.
9.（2014•扬州）已知关于x的方程
（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ 1 =0有两个相等的实数根，
求k的值．
4
10.（2014•株洲）已知关于x的一元二次方程 （a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并 说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的 形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方 程的根．
3、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数 式a2+b2+2ab的值是______.
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ ）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
x1= 2 ，x2=－ 2 ，x3= 5 ，x4=－ 5 .
解答问题： (2)解方程（x2-3 ）2 - 3(x2-3)=4
一元二次方程根与系数关系
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2 ，则
x1+x2 =
b a
x1·x2=
c a
若方程x2+px+q=0(a≠0)的两根 为x1、x2 ，则
解 : 设每件衬衫应降价 x元,根据题意,得
(40 x)(20 2 x ) 1200. 1
整理得 : x2 30 x 200 0.
解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降价20元.
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分wenku.baidu.com,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
一元二次方程
一、定义及一般形式:
1.只含有_一____个未知数,且未知数的
最高次数为__2____的__整_式_____方程 叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
_a_x_2_+_b_x_+_c_=_0______(a≠0);其中a是
二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常 数项.
1、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是： _2x_2_-_3_x-_1_=_0___, 其二次项系数是_2___,一次项系数 是_-_3__,常数项是_-_1__.
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+
m
2
=0
有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____． 4
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1， -2，则这个方程可以是______________.
8、已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2m+1=0,