高中数学奥赛竞赛辅导-立体几何
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13
1答案
分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图，求 AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A'两 点间的最短距离.
设 ASB ，则由余弦定理得 cos 7
8
所以 cos3 4cos3 cos 7
128 可求得 AA' 11 a
4 即所求截面周长的最小值为 11 a
4 说明：这类问题通常都是将几何体的侧面展开， 空间问题转化成平面问题来解决。
则 x2 y2 等于（ D ）
A1
6
B2
5
C3
7
D 12
练习 4.在四面体 ABCD 中,设 AB 1,CD 3 ,
直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ,则四面体
13
ABCD 的体积等于_______.(2003 年全国高中数
学联赛题)
2
二、 平 面 化 的 思 考
在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样 选取平面呢?有以下几个主要方法
点面 点点 —— 点线 ———————— 线面 —— 面面
线线
例1. (如图) 二面角α— AB —β的平面角为 300，在β上作
AD⊥AB，AD=10，过D作 CD⊥α于D,若∠ACB = 600，求AC与BD的
距离。
解
作BE∥AC，CE∥AB,连
EC,ED，则AC∥面BCE，直线AC到
面BDE的距离就是AC到BD的 距离.
竞赛辅导─立体几何
立体几何是中学数学中的基本的内容,通过对立体几
何的学习,可以培养观察能力、空间想像能力.
数学竞赛中的立体几何问题，主要涉及求角（线线角、
线面角、二面角）、求距离（点点距、点线距、点面距、
异面直线间的距离、平行的线线距、平行的线面距、平行
的面面距）、求面积（侧面、截面、表Biblioteka Baidu）与体积，以及
且由B在A,C 之间知, B2 在A2 ,C2 之间
在 ∆OA2C2中, 有 max{∠OB 2A 2 , ∠OB 2 C2 } ≥ 900
从而
OB2 max{OA2 OC2 }
即
BB1 max{AA1 CC1 }.
思考一： 已知三棱锥 S－ABC 中，∠ABC＝90°，侧棱
SA⊥底面 ABC，点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是 点 E、F,求证:EF⊥SC.
14
思考二（. 2008 全国预赛试题） 一 个半径为 1 的小球在一个内壁棱
长为 4 6 的正四面体容器内可向
各个方向自由运动。则该小球永 远不可能接触到的容器内壁的面 积是__________.
15
练习.（2006天津）在一个棱长为5的正 方体封闭的盒内，有一个半径等于1的 小球，若小球在盒内任意地运动，则 小球达不到的空间的体积的大小等于44_ 3_13
2
E B
F A
G
六、 投 影 法
投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广 泛空间问题的一个通法.
例6 设PP1 , QQ1是空间中两条异面直线,A,B,C是直线 QQ1上3点,且点B在A,C之间,
A1,B1， C1是由A,B,C向直线， P
PP1所引垂线的垂足,
A1 B1
Q A
B
证明 BB1 max {AA 1, CC1 }
16
思考三．（2007 安徽预赛试题）设平行四边形
ABCD 中，AB=4，AD=2，BD=2 3 ，则平行
四边形 ABCD 绕直线 AC 旋转所得旋转体的体 积为___6_5_7__7_____。
1225
17
18
思考四．（08 河北预赛）如图，斜三棱
柱 ABC A1B1C1 的所有棱 长均为 a ，侧面
题的一个方向是找平面角。 A1
B1
解
在平面 A B C1 D1 上，由
点 A 向 B D1 引垂线，与BD 1 交
于M,与BC1 交于N，连CM，由
于正方体关于面BB1D1D的对称
性，必有CM⊥BD1 ，因此， ∠
NMC就是二面角的平面
M D
N C
设正方体的棱长为，则AC2 2
A
B
=CD12 =2a2 ，AM2 理得 ∠ AMC=1200
40
41
42
43
44
45
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47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
解法一 （分割）将 P
KKK
P
立体图形分割为一个正六棱
锥P—ABCDEF与三个三棱锥 P—GAF, P—HBC,P—KDE之 和。
K
P
E
D C
H
B
ED
F G
A G
G
CH
B
H
H
P
F
G
A
解法二 （补充）将立体图形补充为一
个正方体如图，
则所求的立体图形体积
是正方体体积的一半
K
得
P
D
C H
1
V = a3
33
34
思考二．（2006年南昌市）棱长为1的 正四面体在水平面上的正投影面积为s , 则 s的最大值为_12_.
35
36
37
38
39
S△BCD^2=S△ABC^2+S△ACD^2+ S△ADB^2 ① 很关键， r=(S△ABC+S△ACD+S△ADBS△BCD)/(AB+AC+AD)先根据 r=3V/(S△ABC+S△ACD+S△ADB+ S△BCD)再由目标形式构造平方差由 ①进行化简，就出来的。后面那个可 以由体积公式的变形得出。再次感谢！
面角的平面角. AD =10, 得AC = 53 , CD = 5; 又在Rt∆ABC 中，
∠ACB = 600 ,有CE=AB = 3AC = 15, 最后在 Rt∆ACD
中，由CE=AB =15, 得DE = 5 10 , 从而CH = CD • CE = 3 10
DE
2
三个步骤: 一、线线距离转化为线面距离
7
练习 2.(2003 年全国高中数学联赛山东题)
正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E
是棱 CD 的中点,求直线 A1C1 与 B1E 的距
离.
4 17
17
练习 3、（2005 福建预赛试题） 正四面体 ABCD 的棱长为 1，E 是△ABC 内 一点，点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和为 x， 点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y，
例4、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相
等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。
分析：
D1
将长方体各面展于同一 A1
平面上（可省去底面ABCD）
F
由两点间距离最短知，
D
C1 B1
C
D D D1
A
F
A
B
C
有三条相对短的走法，设 三条共点棱长为AB=a,
C1 AD=b， AA1 =c，且由勾
1
竞赛辅导─立体几何
关于求距离、求角、求面积与体积，以及位 置关系的判定等问题,需要用到的知识点见教程 介绍.
今天我们主要是通过一些例题来体会处理这 些问题的基本思想方法:
一、学会转化；二、掌握基本功法.(如坐标 法、作出图形求解法)
2
一、点、线、面间关系的转化
立体几何的知识告诉我们，最核心的内 容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又 通过判定定理、性质定理而相互转化。定理 的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与 转化。
27
五、 基 本 图 形 法
立体几何中的基本图形是正方体，熟练掌握正方体的基 本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到 新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方 体，“能割善补”是学习立体几何的诀窍。
例5. 有三个边长为a的正方形，分别将每一个正方形
的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为 2a 的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折2起， 如图，求所成立体图形的体积。
二、再转化为点面距离 三、计算距离
D
AH
C
B E
解法二 用体积法计算
VD-BCE=VC-BDE.
解法三 外接于一个长方体用补形的方法解决
D H A
C
B E
练习 1.(2001 年全国高中数学联赛题) 正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 1, 则直线 A1C1 与 BD1 的距离是___66_.
AB、BC、CD 的中点,则二 面角 C─FG─E 的大
D 小是( )
(A) arc sin 6 3
(B) arc cos 3
2
3
(C) arctan 2
2
(D) arctan 2
22
三、 图 形 变 换
例3、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点
连线垂直对角线。 B
D
N
N
D B
位置关系的判定等，并多以选择题、填空题以及求解角、
距、积的形式出现.
另外,空间向量的工具运用, 为求立体几何的空间角
和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索
性试题提供了简便、快速的解法,它的实用性是其它方法
无法比拟的，因此可加强运用向量方法解决几何问题的意
识，提高使用向量的熟练程度和自觉性.
这时，AC上任一点到面BDE的距离
就是所求.
由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥ AB，根据三垂线定理 ， AC⊥ AB.但AB∥AC,故AC ⊥ CE.从而AC ⊥ 面CDE 。又 BE∥AC ,得BE ⊥ 面CDE, 进而面BDE⊥面CDE，
在Rt∆CDE上作高CH，由Rt∆ACD中, ∠ CAD = 300为二
B1C1CB 底面 ABC，且 AC1 BC . （1） 求异面直线 AA1 与 B1C1 间的距离； （2） 求侧面 A1B1BA 与底面 ABC 所成二 面角的度数．
19
变式五
20
21
练习 1:
(1998 年全国高中数学联赛题)
设 E、F、G 分 别 是 正 四 面 体 ABCD 的 棱
1、 截面法 2、隔离法 3、展平法 4、投影法
例2、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设∆C1 D1 B
所在的半平面为α ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1
所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角
分析的度数因为二面角的平面角的度数是 D1
α—BD1
—β
C1
由相应平面角的来表示的，所以解
A M
C
C
M
A
证明 如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中
点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形， 而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转1800 得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N 对称知，对称 轴必经过MN，从MN⊥AC，MN⊥BD。
证明2、 将∆ABC 绕AC展平到面ACD上，得 ABCD，则
B1 股定理可算 得AFC1最短。
C1
A
B
C
思考一．(2005全国)如图，ABCD为正方体。任作
平面 与对角线 垂直，使得 与正方体的每个面
都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S， 周长L为 .则（ ） A．S为定值，L 不为定值 B．S不为定值， L为定值 C．S与 L均为定值 D．S与L 均不为定值
=MC2 = ，从而∠
M3 Aa2C,=在6∆00A，MC即中二，面由角余α—弦定
BD1—β 的度数为600。
思考一. 如图，设正三棱锥 S—ABC 的底面边长 为 a，侧棱长为 2a，过 A 作与侧棱 SB、SC 都相 交的截面 AEF，求这个截面周长的最小值. 分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面 展开如图，求 AEF 周长最小值 问题就转化成了求 A、A'两点间 的最短距离.
BD与AC相交与M，BM=MD。再将图形复原，由BM=MD，
BN=ND知MN是等腰三角形∆MBD 底边上的高，有 MN⊥BD。
同理MN⊥AC。
B
N
D
A
M
C
D
C
M
A
B
图形变换包括
1、空间的对称 2、空间的旋转 B
D N
3、空间的折叠
A
M
4、空间的展平
C
直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中 心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂 直于AC,BD.
C1
C
A2
B2 O
C2
P1
Q1
证明 作平面 α 垂直于PP1 ，则直线PP1在平面 α 上 的投
影为一点，记为O，由 AA1 ⊥ PP1，BB1 ⊥ PP1, CC⊥PP1 知,
AA1 ∥α, BB1∥ α, CC1∥α
从而
AA1在α 上的投影OA2=AA1,
BB1在α上的投影OB2=BB1,
CC1在α上的投影OC2=CC1
1答案
分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图，求 AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A'两 点间的最短距离.
设 ASB ，则由余弦定理得 cos 7
8
所以 cos3 4cos3 cos 7
128 可求得 AA' 11 a
4 即所求截面周长的最小值为 11 a
4 说明：这类问题通常都是将几何体的侧面展开， 空间问题转化成平面问题来解决。
则 x2 y2 等于（ D ）
A1
6
B2
5
C3
7
D 12
练习 4.在四面体 ABCD 中,设 AB 1,CD 3 ,
直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ,则四面体
13
ABCD 的体积等于_______.(2003 年全国高中数
学联赛题)
2
二、 平 面 化 的 思 考
在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样 选取平面呢?有以下几个主要方法
点面 点点 —— 点线 ———————— 线面 —— 面面
线线
例1. (如图) 二面角α— AB —β的平面角为 300，在β上作
AD⊥AB，AD=10，过D作 CD⊥α于D,若∠ACB = 600，求AC与BD的
距离。
解
作BE∥AC，CE∥AB,连
EC,ED，则AC∥面BCE，直线AC到
面BDE的距离就是AC到BD的 距离.
竞赛辅导─立体几何
立体几何是中学数学中的基本的内容,通过对立体几
何的学习,可以培养观察能力、空间想像能力.
数学竞赛中的立体几何问题，主要涉及求角（线线角、
线面角、二面角）、求距离（点点距、点线距、点面距、
异面直线间的距离、平行的线线距、平行的线面距、平行
的面面距）、求面积（侧面、截面、表Biblioteka Baidu）与体积，以及
且由B在A,C 之间知, B2 在A2 ,C2 之间
在 ∆OA2C2中, 有 max{∠OB 2A 2 , ∠OB 2 C2 } ≥ 900
从而
OB2 max{OA2 OC2 }
即
BB1 max{AA1 CC1 }.
思考一： 已知三棱锥 S－ABC 中，∠ABC＝90°，侧棱
SA⊥底面 ABC，点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是 点 E、F,求证:EF⊥SC.
14
思考二（. 2008 全国预赛试题） 一 个半径为 1 的小球在一个内壁棱
长为 4 6 的正四面体容器内可向
各个方向自由运动。则该小球永 远不可能接触到的容器内壁的面 积是__________.
15
练习.（2006天津）在一个棱长为5的正 方体封闭的盒内，有一个半径等于1的 小球，若小球在盒内任意地运动，则 小球达不到的空间的体积的大小等于44_ 3_13
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E B
F A
G
六、 投 影 法
投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广 泛空间问题的一个通法.
例6 设PP1 , QQ1是空间中两条异面直线,A,B,C是直线 QQ1上3点,且点B在A,C之间,
A1,B1， C1是由A,B,C向直线， P
PP1所引垂线的垂足,
A1 B1
Q A
B
证明 BB1 max {AA 1, CC1 }
16
思考三．（2007 安徽预赛试题）设平行四边形
ABCD 中，AB=4，AD=2，BD=2 3 ，则平行
四边形 ABCD 绕直线 AC 旋转所得旋转体的体 积为___6_5_7__7_____。
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思考四．（08 河北预赛）如图，斜三棱
柱 ABC A1B1C1 的所有棱 长均为 a ，侧面
题的一个方向是找平面角。 A1
B1
解
在平面 A B C1 D1 上，由
点 A 向 B D1 引垂线，与BD 1 交
于M,与BC1 交于N，连CM，由
于正方体关于面BB1D1D的对称
性，必有CM⊥BD1 ，因此， ∠
NMC就是二面角的平面
M D
N C
设正方体的棱长为，则AC2 2
A
B
=CD12 =2a2 ，AM2 理得 ∠ AMC=1200
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解法一 （分割）将 P
KKK
P
立体图形分割为一个正六棱
锥P—ABCDEF与三个三棱锥 P—GAF, P—HBC,P—KDE之 和。
K
P
E
D C
H
B
ED
F G
A G
G
CH
B
H
H
P
F
G
A
解法二 （补充）将立体图形补充为一
个正方体如图，
则所求的立体图形体积
是正方体体积的一半
K
得
P
D
C H
1
V = a3
33
34
思考二．（2006年南昌市）棱长为1的 正四面体在水平面上的正投影面积为s , 则 s的最大值为_12_.
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S△BCD^2=S△ABC^2+S△ACD^2+ S△ADB^2 ① 很关键， r=(S△ABC+S△ACD+S△ADBS△BCD)/(AB+AC+AD)先根据 r=3V/(S△ABC+S△ACD+S△ADB+ S△BCD)再由目标形式构造平方差由 ①进行化简，就出来的。后面那个可 以由体积公式的变形得出。再次感谢！
面角的平面角. AD =10, 得AC = 53 , CD = 5; 又在Rt∆ABC 中，
∠ACB = 600 ,有CE=AB = 3AC = 15, 最后在 Rt∆ACD
中，由CE=AB =15, 得DE = 5 10 , 从而CH = CD • CE = 3 10
DE
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三个步骤: 一、线线距离转化为线面距离
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练习 2.(2003 年全国高中数学联赛山东题)
正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E
是棱 CD 的中点,求直线 A1C1 与 B1E 的距
离.
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练习 3、（2005 福建预赛试题） 正四面体 ABCD 的棱长为 1，E 是△ABC 内 一点，点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和为 x， 点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y，
例4、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相
等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。
分析：
D1
将长方体各面展于同一 A1
平面上（可省去底面ABCD）
F
由两点间距离最短知，
D
C1 B1
C
D D D1
A
F
A
B
C
有三条相对短的走法，设 三条共点棱长为AB=a,
C1 AD=b， AA1 =c，且由勾
1
竞赛辅导─立体几何
关于求距离、求角、求面积与体积，以及位 置关系的判定等问题,需要用到的知识点见教程 介绍.
今天我们主要是通过一些例题来体会处理这 些问题的基本思想方法:
一、学会转化；二、掌握基本功法.(如坐标 法、作出图形求解法)
2
一、点、线、面间关系的转化
立体几何的知识告诉我们，最核心的内 容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又 通过判定定理、性质定理而相互转化。定理 的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与 转化。
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五、 基 本 图 形 法
立体几何中的基本图形是正方体，熟练掌握正方体的基 本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到 新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方 体，“能割善补”是学习立体几何的诀窍。
例5. 有三个边长为a的正方形，分别将每一个正方形
的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为 2a 的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折2起， 如图，求所成立体图形的体积。
二、再转化为点面距离 三、计算距离
D
AH
C
B E
解法二 用体积法计算
VD-BCE=VC-BDE.
解法三 外接于一个长方体用补形的方法解决
D H A
C
B E
练习 1.(2001 年全国高中数学联赛题) 正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 1, 则直线 A1C1 与 BD1 的距离是___66_.
AB、BC、CD 的中点,则二 面角 C─FG─E 的大
D 小是( )
(A) arc sin 6 3
(B) arc cos 3
2
3
(C) arctan 2
2
(D) arctan 2
22
三、 图 形 变 换
例3、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点
连线垂直对角线。 B
D
N
N
D B
位置关系的判定等，并多以选择题、填空题以及求解角、
距、积的形式出现.
另外,空间向量的工具运用, 为求立体几何的空间角
和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索
性试题提供了简便、快速的解法,它的实用性是其它方法
无法比拟的，因此可加强运用向量方法解决几何问题的意
识，提高使用向量的熟练程度和自觉性.
这时，AC上任一点到面BDE的距离
就是所求.
由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥ AB，根据三垂线定理 ， AC⊥ AB.但AB∥AC,故AC ⊥ CE.从而AC ⊥ 面CDE 。又 BE∥AC ,得BE ⊥ 面CDE, 进而面BDE⊥面CDE，
在Rt∆CDE上作高CH，由Rt∆ACD中, ∠ CAD = 300为二
B1C1CB 底面 ABC，且 AC1 BC . （1） 求异面直线 AA1 与 B1C1 间的距离； （2） 求侧面 A1B1BA 与底面 ABC 所成二 面角的度数．
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变式五
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练习 1:
(1998 年全国高中数学联赛题)
设 E、F、G 分 别 是 正 四 面 体 ABCD 的 棱
1、 截面法 2、隔离法 3、展平法 4、投影法
例2、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设∆C1 D1 B
所在的半平面为α ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1
所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角
分析的度数因为二面角的平面角的度数是 D1
α—BD1
—β
C1
由相应平面角的来表示的，所以解
A M
C
C
M
A
证明 如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中
点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形， 而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转1800 得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N 对称知，对称 轴必经过MN，从MN⊥AC，MN⊥BD。
证明2、 将∆ABC 绕AC展平到面ACD上，得 ABCD，则
B1 股定理可算 得AFC1最短。
C1
A
B
C
思考一．(2005全国)如图，ABCD为正方体。任作
平面 与对角线 垂直，使得 与正方体的每个面
都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S， 周长L为 .则（ ） A．S为定值，L 不为定值 B．S不为定值， L为定值 C．S与 L均为定值 D．S与L 均不为定值
=MC2 = ，从而∠
M3 Aa2C,=在6∆00A，MC即中二，面由角余α—弦定
BD1—β 的度数为600。
思考一. 如图，设正三棱锥 S—ABC 的底面边长 为 a，侧棱长为 2a，过 A 作与侧棱 SB、SC 都相 交的截面 AEF，求这个截面周长的最小值. 分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面 展开如图，求 AEF 周长最小值 问题就转化成了求 A、A'两点间 的最短距离.
BD与AC相交与M，BM=MD。再将图形复原，由BM=MD，
BN=ND知MN是等腰三角形∆MBD 底边上的高，有 MN⊥BD。
同理MN⊥AC。
B
N
D
A
M
C
D
C
M
A
B
图形变换包括
1、空间的对称 2、空间的旋转 B
D N
3、空间的折叠
A
M
4、空间的展平
C
直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中 心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂 直于AC,BD.
C1
C
A2
B2 O
C2
P1
Q1
证明 作平面 α 垂直于PP1 ，则直线PP1在平面 α 上 的投
影为一点，记为O，由 AA1 ⊥ PP1，BB1 ⊥ PP1, CC⊥PP1 知,
AA1 ∥α, BB1∥ α, CC1∥α
从而
AA1在α 上的投影OA2=AA1,
BB1在α上的投影OB2=BB1,
CC1在α上的投影OC2=CC1