江苏省扬州中学2012年自主招生考试数学试题

1 1 2 ． + = OD OE OF
（第 26 题图）
27． （本题满分 10 分） 对比理解下面的两个概念，解答后面的问题： 【等差数列】 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） ． 如数列 1,2,3,4,…, n 就是一个等差数列，其公差为 1. 【等比数列】 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数， 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比 （常用字母 “ q” 表示， （q ≠0） ） ，如数列 1,3,9,…, 3n −1 就是一个等比数列，其公比为 3. （1）设 a1 , a 2 ,......an 是各项均不为零的等差数列（ n ≥ 4 ） ，且公差 d ≠ 0 ，若将此数列删去 某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当 n = 4时求
B．
4 5
C．
9 25
D．
16 25
A
B1 C1
O
I1
I2
C
I3
（第 7 题图）
B
D
C
F
（第 4 题图）
（第 10 题图）
9.设�x�表示不大于 x 的最大整数，�x�表示不小于 x 的最小整数, �x�表示最接近 x 的整 数( x ≠ n + 0.5 ， n 为整数)．例如�3.4�＝3,�3.4�＝4，�3.4�＝3 ，则不等式 8≤2x＋�x� ＋3 �x �＋4�x �≤14 的解为(▲) A． 0.5 ≤ x ≤ 2 B ． 0.5 < x < 1.5 或 1.5 < x < 2 C． 0.5 < x < 1.5 D． 1.5 < x < 2 10.设 S＝
江苏省扬州中学 2012 年 自主招生考试
数学试题
亲爱的同学： 欢迎你参加扬州中学自主招生考试．扬州中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优 秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂 ．为了 你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1.答卷前， 考生务必将本人的姓名、 准考证号、 科目、 学校填涂在答题卡相应的位置上， 在答题卡右下角填写好座位号； 2.本卷共分三部分，分别为选择题（第 1—10 题） 、填空题（第 11—20 题） 、解答题（第 21—30 题） ；满分 150 分，考试时间为 150 分钟； 3.本试卷上所有的答案均需要在答题卡上作答，在试卷上作答一律无效； 4.考试结束，试卷和答题卡一并上交．
26． （本题满分 10 分） 已知圆 C ： ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 2 ，过原点 O 作圆 C 的两条切线 OA、OB，切点依次为 A 、 B，过原点 O 引直线 l 交圆 C 于 D、E 两点，交直线 AB 于点 F， （1）求直线 AB 的解析式； （2）求证：
a A
P B
（第 19 题图）
C
20． （本题满分 8 分） 甲、 乙二人同时从 A 地出发， 沿同一条道路去 B 地， 途中都使用两种不同的速度 v1 、 v 2 ( v1 < v2 ) 甲一半的路程使用速度 v1 ，另一半的路程使用速度 v2 ；乙一半的时间使用速度 v1 ，另一半 的时间使用速度 v2 ． （1）甲、乙二人从 A 地到达 B 地的平均速度各是多少(用 v1 和 v2 表示)？ （2）甲、乙二人谁先到达 B 地？为什么？ （3）如图是甲从 A 地到达 B 地的路程 s 与时间 t 的函数图像，请你在图中画出相应的乙从 A 地到达 B 地的路程 s 与时间 t 的函数图像．
1Hale Waihona Puke 2C． V12 =V22+V32
D． V22 =V1 ⋅ V3
4.小明、小华和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解出的题叫做容易题，那么难题比 容易题多多少道（▲） A．15 B．20 C ．25 D．30
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23． （本题满分 10 分） 有 A 、B、C、D、E 5 位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗 16、8、12、4、15 面， 现要使每人手中的小旗数相等.要求相邻的同学之间相互调整(不相邻的不作相互调整)， 设 A 给 B 有 x1 面( x1 > 0 )（ x1 <0 时即为 B 给 A 有 x1 面，下同） ，B 给 C 有 x2 面，C 给 D 有 x3 面，D 给 E 有 x4 面，E 给 A 有 x5 面，问 x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 分别为多少时才能使调 动的小旗总数 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 最小？
A．4
1 1 1 1 ＋ 3 ＋ 3 ＋⋯ ＋ ，则 4S 的整数部分等于(▲) 3 1 2 3 20123 B．5 C．6 D．7
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二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．请将最后答案直接填在答题卡上对 应题号的横线上． ） 11.已知三个非负实数 a ， b ， c 满足： 3a + 2b + c = 5 和 2a + b − 3c = 1 ， 若 m = 3a + b − 7c ， 则 m 的最小值为 ▲ . 12.如图，当四边形 PABN 的周长最小时， a = ▲ .
y
P( a，0) N( a+2，0)
O
A(1 ，-3)
x
B(4，-1)
（第 12 题图）
（第 13 题图）
（第 15 题图）
13.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，⊙O 的直径为 AD ，将正方形沿 EC 折叠，点 B 落在 圆上的 F 点，则 BE 的长为 ▲ .
14.一项过关游戏规定：在第 n 关要掷一个正方体骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数 之和大于 2 n ，则算过关.现在小明想要参加这项过关游戏，请你帮他算算： ①小明最多能过的关数为 ▲ ； ②小明连过前三关的概率为 ▲ .
π 的近似值
3.1596 3.1554 3.137 3.1595 3.1415929 3.1795
透过上表不难发现，不管实验条件如何变化，也不管投掷次数怎么变化，最终得出的统计结 果都非常接近于圆周率 π 的值！ 请你思考：这背后的原因究竟是什么？并予以说明.
（第 25 题图）
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一、选择题： （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． ） 1.下列名人中： ①比尔· 盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧ 爱因斯坦，其中是数学家的是（▲） A．①④⑦ B．②④⑧ C ．②⑥⑧ D．②⑤⑥ 2.记 x = (1 + 2 ) 1 + 2 2 1 + 2 4 1 + 2 8 ⋅⋅⋅ 1 + 2 256 ，则x + 1是 (▲) A．一个奇数 C．一个整数的平方 B．一个质数 D．一个整数的立方
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5.如图，已知△ABC 的面积为24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC ＝4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(▲) A．3 B．4 C ．5 D．6
6.已知
1 1 1 1 1 1 2 3 4 + = ， + = ，则 + + 的值为（▲） y z+x 3 z x+y 4 x y z
Y Q A O1 O O2 P B （第 24 题图） Z
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25． （本题满分 6 分） 【数学实验趣味赏析】 ：布丰投针 1777 年的一天，在法国数学家布丰家里，众多宾客见证布丰表演了一次非常奇特的实验， 以下是该实验的具体内容： 【实验准备】 ： ①在纸片上画上一条条等距离的平行线 ②准备若干枚长度是平行线间距离的一半的小针 【实验操作】 ： ①将纸片固定在地面上 ②人站在一定距离外随机将小针投掷到纸片上 【实验记录】 ： ①投针次数 ②针与直线相交的次数 【数据统计】 ： ①投针次数：2212 次 ②针与直线相交次数：704 次 【数据分析】 ：2212÷704≈3.142 事实上， 用针与直线相交的次数除以投针次数所得到的结果非常接近于圆周率的值？这难道 是巧合吗？后来许多学者都对这个实验进行了验证，如下表是他们得出的统计结果： 试验者 Wolf Smith De Morgan Fox Lazzerini Reina 时间 1850 1855 1860 1884 1901 1925 针长 0.8 0.6 1.0 0.75 0.83 0.5419 投掷次数 5000 3204 600 1030 3408 2520 相交次数 2532 1218 382 489 1808 859
24． （本题满分 10 分） 已知⊙O1 与⊙O2 相交于点 A ， B， 一条直线过 A 点分别与两圆相交于 Y，Z， 两圆分别在 Y， Z 处的切线相交于 X，设△O1O2 B 的外接圆为⊙O，直线 XB 交⊙O 于另一点 Q，若 YO 1 与 ZO2 相交于点 P.求证： （1）点 P 在⊙O 上，且线段 PQ 是⊙O 的一条直径； （2）XQ＝PQ. X
s B
甲
中点 C
A
t
（第 20 题图）
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21． （本题满分 9 分） 如图，设正方形 ABCD 的边 CD 的中点为 E，F 是 CE 的中点．求证：∠DAE ＝
1 ∠BAF． 2
D
E
F
C
A
（第 21 题图）
B
22． （本题满分 10 分） 把 6cm ×10cm 的长方形沿水平线或竖直线分割成 4 个图形， 要求分割后的 4 个图形互为相似 或全等． 请分别在下列长方形中用实线 画出 4 种不同的分割方法 （翻转后如果同另一种分割 ．． 重叠的话，将视作是同一种分割方法）．
16.不等式
x2 + 3 x2 − 5 x2 + 5 x2 − 3 + ≥ + 的满足 x > 0 的解是 ▲ . x 2 + 1 x 2 − 3 x2 + 3 x2 −1
17.点（0,1）到抛物线 y = x2 − x 的最短距离为
▲
.
18.将 n 2 个正整数 1，2， 3， …， n 2 填入 n × n 方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做 n 阶幻方.记 可 f (n) 为 n 阶幻方对角线上的数的和，如右表就是一个 3 阶幻方， 知 f (3) = 15 ，则 f (4) = ▲ .
15.如图，抛物线 y = − x 2 + 1与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依 次记为 P1 ，P2， …，Pn-1，过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q2 ， …， Qn -1，从而得到 n − 1 个直角三角形△Q1 OP1，△Q 2P1P2 ， …，△Qn-1Pn-2Pn-1，当 n 趋近于无穷大 时，这些三角形的面积之和的趋近于 ▲ .
8 3 4
1 5 9
6 7 2
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三、解答题（本大题共 9 个小题，共 80 分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或 推演步骤．请将最后答案写在答题卡上各题对应的答题栏内） 19． （本题满分 7 分） 如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两 个监测点 B ，C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处. 某时刻，监测点 B 收到发自静止目 标 P 的一个声波，8s 后监测点 A，20 s 后监测点 C 相继收到这一信号. 在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是 1. 5 km/s . （1）设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B ，C 到 P 的距离，并求 x 值； （2）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离（结果精确到 0.01 km）.
(
)(
)(
) (
)
3.如图, 有三根长度相同横截面为正方形的直条形木块 I1 、 I 2 、 I 3 ，若将它们靠紧放置在水 平地面上时，直线 AA1 、 BB1 、 CC1 恰在同一个平面上，木块 I1 、 I 2 、 I3 的体积分别为 V1 、
V2 、 V3 ，则下列结论中正确的是(▲)
A． V1 =V2 +V3 B ． V2 = (V1 +V3 )
B．
A．1
3 2
C ．2
D．
5 2
7.问右图计算机程序的打印结果为（▲）
89 100 68 C． 100
A．
68 110 89 D． 144
B．
8.如图 AD 是∠BAC 的角平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于 F，若
AC 3 = ， AB 5
CF ＝（▲） BF 3 A． 5
则 A1 A B