直线与方程易错题(有非常详细的解答与分析)
求直线方程问题中的几个易错点
数学部分•易错题归类剖析 高一使用 2020年12月求直线育程问题中的几令易错点0■廖庆伟求直线方程问题，看起来简单，但要细心得y =kx 一松，解此2x + 3y 一 6 = 0。
正解:由题设可审题，下面就这类问题的易错点举例分析，帮助大家更好地学习这部分知识。
3^3 + 6—、弄不清直线的倾斜角a 的取值范围x2 + 3k ，方程组可得彳例1 已知直线斜率的绝对值为箱，则6k 一 2^3直线的倾斜角为____。
y2 + 3k 。
错解：由直线的斜率为箱，即k = tan a =由题意可知交点位于第一象限，所以可得倾斜角a = 60°。
3 ^^3 + 6、33+■ >0,r 2k > —2，错因分析:要明确直线的倾斜角a 的取-解得/据此7七’ 一 2值范围，即◎G _0 , n)。
2 + 3k >0，k >3或 k V —3,正解：由题意可得，直线的斜率k =可得k >3Ltan a = 士肩，故倾斜角 a = 60°或 a = 120°。
可二、弄不清直线的倾斜角与斜率的关系设直线l 的倾斜角为a （0W a Vn ）,则例2 若直线l :y = kx 一43与直线 2x +k = tan a > ——。
由函数y = an a 的性质可3y —6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的3倾斜角的取值范围是（ ）。
知,~ V a V-n ，应选B 。
A-[ 6,—)B -(已—)三、混淆截距与距离的关系C -( 3,n )D -（于，）例3 已知直线l 的斜率为一4,与两坐得y =kx 一箱，解此2x + 3y 一 6 = 0。
标轴围成的三角形的面积是6,则直线l 的方错解：由题设可程为_____。
4y = —-|-x + b (b >0)。
3^3 + 6错解：设直线l :x2 + 3k ，方程组可得〈令x = 0得y =b y 二6k 一 2 437，令y = 0得x =〒b 。
直线方程易错题目
直线⽅程易错题⽬直线⽅程易错题⼀定点问题1.若k∈R时，直线y-2=k(x-1)总通过⼀个定点，这个定点是（）A（1，-2）B（-1,2）C（-2,1）D（1,2）2.⽅程y=k（x-2），x∈R表⽰（）A通过点（-2,0）的⼀切直线B通过点（2,0）的⼀切直线C通过点（2,0）且不垂直x轴的⼀切直线D通过点（2,0）且除去x轴的⼀切直线3.已知直线l的⽅程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m∈R，直线l恒过定点_____ ⼆截距问题1.直线mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的⾯积是（）A 12mn B1||2mn C12mnD 12||mn2.过点P（2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线⽅程是：________3.过点（5,2）且在x轴上截距是y轴上截距两倍的直线⽅程是：__________4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线⽅程为（）A x-y-3=0B x-y+3=0或2x-5y=0C x-y+3=0D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L与两坐标轴围成⼀个等腰直⾓三⾓形，且此三⾓形的⾯积为18，求直线L的⽅程。
三最值问题1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的⾯积最⼩时直线l 的⽅程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三⾓形的⾯积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2D 4（变式题：若⾯积为5呢，⾯积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最⼩值时直线l的⽅程.4.位于第⼀象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC⾯积的最⼩值，并求此时A点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取⼀点P，使得||PM|-|PN||最⼤，则P点坐标是（）A （5,0）B （13,0）C （0,13）D （3.4,0）变式：若使||PM|+|PN||最⼩呢？四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的⽅程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）4. 直线042=--y x 上有⼀点P ，它与两定点)4,3()1,4(B A 、-的距离之差最⼤，则P点的坐标是___.五、易错题1.已知直线L 的横截距为a ，纵截距为b ，斜率为k ，则下列命题正确的是（ D ） A 直线与坐标轴围成的⾯积是12ab B 直线的⽅程是：1x y a b += C 斜率k=ba- D以上都不对2.若直线L 过点（1,2）且两截距相等，则直线L 的斜率k 是（ D ） A k=-1或k=2 B k=±1或k=2 C k=-1 D k=1或k=23. 下列四个命题中属于真命题的是（ B ） A 、经过定点的直线都可以⽤⽅程00()y y k x x -=- B 、经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以⽤121121()()()()y y x x x x y y --=--表⽰C 、不经过原点的直线都可以⽤1x ya b+=表⽰； D 、经过点(0,)A b 的直线都可以⽤⽅程y kx b =+表⽰4.直线tan +y-1=07的倾斜⾓是（ D ）A -7πB 7πC 75πD 76π5.若111:0L A x B y C ++=与222:0L A x B y C ++=只有⼀个公共点则（ D ）A 1122AB -A B =0 B 1221A B +A B =0C 1212A A B B ≠D 1122A BA B ≠6.当θ是第四象限⾓时，直线sin x θ+和直线x +的位置关系是（ C ）A 平⾏B 相交但不垂直C 垂直D 与θ⾓有关7.若直线L 1：x+ay+6=0与直线L 2：（a-2）x+3y+2a=0互相平⾏，则a 的值为（ C ） A -1或3 B 1或3 C -1 D 以上都不对8.过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点的直线⽅程是（ C ） A112121y y x x y y x x --=-- B 122112y y x x y y x x --=--C 211211()()()()0y y x x x x y y -----=D 211211()()()()0x x x x y y y y -----= 9.下列命题：○1若有斜率的两条直线斜率不相等，则这两条直线不平⾏○2若两条直线平⾏，则这两条直线的斜率相等○3若两条直线都有斜率，且斜率相等，则这两条直线必定平⾏其中不正确的命题是____○2__○3____ 10.已知两点A （-1,2），B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k （2）求直线AB 的⽅程（3）已知实数m [1]m ∈-，求直线Ab 的倾斜⾓α的取值范围11.求过点P （-5，-4）且分别满⾜下列条件的直线⽅程（1）倾斜⾓的正弦值是45；（2）倾斜⾓是直线l ：314y x =+的倾斜⾓的⼀半（3）与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且||3||5AP BP =直线系⽅程及其巧妙应⽤1．命题的给出命题：设点00()P x y ，在直线0Ax By C ++=（其中AB ，不全为零）上，则这条直线的⽅程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．这⼀结论的证明⽐较简单，但值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表⽰的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应⽤这种直线⽅程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防⽌解题出现漏解或错解的现象．2．命题的应⽤（1）斜率问题的应⽤在求过圆外⼀点的圆的切线⽅程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，⼀般要分直线有⽆斜率两种情况进⾏讨论．⽽应⽤直线系⽅程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的⽅程．解：设所求直线l 的⽅程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆⼼(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的⽅程为4y =或34130x y +-=．（2）截距问题的应⽤当题⽬中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在⼀坐标轴上的截距是另⼀坐标轴上的截距的m 倍（0m >）”等条件时，采⽤截距式就会漏掉“零截距”的情况，从⽽丢解．⽽应⽤直线系⽅程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性．例2 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线⽅程．解：设所求直线⽅程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）．显然，当0A =或0B =时，所得直线⽅程不满⾜题意．故A B ，均不为零．当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43Bx A=-+．根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443A BB A -=-+，令A z B =，则13443z z-=-+，整理，得23740z z -+=，解得1z =，或43z =，则0A B =≠，或403A B =≠，故所求直线⽅程为10x y ++=，或430x y +=．编者的话：利⽤过点00()P x y ，的直线系⽅程00()()0A x x B y y -+-=（其中AB ，不全为零）确定直线⽅程，弥补了直线⽅程中⼏种常见的特殊直线⽅程形式的限制条件的不⾜，避免了分类讨论，解法具有通⽤性和简洁性．下⾯我们⽤这个⽅法来做两道相关的题⽬．练习：1．求过原点且与直线110l y -+=成30°⾓的直线⽅程l ．2．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线⽅程．答案：1．0x =，或0x -= 2． 35340x y +-=．课题：直线系与对称问题教学⽬标：1.掌握过两直线交点的直线系⽅程；2.会求⼀个点关于⼀条直线的对称点的坐标的求法；3.会求⼀条直线关于⼀个点、⼀条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法（⼀）主要知识及⽅法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++??⼀定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -??-=- -结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --，其中0022Ax By CD A B++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线⽅程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++??--，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线⽅程的求法：①到⾓相等；②在已知直线上去两点（其中⼀点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线⽅程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利⽤对称轴所在直线上任⼀点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线⽅程为()2,20f a x b y --=.5.直线系⽅程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系⽅程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平⾏的直线系⽅程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系⽅程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的⽅程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（⼆）典例分析：问题1．（06湖北联考）⼀条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求⼊射光线的⽅程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的⽅程.问题3．根据下列条件，求直线的直线⽅程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平⾏； ()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.问题4．()1已知⽅程1x kx =+有⼀正根⽽没有负根，求实数k 的范围()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第⼀象限，求k 的取值范围.()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l（三）课后作业：1.⽅程()()()14232140k x k y k +--+-=表⽰的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55??2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线⽅程是.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线⽅程是4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，A B I仅有两个元素，则实数a 的范围是5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线⽅程6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的⽅程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的⽅程.7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过⼀定点9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的⽅程11.光线沿直线1l ：250x y -+=射⼊，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的⽅程12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找⼀点P ，使PA PB + 最⼩，并求出最⼩值.（四）⾛向⾼考：13.（02北京）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第⼀象限，则直线l 的倾斜⾓的取值范围是 .A ,63ππ.B ,62ππ?? ???.C ,32ππ?? ???.D ,62ππ??14.（03全国⽂）直线2y x =关于x 轴对称的直线⽅程为.A 12y x =- .B 12y x = .C 2y x =- .D 2y x =15.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的⽅程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=16.（05上海）直线12y x =关于直线1x =对称的直线⽅程是17.（07上海⽂）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的⽅程是.A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x.C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x直线中的⼏类对称问题对称问题，是解析⼏何中⽐较典型，⾼考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本⽂通过⼏道典型例题，来介绍这⼏类对称问题的求解策略.⼀、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的⼀类，其余⼏类对称问题均可以化归为点关于点的对称进⾏求解. 熟练掌握和灵活运⽤中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造⽅程求解.解由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有+=+=245223x x ，解得==64y x ，故C （4，6）.点评解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进⾏求解. 另外此题有可以利⽤中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列⽅程来求解.⼆、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个⽅⾯：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破⼝.解据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21??x y ??k ?y ??x A A --=++'由题意可知，-=??? ??-?--=-+?++12113032322解得-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53???????? ??--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这⾥需要注意到的是两对称直线是平⾏的. 我们往往利⽤平⾏直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线⽅程.分析本题可以利⽤两直线平⾏，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取⼀点，再求该点关于点P 的对称点，代⼊对称直线⽅程待定相关常数.解法⼀由中⼼对称性质知，所求对称直线与已知直线平⾏，故可设对称直线⽅程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线⽅程为2x+11y-38=0.解法⼆在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中⼼对称性质知，所求对称直线与已知直线平⾏，故可设对称直线⽅程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代⼊，解得c=-38. 故所求对称直线⽅程为2x+11y-38=0.点评解法⼀利⽤所求的对称直线肯定与已知直线平⾏，再由点（对称中⼼）到此两直线距离相等，⽽求出c ，使问题解决，⽽解法⼆是转化为点关于点对称问题，利⽤中点坐标公式，求出对称点坐标，再利⽤直线系⽅程，写出直线⽅程. 本题两种解法都体现了直线系⽅程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平⾏，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其⼀般解法为先求交点，再⽤“到⾓”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的⽅程.分析由题意，所给的两直线l 1，l 2为平⾏直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利⽤平⾏直线系去求解，或者利⽤距离相等寻求解答.解根据分析，可设直线l 的⽅程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代⼊⽅程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的⽅程为x-y+3=0.点评将对称问题进⾏转化，是我们求解这类问题的⼀种必不可少的思路. 另外此题也可以先利⽤平⾏直线系⽅程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取⼀点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的⽅程. 分析两直线相交，可先求其交点，再利⽤到⾓公式求直线斜率. 解由??3302y x y x 解得l 1，l 2的交点??? ??--29,25A ，设所求直线l 的斜率为k ，由到⾓公式得，kk 31313113+-=?+-，所以k=-7.由点斜式，得直线l 的⽅程为7x+y+22=0.点评本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的⽅程.总结：（1）⼀般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线⽅程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）⼀般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线⽅程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）⼀般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线⽅程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）⼀般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）⼀般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.（数学2必修）第三章直线与⽅程训练题⼀、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜⾓为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满⾜（） A ．1=+b a B ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a 5．直线1x =的倾斜⾓和斜率分别是（）A ．045,1 B ．0135,1- C ．90，不存在D ．0180，不存在6．若⽅程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表⽰⼀条直线，则实数m 满⾜（） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m ⼆、填空题3、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的⽅程为____________________。
第二章 直线和圆的方程【易错题型专项训练】(解析版)
第二章直线和圆的方程【易错题型专项训练】易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（）A ．-1B ．-513C ．2D ．12【答案】B【分析】由两线平行有斜率相等，结合斜率的两点式列方程，求参数m 即可.【详解】由题意知：16(2)812523m m ----==---，解得513m =-.故选：B.2．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（）A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定【答案】C【分析】求出方程两根的积，根据直线垂直的条件判断．【详解】由题意1a b k k =-，∴两直线垂直．故选：C ．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________.【答案】4【分析】根据直线垂直，结合斜率的两点式知0AB k =，则CD k 不存在，即可知a 的值.【详解】∵直线l 1的斜率为0，又l 1⊥l 2，∴l 2的斜率不存在，故a =4.故答案为：4.易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（）A ．154x y +=-B ．145x y +=-C ．145x y +=-D ．154x y +=-【答案】C【分析】由题意知4,5a b =-=，直接代入直线1x y a b+=可得答案.【详解】题意知4,5a b =-=，代入直线的截距式方程1x y a b +=可得145x y +=-．故选:C.【点睛】本题考查了直线方程的截距式，考查了截距的概念，属于基础题.2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（）A ．65B ．6-C ．65-D ．6【答案】B【分析】()3,0代入方程，即可求解.【详解】将(3,0)代入直线方程得3(2)2m m +=，解得6m =-．故选：B.【点睛】本题考查直线的横截距的概念，属于基础题.3．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________.【答案】2x －y ＝0或x －y ＋1＝0【分析】直线过原点有直线方程为2x －y ＝0；直线不过原点时，设x 轴截距为(0)a a ≠，则y 轴截距为a -，根据截距式并结合所过的点求a ，写出方程.【详解】当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，设x 轴截距为(0)a a ≠，则y 轴截距为a -，可设直线方程为1x y a a+=-，将P (1,2)代入方程，可得1a =-，得直线方程为x －y ＋1＝0.∴综上，直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.故答案为：2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（）A ．(－1，1)B ．(1，－1)C ．(1，1)D ．(－1，－1)【答案】A【分析】联立两直线方程求解.【详解】由230,230,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩所以直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为(－1，1)故选：A2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-【答案】A【分析】联立两条直线方程，方程组的解所对应的点即为交点坐标.【详解】20231322x y x x y ==⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩，所以两条直线的交点坐标为(2,3).故选：A【点睛】本题考查直线的交点坐标，属于基础题.3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______．【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标．【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了两直线垂直的充要条件及求两条直线的交点坐标，属于基础题．易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（）A ．41BCD ．39【答案】B【分析】利用中点坐标公式，求出M 点坐标，再利用两点间距离公式可求点M 到原点O 的距离.【详解】设(),M x y ，由中点坐标公式得212x -=，502y +=，解得4x =，5y =-．所以点()4,5M -．则OM =故选：B【点睛】本题主要考查了中点坐标公式和两点间距离公式，属于基础题.2．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B的距离为A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】点()3,5A -关于x 轴的对称点为()'3,5A --，则光线从A 到B 的路程即'A B 的长，'A B ==A 到B 的路程为 C.3．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________．【分析】直接利用两点间的距离公式求解即可．【详解】点A （2，1），B （5，﹣1），则|AB |==【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=【答案】A【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点，根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r =，所以圆的标准方程为：221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（）A ．22(2)(3)16x y -+-=B ．22(2)(3)16x y -++=C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=【答案】C【分析】将圆的一般方程配方得圆的标准方程.【详解】将224630x y x y ++--=配方得标准方程为22(2)(3)16x y ++-=．故选：C.【点睛】本题考查将圆的一般方程配方得圆的标准方程，属于基础题.3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________．【答案】22(2)(4)20x y -+-=．【分析】由20280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.【详解】由20280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得24x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(2,4)，又圆过原点，所以圆的半径r ==故圆的标准方程为22(2)(4)20x y -+-=．故答案为：22(2)(4)20x y -+-=【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.易错点六：直线与圆的位置关系1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【答案】B【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d ，与圆的半径r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B考点：直线与圆的位置关系．2．已知过点P(2,2)的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且与直线10ax y -+=垂直,则a =（）A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-=，=12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.3．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______.【答案】2【分析】先判断直线所过的定点坐标，然后根据定点与圆的位置进行求解即可.【详解】0(1)kx y k y k x --=⇒=-，所以直线()0kx y k k R --=∈恒过点(1,0)A ，因为221012+=<，所以点(1,0)A 在圆222x y +=内，所以直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=相交，故交点的个数为2.故答案为：2【点睛】本题考查了直线与圆的交点个数，考查了判断直线过定点，考查了数学运算能力.易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】C【分析】配方求出圆M 的圆心坐标和半径，求出圆心距，与两圆半径和差比较．【详解】圆M 的标准方程为22(2)4x y ++=，圆心为(2,0)M -，半径为2R =，圆N 的圆心为(6,3)N -，半径为3r =，5MN R r ===+，两圆外切．故选：C ．【点睛】本题考查两圆的位置关系，求出圆心距与半径和及差的绝对值比较可得两圆位置关系．2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离【答案】D【分析】先得出两圆的圆心和半径，比较两圆的圆心距与两圆的半径的关系，可得选项．【详解】()()221:121C x y ++-=，圆心()11,2C -，半径11r =，()()222:229C x y -++=，圆心()22,2C -，半径23r =，所以两圆心的距离12125+4C C r r =>=，所以圆C 1与圆C 2外离.故选：D.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键在于求出两圆的圆心距与两圆的半径的关系，属于基础题．3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.【答案】相交【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系可判断两圆的位置关系.【详解】由题设有()10,0C ，11r =，()21,1C ，21r =，故12C C ==所以12121202r r C C r r -=<<=+，故圆1C 与圆2C 的位置关系为相交.故答案为：相交.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判断，此类问题一般可通过圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系来判断，本题属于基础题.。
直线的方程题及答案
直线的方程题及答案本文将探讨一些关于直线方程的题目，并提供详细的解答。
直线方程是数学中的重要概念，掌握好直线方程的求解方法对理解几何学和代数学都至关重要。
题目一：求直线的斜率和截距已知直线通过点P(2, 3)，斜率为2，求此直线的方程。
解答：直线的一般方程为：y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线的截距。
已知直线通过点P(2, 3)且斜率为2，代入上述方程得：3 = 2 * 2 + c，解得c = -1。
因此，直线的方程为：y = 2x - 1。
题目二：两条直线的交点已知直线l1过点A(1, 2)，斜率为3；直线l2过点B(2, 4)，斜率为-2。
求直线l1和l2的交点坐标。
解答：设直线l1的方程为y = 3x + c1，直线l2的方程为y = -2x + c2。
由已知，直线l1经过点A(1, 2)，代入方程得：2 = 3 * 1 + c1，解得c1 = -1。
直线l2经过点B(2, 4)，代入方程得：4 = -2 * 2 + c2，解得c2 = 8。
将c1和c2带入对应方程，得到直线l1的方程为y = 3x - 1，直线l2的方程为y = -2x + 8。
为求两条直线的交点，令它们的y值相等，解方程得：3x - 1 = -2x + 8，解得x = 1，将x = 1代入任一方程得到y = 2。
因此，直线l1和l2的交点为(1, 2)。
题目三：两直线平行或垂直判断已知直线l1的方程为2x + 3y = 4，直线l2经过点C(1, -1)，斜率为-2。
判断直线l1和l2是否平行或垂直。
解答：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
直线l1的斜率可用标准形式y = (-a/b)x + c得到，即斜率为-2/3；直线l2的斜率为-2。
由此可知，直线l1和l2的斜率不相等，因此它们不平行。
两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
直线l1的斜率为-2/3，直线l2的斜率为-2，它们的乘积不等于-1。
直线与方程及圆与方程易错题
直线与方程及圆与方程易错题直线与方程及圆与方程易错题1、点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）.A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-2、求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ?面积最小时，求直线l 的方程。
4、点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为5、如果三条直线mx +y +3=0,x -y -2=0,2x -y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是6、已知两条直线l 1：y ＝1；l 2：ax －y ＝0（a ∈R ），当两直线夹角在（0，12π）变动时，则a 的取值范围为7、ABC ?中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4BC 的长为 8、若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，a 的值为9、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（）A 、3x+2y-5=0B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=0 10、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=011、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _ 12、直线062=++y m x 与直线023)2(=++-m my x m 没有公共点，实数m 的值为13、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程。
14、过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．15、自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2－4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．16、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．17、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)218、自点1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（）．(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 519、过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）．(A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33=（D ）x y 33-= 20、M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（）．(A)相切 (B)相交 (C)相离（D ）相切或相交21、过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝422、圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )．A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 23、圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的公切线有且仅有( )．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条24、空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)与点B (2，－1，6)的距离是( )． A ．243B ．221C ．9D ．8625、两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，试确定常数a 的值． 26、设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程是27、求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程。
查补易混易错点06 解析几何(解析版)
查补易混易错点06 解析几何1.直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2.圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
3.圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。
易错点01 倾斜角与斜率关系不明倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与x 轴平行或重合时，误认为倾斜角为0°或180°；③不了解倾斜角与斜率关系。
易错点02 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种：若直线l 1: 11y k x b =+，l 2: 22y k x b =+，则有l 1与l 2相交⇔12k k ≠； l 1∥l 2⇔ 12k k =，且b1≠b2； l 1⊥l 2⇔ 121k k •=-②若直线1111:l A x B y C +=，2222:l A x B y C +=，则有l 1与l 2相交⇔12210A B A B -≠；l 1∥l 2⇔122112*********A B A B C A C B C B C -=⎧⎨-≠-≠⎩A 或；l 1⊥l 2⇔12120A A B B +=两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。
高中数学易错知识点总结 直线与方程
高中数学易错知识点总结直线与方程易错点1：忽略90°倾斜角的特殊情形例1：求经过点A(m，3)和B(1，2)的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。
错误解法】根据斜率公式，直线AB的斜率k为：k = (3-2)/(m-1)①当m>1时，k>0，因此直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k<0，因此直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°。
错误原因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题。
本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负。
也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论。
参考答案】详见试题解析。
易错点2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直线l1经过点A(3，a)和B(a-2，3-a)，直线l2经过点C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值。
错误解法】由l1⊥l2⇔k1·k2=-1，所以a=0.k2 = (3-a-3)/(a-2+1) = (a-6)/(a-1)，k1不存在。
错误原因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2=-1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑。
试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论。
当k2=0时，a=5，此时k1不存在；当k2≠0时，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2.因此，a的取值为4、-2或5.2.由两条直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，需要先考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；解题后，需要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解。
3.两条直线的位置关系可以通过斜截式或一般式来表示。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
直线与方程圆与方程易错点剖析
直线与方程圆与方程易错点剖析1.直线的斜率计算错误：直线的斜率有两种常见的计算方式，一种是斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)，另一种是两点式：k=(y-y1)/(x-x1)。
在计算斜率的过程中容易出错的地方是计算差值时出现错误，特别是符号的问题。
解决方法是先计算差值，然后根据分子分母的符号情况确定斜率的符号。
2.直线的点斜式与一般式转换错误：直线的标准方程有两种，一种是点斜式：y-y1=k(x-x1)，另一种是一般式：Ax+By+C=0。
在通过点斜式转换为一般式时，容易出错的地方是计算C的值时出现错误，特别是符号的问题。
解决方法是先将点斜式扩展为一般式的形式，然后根据表达式的形式确定C的值。
3.直线与其他已知图形的位置关系判断错误：直线与其他图形的位置关系判断是直线的重要应用之一，但容易出错的地方是判断中心点的坐标、直径或半径的取值错误。
解决方法是先确定图形的标准方程，然后通过求解方程组来确定图形的位置关系。
1.圆心与半径的确定错误：圆的方程形式可以是标准方程、一般方程或参数方程。
在确定圆心和半径的数值时，容易出错的地方是符号的问题，特别是符号的正负选择错误。
解决方法是注意与圆心和半径相关的方程的正负关系，参考其他已知条件来确定。
2.圆与直线的位置关系判断错误：圆与直线的位置关系判断是圆的重要应用之一，但容易出错的地方是判断直线是否切线或者是与圆相交。
解决方法是通过求解方程组来确定直线与圆的交点情况，注意解的个数来判断。
3.圆与其他已知图形的位置关系判断错误：圆与其他图形的位置关系判断是圆的重要应用之一，但容易出错的地方是判断中心点的坐标、半径或边长的取值错误。
解决方法是先确定图形的标准方程，然后通过求解方程组来确定图形的位置关系。
高中数学必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)
必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
高考数学 专题01 直线方程中常见错误(解析版)
专题01直线方程中常见错误一．【学习目标】1.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式.2.掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程.3.了解斜截式与一次函数的关系. 二．【知识要点】 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴__正方向__与直线l __向上方向__之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_零度_．（或者定义:在平面直角坐标系中，当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴为基准，使x 轴（正方向）绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线l 的倾斜角.当l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为零度） (2)倾斜角的取值范围：__[0,2π]__． 2．直线的斜率及斜率计算公式(1)直线的倾斜角不等于90°时，其正切值叫做该直线的斜率，记作k ＝tan α(α≠90°)；直线的倾斜角等于90°时，其斜率__不存在_．(2)过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝___________．(3)k ＞0⇔α∈___________，k <0⇔α∈____________．特别地：k ＝0时，α＝0°，k 不存在时，α＝90°. (4)直线的方向向量①若直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则其方向向量a ＝(－B ，A )． ②若直线方程为y ＝kx ＋b ，则其方向向量a ＝(1，k )．③若F 1(x 1，y 1)，F 2(x 2，y 2)是直线上不同的两点，则其方向向量为a ＝F 1F 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 3．直线方程的五种形式(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为______________； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为______________． 4．线段的中点坐标公式线段P 1P 2两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中点为M (x ，y )，则______________ 三．【题型分类】 （一）直线条数讨论 （二）直线过象限问题 （三）平行的易错点 （四）关于直线的对称问题 （五）直线过定点问题 （六）垂直问题的易错点 （七）几何意义求最值 四．【题型与规律方法】 （一）直线条数讨论例1.过点()1,3P 作直线l ，l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且a ，*b ∈N ，则这样的直线l 的条数为（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵直线l 过点（a ，0）和（0，b ），可设直线l 的方程为：x ya b+=1， ∵直线l 过点（1，3），∴13a b+=1，即 3a ＝（a ﹣1）b ，又a ∈N *，b ∈N *， ∴当 a ＝1时，此时，直线和x 轴垂直，和y 轴无交点，直线不过（0，b ），故a ＝1时不满足条件． 当 a ≥2时，b 31a a ==-331a +-①， 当 a ＝2时，b ＝6，当 a ＝4时，b ＝4，当a ＞4时，由①知，满足条件的正整数b 不存在， 综上，满足条件的直线有2条， 故选 B ．（二）直线过象限问题例2. 直线l 的方程为： (2)(31)1a y a x -=--，若直线l 不经过第二象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a >B ．23a -≤≤C ．2a ≥D ．4a ≥【答案】C【解析】若直线l 斜率不存在，即12,5a l x ==：不经过第二象限， 若直线l 斜率存在，即3112,22a a l y x a a -≠=---：，所以31022102a a a a -⎧≥⎪⎪-⇒>⎨⎪-≤⎪-⎩， 综上实数a 的取值范围为2a ≥，选C.练习1. 如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六部分，求实数a 的取值集合.【答案】84,1,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】这三条直线将平面分为六部分，包括两种情况： ①直线280ax y ++=过另外两条直线的交点由4310210x y x y +=⎧⎨-=⎩得交点为：()4,2- 则4480a -+=，解得：1a =-②直线280ax y ++=与另外两条直线中的一条平行280ax y ++=与4310x y +=平行可得：38a =，解得：83a = 280ax y ++=与210x y -=平行可得：4a -=，解得：4a =-综上所述，a 的取值集合为：84,1,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭（三）平行的易错点例3. 已知两直线1:230l x my ++=，()2:1310l m x my -++=平行，则m 的值是（ ） A ．7 B ．0或7C ．1-D ．7或1-【答案】B【解析】12//l l Q ()2310m m m ∴⨯--= 解得：0m =或7 本题正确选项：B练习1．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ）A ．0或3或-1B ．0或3C ．3或-1D ．0或-1【答案】D【解析】Q 两条直线260x a y ++=和()2320a x ay a -++=互相平行216232a a a a-∴=≠--，或121k a =-和223a k a -=-同时不存在 解得：1a =-或0a = 本题正确选项：D练习2. 已知直线l 1过A (3,0),直线l 2过B (0,4),且l 1∥l 2,用d 表示l 1与l 2间的距离,则d 的取值范围是_____. 【答案】(0,5]【解析】由题意可知AB ，d 表示l 1与l 2间的距离，则0d AB <≤,∴05d <≤.故答案为(0,5].（四）关于直线的对称问题例4. ．已知圆C ：22430x y x +-+=，则圆C 关于直线4y x =--的对称圆的方程是（ ） A ．22(4)(6)1x y +++= B ．22(6)(4)1x y +++= C ．22(5)(7)1x y +++= D ．22(7)(5)1x y +++=【答案】A【解析】根据题意，设要求圆的圆心为'C ，其坐标为(,)a b ，圆C ：22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，故其圆心为(2,0)，半径1r =，C 与'C 关于直线4y x =--对称，则有0122422b a b a -⎧=⎪⎪-⎨--⎪=-⎪⎩，解可得46a b =-⎧⎨=-⎩， 则要求圆的圆心为(4,6)--，半径'1r =，其方程为22(4)(6)1x y +++=， 故选：A ． 练习1.函数y =________．【答案】58． 【解析】()2222334y x x =++-+．设()0,3A ，()3,4B ，(),0P x ，则y PA PB =+．点A 关于x轴的对称点是()'0,3A -，22min '3758y A B ∴==+= 故填58练习2. 一束光线从点(2,3)A -射入，经过x 轴上的点P 反射后，经过点(5,7)B ，则点P 的坐标为_______【答案】1,010⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为人射光线经过点A ，所以点A 关于x 轴的对称点A '在反射光线的反向延长线上，设点P 的坐标为(,0)x .易知点A '的坐标为(-2,-3)，则A '，,P B 三点在同一条直线上，所以A P A B k k ''=即0373252x ++=++解得110x =，所以点P 的坐标为1,010⎛⎫ ⎪⎝⎭. （五）直线过定点问题例5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线L:(a-2)x+y+a=0经过定点的坐标（ ） A ．(-1, -2) B ．(1,-2)C ．(-2, 1)D ．(2, 0)【答案】A【解析】对直线():20l a x y a -++=进行整理，得到()120x a x y +-+=， 因为直线l 过定点，则1020x x y +=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩ 故直线l 过定点()1,2--. 故选A 项. 练习1. 点到直线的距离的最大值为________.【答案】【解析】化简可得，由，所以过定点，点(5,2)到直线的距离的最大值就是点(5,2)与点的距离为，故答案为.（六）垂直问题的易错点 例6. 已知直线与垂直，则实数m 的值为（ ）A.2或4B.1或4C.1或2D.-6或2【答案】D【解析】由已知可得：解得：或故选：D练习1. 已知两定点()3,8A --，()10,4B 及两平行直线1:34100l x y ++=，2:34150l x y +-=，试在直线1l ，2l 上分别求出点P ，Q ，使得1PQ l ⊥，且折线段APQB 的长度最短，并写出此时三条折线所在直线的方程．【答案】()2,4P -，()5,0Q，直线AP ，PQ ，QB 的方程分别为45280x y --=，43200x y --=，45200x y --=．【解析】（如图）作点B 关于L 2的对称点B ′，作点A 关于L 1的对称点A ′，再在AA ′的延长线上取点M ，使得A ′M 等于两平行线L 1、L 2之间的距离d ，连结B ′M 与L 2的交点为Q ，过Q 作QP 垂直L 1于点P ， 可得图中的点P 、Q 就是所求作的点．结合已知可求得P （2，﹣4），Q （5，0），可得直线的方程分别为AP ：4x ﹣5y ﹣28＝0PQ ：4x ﹣3y ﹣20＝0，QB ：4x ﹣5y ﹣20＝0练习2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A 、()0,0O 、()(),00D t t >三点，M 是直线AD上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点． （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求三角形EPQ 的面积的最小值． 【答案】(1) 4340x y --= (2) ()min2EPQS ∆=【解析】（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，所以圆C 方程为：()()223110x y -+-=.设2l 方程为：()1y k x =-，则()222213101k k -+=+，解得10k =，243k =， 当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以43k =，此时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）设(),M x y ，由点M 在直线AD 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=.由2AM BM ≤，得224220339x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 依题意知，直线AD 与圆224220339x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…至多有一个公共点，≥，解得t ≥t ≤. 因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =. 所以圆C 方程为：()()22215x y -+-=(i) 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S ∆= (ii) 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：()()10y k x k =-≠，则1l 的方程为：()11yx k=--，点10,E k ⎛⎫⎪⎝⎭.所以BE =.又圆心C 到2l 211k k ++，所以2242421k k PQ k -+=+故222222114244244212421EPQk k k k S k k k k k∆-+-+=+==-++ 21115154442k ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭因为1522<，所以()min 152EPQ S ∆=. （七）几何意义求最值例7. 已知点()00,M x y 到直线320x y ++=与直线330x y ++=的距离相等，且0031y x ≥+，则0y x 的最大值是( ) A.119B.1C.13D.12【答案】A000022221313=++00102x y -+=或00504x y ++=， 所以00000010250431x y x y y x ⎧-+=⎪⎪⎪++=⎨⎪≥+⎪⎪⎩，作出目标区域如下图：蓝色线条即为满足的()00,M x y 所表示的范围，且911(,)1616A --，又1119OA k => 则00y x 的最大值为119.故选：A.练习1．已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A ．43B ．23C ．53D ．56【答案】A【解析】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x =-的距离，即()()min 221453221PC --==+-，此时，22minmin min 541133PMPN PC ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，∴四边形PMCN 面积的最小值为min11442212233PM CM ⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选：A . 练习2. 已知,P Q 分别是直线:20l x y --=和圆22:1C x y +=上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则PA PQ +的最小值为（ ） A 2 B ．2 C 51D 2101+- 【答案】C【解析】如图，圆22:1C x y +=的圆心为(00)O ，，半径1r =. 设点0(1)A ，关于:20l x y --=的对称点为()B a b ，， 则12022 11a bb a +⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，，解得2 1a b ⎧⎨-⎩＝，＝，即(21)B -，. 连接BO ，交直线:20l x y --=于点P ，交圆22:1C x y +=于点Q ，此时PA PQ +取得最小值为51BO r -=.故选C.练习3. 点(,)M x y 在函数y 2x 8=-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+剟,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 练习4. ．在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P 到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q 到直线的距离为，故答案为：．练习5. ．已知直线l 与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点（直线PQ 的斜率大于0），且OP OQ ⊥，若OPQ∆的面积为235，则直线PQ 的方程为__________． 【答案】22y x =±234y x =±11 【解析】设直线为(0)y kx m k =+>，联立椭圆方程2212x y +=,消元得：()222214220k x kmx m +++-=，当0∆>时，2121222422,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++ ， 因为OP OQ ⊥，所以12120y y x x +=，整理得()22321m k =+ ①，又原点到直线的距离d =PQ =，所以12S d PQ ==，结合①得=,解得22m =或234m =，当 22m =时，22k =， 因为0k >，所以k m ==，当234m =时，218k=，即4k m ==0∆>，所以所求直线方程为y =±y x =±.。
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题（含答案）
本文将介绍直线与方程问题的基本概念和解题方法，并提供一些示例问题及其答案。
以下是内容的简要概述：
直线与方程的基本概念
- 直线：直线是由一组无限延伸的点组成的，可以用线段来表示。
直线有无限多个点，无限延伸的长度和方向。
- 方程：方程是数学表达式中的等式，其中包含一个或多个未知数。
方程描述了两个对象之间的关系。
直线与方程问题的解题方法
- 求两点间的斜率：通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来得到直线的斜率。
- 根据斜率和一点求直线的方程：使用斜率和已知点的坐标来确定直线的方程。
- 点斜式方程：通过已知直线上的一点和该直线的斜率来写出直线的方程。
- 一般式方程：将直线的方程转化为一般的标准形式，即Ax + By + C = 0。
示例问题及答案
1. 求经过点A(2, 3)和点B(5, 7)的直线的斜率。
解答：斜率 = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3
2. 已知直线上的一点为P(4, 2)，斜率为2/5，求该直线的方程。
解答：使用点斜式方程，直线的方程为 y - 2 = (2/5)(x - 4)
3. 将直线的方程2x + 3y - 6 = 0转化为一般式方程。
解答：将方程重新排列为3y = -2x + 6，然后将其化简为Ax + By + C = 0的形式，即2x + 3y - 6 = 0。
以上是关于直线与方程问题的基本概念、解题方法和示例问题
的介绍。
希望对您有所帮助！。
直线方程(考题猜想,易错必刷36 题 15种题型)(解析版)—2024-2025学年高二数学上学期
直线方程（易错必刷36题15种题型专项训练）➢ 点斜式方程综合应用 ➢ 截距式方程综合应用➢ 一般式直线理论 ➢ 直线与坐标轴围成面积➢ 含参直线过定点➢ 点到直线距离最值型➢ 平行线距离最值范围➢对称：点关于直线对称➢ 对称：光学性质➢ 对称：最小值➢ 对称：两点距离公式几何意义➢ 对称：将军饮马型➢ 对称：叠纸型➢ 直线关于直线对称➢直线综合一．点斜式方程综合应用 （共3小题）1．（22-23高二上·北京·期中）已知直线11:22l y x =+，直线l 2是直线l 1绕点()2,1P -逆时针旋转45°得到的直线．则直线l 2的方程是（ ）A ．3y x =+B ．23y x =--C ．49y x =+D ．37y x =+2．（21-22高二上·新疆省直辖县级单位·期中）已知ABC V 的三个顶点(3,0),(1,2),(1,3)A B C --，则ABC V 的高CD 所在的直线方程是（ ）A ．550x y +-=B ．250x y ++=C ．250x y +-=D ．250x y --=3．（21-22高一上·江苏南通·期中）已知点(, )P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，则24x y +的最小值为A ．2B ．4C ．D ．二． 截距式方程综合应用（共3小题）4．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（ ）A ．()1,+¥B ．1,12æö-ç÷èøC ．()1,01,2æö-È+¥ç÷D ．()1,1,2¥¥æö--È+ç÷5．（23-24高二上·陕西榆林·期中）直线l 经过点()4,3P -，在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且,a b 满足log 2a b =，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．1-C ．3-D ．1-或3-6．（21-22高二上·江苏南通·期中）过点()1,2P ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）A ．4条B ．2条C ．3条D ．1条【答案】C【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.【详解】当截距为0时，设直线方程为=y kx ，将()1,2P 代入=y kx ，求得=2k ，故方程为2y x =；当截距不为0时，三．一般式直线理论 （共2小题）7．（21-22高二上海浦东新·期中）在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by cax by cd ++=++，下面四个命题中的假命题为（ ）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1d =，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1d =-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1d >，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；8．（21-22高二上·北京·期中）设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l Ax By C ++=.记1122Ax By CAx By Cl ++=++，则下列结论中正确的个数是（）①不论l 为何值，点N 都不在直线l 上；②若1l =，则过,M N 的直线与直线l 相交；③若1l =-，则直线l 经过MN 的中点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个.四．直线与坐标轴围成面积（共4小题）9．（2022高三·全国·期中）直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(][),22,-¥-+¥UC ．[)(]2,00,2-U D ．(,)¥¥-+10．（21-22高二上·安徽·期中）过点(1,2)P 且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．（22-23高二上·河南期中）已知直线l 过点(1,3)M ，且分别交两直线,y x y x ==-于x 轴上方的,A B 两点，O 点为坐标原点，则AOB V 面积的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．D ．20【答案】A【分析】判断直线斜率存在并设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，求出,A B 两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知直线l 的斜率一定存在，斜率设为k ，则直线l 的方程为3(1)y k x -=-，故332(11111AOB k k k S k k k ---é=×=+ê+-+ë△当且仅当4(1)111k k k k-+=+-，即13k =故AOB V 面积的最小值为8，故选：A ．12．（21-22高二下·江苏南京·期中）直线:1x yl a b+=中，1357{{48}6}2a b ÎÎ，，，，，，，．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．16五．含参直线过定点（共2小题）13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k 为任何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒过定点，若直线2mx ny +=过此定点其中m ，n 是正实数，则312m n+的最小值是（ ）A ．214B ．274C ．212D ．27214．（2023高二上·全国·期中）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（ ）A ． 1,23æö-ç÷èøB ．11,62æöç÷èøC ．11,26æöç÷D ．12,3æö-ç÷六．点到直线距离最值型 （共3小题）15．（2023高二上·江苏·期中）点()2,1P --到直线()()():131240R l x y l l l l +++--=Î的距离最大时，其最大值以及此时的直线l 方程分别为（）A 20x y +-=B 340x y +-=C 3250x y +-=D 2310x y -+=16．（23-24高二上·北京海淀·期中）点(2,1)P --到直线:10(R)l mx y m m +--=Î的距离最大时，直线l 的方程为（ ）A ．2320x y --=B ．3280x y ++=C ．3250x y +-=D ．2310x y -+=【答案】C17．（23-24高二上·全国·期中）若动点1122()A x y B x y ,,(,)分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．B ．2C D ．4七． 平行线距离最值范围（共2小题）18．（22-23高二上·四川成都·期中）已知A ，B 两点的坐标分别为()1,0，()1,2-，若两平行直线1l ，2l 分别过点A ，B ，则1l ，2l 间的距离的最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．因为12l l ∥，所以1l ，2l 间的距离即点A 当1l ，2l 垂直AB 时，1l ，2l 间的距离取最大值，即最大值为又由两点间的距离公式可知，AB =故选：D ．19．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于A ．2pB ．4pC ．8pD ．12p八． 对称：点关于直线对称（共2小题）20．（23-24高二上·安徽·期中）已知在ABC V 中，顶点()1,1A ，点B 在直线20l x y -+=:上，点C 在x 轴上，则ABC V 的周长的最小值为（ ）AB．C．D则此时ABC V 的周长取最小值，且最小值为解得()1111,1,33x A y=-ì\-í=î，易求得2A 故选：B .21．（22-23高二上·江苏南京期中）已知ABC V 的一条内角平分线CD 的方程为20x y +-=，两个顶点为()1,2A 、()1,1B --，则顶点C 的坐标为（ ）A ．17,33æö-ç÷èøB ．15,33æöç÷èøC ．()3,5-D ．()3,1-九．对称：光学性质（共2小题）22．（23-24高二上·福建三明·期中）已知()()3,0,0,3A B-，从点()1,0P-射出的光线经y轴反射到直线AB 上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为（）A．B．6C．D．故选：C23．（23-24高二上·安徽·期中）如图，已知某光线从点()2,0A -射出，经过直线y x =上的点B 后第一次反射，此反射光线经过直线4x =上的点C 后再次反射，该反射光线经过点()2,10D ，则直线BC 的斜率为（ ）A ．32B ．52C ．85D ．2．故选：十．对称：最小值 （共2小题）24．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线3260x y +-=分别与,x y 轴交于,A B 两点，若直线10x y +-=上存在一点C ，使CA CB +最小，则点C 的坐标为（ ）A ．21,33æöç÷B ．61,55æö-ç÷C ．41,33æö-ç÷D ．41,55æöç÷ç÷【详解】由题直线关于直线10x y +-=对称的点为()111:244AB y x y x -=-Þ=-2125．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线l ：280x y --=和点()2,0A -，点()2,4B ，点P 是直线l 上一动点，当PA PB +最小时，点P 的坐标是（ ）A ．()2,5--B ．()0,4-C ．()2,3-D ．()4,2-【答案】C【分析】根据给定条件求出A 关于直线280x y --=的对称点A ¢坐标，求出直线A B ¢方程，与已知直线方程联立即可求解.十一．对称：两点距离公式几何意义（共3小题）26．（23-24高二上·河北·期中）已知实数x，y满足220x y-+=，最小值为（）A．B．10+C．108D．11727．（23-24高二上·河南新乡·的最小值为（）AB．3C D．28．（23-24高二上·江苏盐城A．25B．C D．【答案】C【分析】根据目标式的几何意义，十二．对称：将军饮马型（共2小题）29．（22-23高二上·江西景德镇·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()1,0B -，若将军从山脚下的点()1,0A 处出发，河岸线所在直线方程为24x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．4B ．5C D ．165【答案】A【分析】作图，求出点A 关于直线24x y +=对称的点A ¢，再由两点间的距离公式即可得解．【详解】如图，设点()1,0A 关于直线24x y +=对称的点为(,)A a b ¢，30．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处最小（）A B C．1D．2则当且仅当P¢，S，十三．对称：叠纸型（共2小题）31．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点()0,0和126,55-æöç÷èø点重合，点()7,3和点(),m n重合，则m n+=（）A．345B．365C．283D．323【答案】A32．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4-与点()4,a -重合，点()1,2-与点2,2b æö-ç÷èø重合，则a b -=（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．1十四．直线关于直线对称 （共2小题）33．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知直线：1:3l y ax=+与2l 关于直线y x =对称，2l 与3:210l x y +-=平行，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．234．（16-17高一下·安徽阜阳·期中）已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =A ．12-B ．12C ．2-D ．2十五．直线综合（共2小题）35．（2022高三·全国·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，E为线段1B C的中点，F是棱11C D 上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PE PF+的最小值为（）A B C2D【答案】A【分析】连接1BC，得出点,,P E F在平面11BC D中，问题转化为在平面内直线1BD上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E关于直线1BD到直线11C D的距离，从而可得结果.【详解】2设点E 关于直线1BD 的对称点为所以22EE k ¢=，故直线EE ¢为联立①②，解得13223x y ì=ïïíï=ïî，故直线所以对称点252(,)36E ¢，则PE 36．（22-23高三上·浙江绍兴·期中）已知实数0,0a b ><的取值范围是 .。
直线与方程易错题(有非常详细的解答与分析)
直线与方程一．选择题（共2小题）1．（2007•安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或02．（2004•黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5二．解答题（共21小题）3．已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．4．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．5．已知直线l过点P（﹣1，﹣2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程．6．求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x﹣3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．7．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等．8．已知三角形ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6）．直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的．求直线L的方程．9．求过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程．10．已知△ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y﹣27=0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣2y+5=0，求BC边所在直线的方程．11．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．（3）求BC的垂直平分线方程．12．已知直线l：x+ay+1﹣a=0．（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（﹣2，﹣1），B（1，1），求实数a的取值范围；（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．13．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当时，求折痕长的最大值；（Ⅲ）当﹣2≤k≤﹣1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|2﹣1），试求t的最大值．14．（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m﹣1）x+y+n=0，l1经过（﹣1，﹣1），问l1∥l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由．（理科做）△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y﹣16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x﹣3y+1=0，求AC的长．15．已知点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．16．求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．17．一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（﹣1，6），求入射光线所在直线方程．18．已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|﹣|PB|最大．19．实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值．20．已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由．21．设x﹣y+1=0，求的最小值．22．已知直线L：x+y﹣1=0（1）求直线2x+2y+3=0与直线L之间的距离；（2）求L关于（﹣1，0）的对称直线．23．如图，在直角坐标系中，射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：x+3y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于A、B点．①当AB的中点为P时，求直线AB的方程；②当AB的中点在直线y=x上时，求直线AB的方程．直线与方程参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2007•安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．点评：此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．2．（2004•黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．专题：计算题．分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．解答：解：线段AB的中点为，垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2），4x﹣2y﹣5=0，故选B．点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．二．解答题（共21小题）3．已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：通过直线过原点，求出直线的方程，利用直线的截距式方程，直接利用点在直线上求出直线的方程即可．解答：解：若直线l过原点，方程为y=2x；若直线l不过原点，设直线方程为，将点P（1，2）代入方程，得a=﹣1，直线l的方程为x﹣y+1=0；所以直线l的方程为y=2x或x﹣y+1=0．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意焦距式方程的应用，不可遗漏过原点的直线方程．考查计算能力．4．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：设直线l的横截距为a，则纵截距为（6﹣a），写出直线l的截距式方程，把（1，2）代入即可求出a的值，把a的值代入直线l的方程中，经过检验得到满足题意的直线l的方程．解答：解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6﹣a，∴直线l的方程为，∵点（1，2）在直线l上，∴，解得：a1=2，a2=3，当a=2时，直线的方程为2x+y﹣4=0，直线经过第一、二、四象限；当a=3时，直线的方程为x+y﹣3=0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x+y﹣4=0或x+y﹣3=0．点评：此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程，是一道基础题．学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意．5．已知直线l过点P（﹣1，﹣2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为﹣1，分别求出两种情况下直线l的方程，进而得到答案；（2）由已知中直线l过点P（﹣1，﹣2），与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，我们可以设直线l的方程为（a＜0，b＜0），进而根据，我们易根据基本不等式，得到△AOB 的面积的最小值，即a，b的值，进而得到直线l的方程．解答：（12分）解：（1）当截距均为0时，直线l过P（﹣1，﹣2）及O（0，0）方程为：y=2x （2分）当截距不为0时，设l的方程为：由题意：∴a=﹣3∴l的方程为：x+y+3=0综上，l的方程为：y=2x或x+y+3=0（6分）（2）设直线l的方程为（a＜0，b＜0）（7分）∵点P（﹣1，﹣2）在直线l上∴∴∴ab≥8，当且仅当即时，取“=”（10分）∴当a=﹣2，b=﹣4时，（S△AOB）min=4（11分）此时直线l的方程为，即2x+y+4=0（12分）点评：本题考查的知识点是直线的截距式方程，其中（1）的关键是分析出直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为﹣1，在解答时，易忽略直线l过原点这种情况，而错解为x+y+3=0．6．求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x﹣3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．考点：直线的一般式方程；直线的倾斜角．专题：综合题．分析：（1）要求直线方程，就要先求出直线的斜率，根据题意所出直线的倾斜角等于已知直线的倾斜角的2倍，利用二倍角的正切函数公式求出已知直线的倾斜角即可；（2）分两种情况：第一直线过原点，求出即可；第二不过原点，因为截距相等，设出截距式方程，把P坐标代入即可求出．解答：解：（1）设已知直线的倾斜角为α，由题可知，则所求直线的斜率，所以直线l的方程为，化简得：3x﹣4y+6=0；（2）当直线过原点时设直线方程为y=kx，把（2，3）代入求出k=，所以直线l的方程为：当直线不过原点时，设直线方程为+=1，把（2，3）代入方程得：+=1，解得A=5，所以直线l的方程为：．点评：此题是一道综合题，要求学生掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，会根据一点和斜率求直线的一般式方程．学生在做第二问时注意直线过原点时截距也相等，不要掉了这种情况．7．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等．考点：直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：（1）因为直线l1过点（﹣3，﹣1），把点（﹣3，﹣1）坐标代入直线方程，可得含a，b的等式，带着参数a，b求出直线l1：ax﹣by+4=0在x轴与y轴上的截距，根据直线l1在x轴和y轴上的截距相等又可得到含a，b的等式，两个等式联立，即可解出a，b的值．（2）因为直线l1与l2平行，所以两直线斜率相等，即可得到含a，b的等式，再用点到直线的距离公式求出原点到直线l1、l2的距离，根据两个距离相等又可得到一个含amb的等式，两个等式联立，即可解出a，b的值．解答：解：（1）令x=0得y=，令y=0得x=﹣，依题得，解得；（2）∵l1∥l2，∴=﹣2，∴a=﹣2b，又由=，∴a2+b2=20，∴5b2=20，∴b=±2，当b=﹣2时，a=4，直线l1为4x+2y+4=0与l1重合，舍去，∴b=2，a=﹣4．点评：本题主要考查了点与直线，直线与直线位置关系的判断，以及点到直线距离公式的应用．8．已知三角形ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6）．直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的．求直线L的方程．考点：直线的一般式方程．专题：数形结合．分析：利用三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，得E是CA的中点，由EF∥AB，得直线EF的斜率，从而可求方程解答：解：由已知，直线AB的斜率K=，∵EF∥AB∴直线EF的斜率为K=∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，∴E是CA的中点．又点E的坐标（0，），直线EF的方程是，即x﹣2y+5=0点评：本题是一个已知三角形的面积求直线方程题目，条件给出的是点的坐标，利用代数方法来解决几何问题，这是解析几何的特点，这是一个典型的数形结合问题9．求过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：如果斜率存在，由夹角公式求出直线l的斜率，即可求出方程，如果斜率不存在，可数形结合求出直线l的倾斜角，求出斜率，求出方程解答：解：①若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45°=||，得k=0，所求l的直线方程为y=﹣2．②若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线x﹣y+5=0相交成45°角．综合可得，直线l的方程为x=5或y=﹣2．点评：本题考查直线方程的求法，注意斜率是否存在的讨论10．已知△ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y﹣27=0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣2y+5=0，求BC边所在直线的方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y﹣27=0上，在直线方程为x﹣2y+5=0，求出B的坐标，求出A关于x﹣2y+5=0的对称点为A′（x′，y′）的坐标，即可求出BC边所在直线的方程．解答：解：设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y﹣27=0上，可得联立x0﹣2y0+5=0解得B（﹣3，1）…（5分）设A点关于x﹣2y+5=0的对称点为A′（x′，y′），则有解得A′（2，1）…（10分）∴BC边所在的直线方程为y=1…（12分）点评：本题是中档题，考查直线关于直线的对称点的坐标的求法，函数与方程的思想的应用，考查计算能力，常考题型．11．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．（3）求BC的垂直平分线方程．考点：直线的一般式方程；中点坐标公式．专题：计算题；转化思想．分析：（1）利用直线方程的两点式求直线的方程，并化为一般式．（2）由中点公式求得M的坐标，再利用两点间的距离公式求出两点间的距离．（3）先利用垂直关系求出垂直平分线的斜率，用点斜式写出垂直平分线的方程，并化为一般式．解答：解：（1）由两点式得AB所在直线方程为：，即6x﹣y+11=0．（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得，，即点M的坐标为（1，1）．故．（5分）（3）M的坐标为（1，1）．设BC的垂直平分线斜率为k，又BC的斜率是k1=，则k=∴BC的垂直平分线方程为即3x+2y﹣5=0（8分）点评：本题考查直线方程的两点式、点斜式、中点公式、两点间的距离公式的应用，以及两直线垂直的性质．12．已知直线l：x+ay+1﹣a=0．（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（﹣2，﹣1），B（1，1），求实数a的取值范围；（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．考点：直线的一般式方程；直线的斜率．专题：计算题．分析：（Ⅰ）结合图形，求出直线PA的斜率，直线PB的斜率，从而得到直线PA的倾斜角和直线PB的倾斜角，即可求求实数a的取值范围；（Ⅱ）先求直线与x轴、y轴的截距，再利用基本不等式求面积的最小值．解答：解：（Ⅰ）直线l过定点P（﹣1，1），K PA=2，K PB=0，要使l满足条件，必须当a=0时，满足条件；当a≠0时，l的斜率或即a＞0或，综上得；（Ⅱ），依题意有，而，∵a＜0，∴，即，当a=﹣1时，面积的最小值为2，此时直线的方程为x﹣y+2=0．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的数学思想，考查学生会求直线与x轴、y轴的截距，会利用基本不等式求面积的最小值，会写出直线的一般式方程13．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当时，求折痕长的最大值；（Ⅲ）当﹣2≤k≤﹣1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|2﹣1），试求t的最大值．考点：直线的一般式方程；函数最值的应用．专题：创新题型；数形结合；分类讨论．分析：（1）分情况讨论斜率表示直线的方程（2）表示出线段后，分类讨论求最值（3）表示线段，用均值不等式求最值解答：解：（1）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG•k=﹣1⇒⇒a=﹣k故G点坐标为G（﹣k，1），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为折痕所在的直线方程，即由①②得折痕所在的直线方程为：（2）当k=0时，折痕的长为2；当时，折痕直线交BC于点，交y轴于∵∴折痕长度的最大值为而故折痕长度的最大值为（3）当﹣2≤k≤﹣1时，折痕直线交DC于，交x轴于∵∴∵﹣2≤k≤﹣1∴（当且仅当时取“=”号）∴当时，t取最大值，t的最大值是．点评：本题考察内容比较综合，考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数形结合和分类讨论思想，属难题14．（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m﹣1）x+y+n=0，l1经过（﹣1，﹣1），问l1∥l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由．（理科做）△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y﹣16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x﹣3y+1=0，求AC的长．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：（文科做）把点（﹣1，﹣1）代入l1得：n﹣m+4=0，当n=0时，两直线不垂直．所以n不等于0．由此能求出m，n的值．（理科做）直线CE：2x+3y﹣16=0，则AB斜率k=，直线AB：y﹣4=（x﹣3）．与直线AD：2x﹣3y+1=0交点A（1，1）．设C（m，n），C在直线CE：2x+3y﹣16=0上，则2m+3n﹣16=0，由此能得到C（5，2），从而求出AC的长．解答：解：（文科做）把点（﹣1，﹣1）代入l1得：n﹣m+4=0，当n=0时，两直线不垂直．所以n不等于0．﹣（1﹣m）=﹣1，联立解得m=2或者m=﹣2．当m=2时，n=﹣2，当m=﹣2时，n=﹣6．（理科做）直线CE：2x+3y﹣16=0，则AB斜率k=，直线AB：y﹣4=（x﹣3）3x﹣2y﹣1=0与直线AD：2x﹣3y+1=0交点A（1，1）．设C（m，n），C在直线CE：2x+3y﹣16=0上，则2m+3n﹣16=0，BC中点D（，）在直线AD：2x﹣3y+1=0上，3+m﹣（4+n）+1=0，解方程组得C（5，2）．∴AC==．点评：本题考查两直线平行的关系和条件的应用，考查直线的交点坐标和两点间距离公式，解题时要认真审题，仔细解答．15．已知点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，只需把A对称到两条直线的另一侧，A1A连线与两条直线的交点就是所求的点M、N的坐标，如图．解答：解：如图，A（3，1）关于y=x的对称点A1（1，3），A（3，1）关于y=0的对称点A2（3，﹣1），△AMN的周长最小值为|A1A2|，|A1A2|=2，A1A2的方程：2x+y﹣5=0．A1A2与x﹣y=0的交点为M，由⇒M（，），A1A2与y=0的交点N，由⇒N（，0）．点评：本题考查两条直线的交点坐标，对称知识，考查计算能力，是基础题．16．求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．考点：过两条直线交点的直线系方程．专题：计算题．分析：直线方程即λ（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x+y﹣1=0和﹣x+3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．解答：证明：直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0 即λ（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，根据λ的任意性可得，解得，∴不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点（2，﹣3）．点评：本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条．17．一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（﹣1，6），求入射光线所在直线方程．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程．专题：数形结合．分析：设入射光线与x轴的交点为P（x，0），由k MP=﹣k NP ，解出P的坐标，可求得直线MP的斜率，用点斜式写直线MP的方程．解答：解：设入射光线与x轴的交点为P（x，0），则直线MP的倾斜角与直线NP的倾斜角互补，则k MP=﹣k NP ，（3分）∴，∴x=0，即P（1，0），（6分）∴，∴直线MP的方程为y﹣0=3（x﹣1），即3x﹣y﹣3=0．（10分）点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，体现了数形结合的数学思想．18．已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|﹣|PB|最大．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程．专题：计算题；综合题．分析：先判断A、B与直线l：x+2y﹣2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y﹣2，看符号相同在同侧，相反异侧．（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．（2）使|PA|﹣|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．解答：解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）．则有+2•﹣2=0，•（﹣）=﹣1．解得x1=﹣，y1=﹣．由两点式求得直线A1B的方程为y=（x﹣4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，﹣）．由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．（2）由两点式求得直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣4），即x+y﹣5=0．直线AB与l的交点可求得为P（8，﹣3），它使|PA|﹣|PB|最大．点评：本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．19．实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值．考点：两点间距离公式的应用；三角函数的最值；斜率的计算公式．专题：数形结合．分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大．（2）令2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值，一个最大，另一个最小．（3）=表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2，最小值是|CB|减去半径2．解答：解：x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示一个以C（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图：（1）表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，由2=，k=0 或﹣20，结合图形知，的最大值为0，最小值为﹣20．（2）令2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t和圆相切时，有2=，∴t=±2，故2x+y的最大值为2，最小值为﹣2．（3）=表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，圆心C（﹣1，2）到点B（1，0）的长度是2，∴的最大值2+2，最小值为2﹣2．点评：本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．20．已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出AB的方程，AB的距离，设出C点的坐标，C在AB的垂线上，以及C到AB的距离和面积，求出C 的坐标．解答：解：AB=，直线AB的方程为，即2x+5y﹣22=0，假设在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为（m，n），则一方面有m﹣3n+3=0①，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，|2m+5n ﹣22|=28，即2m+5n=50②或2m+5n=﹣6③． 联立①②解得，；联立①③解得m=﹣3，n=0． 综上，在直线x ﹣3y+3=0上存在点C或（﹣3，0），使得三角形ABC 的面积等于14．点评： 本题考查点到直线的距离，考查计算能力，是基础题．21．设x ﹣y+1=0，求的最小值．考点： 点到直线的距离公式．专题：计算题． 分析： 由题设条件知，p=可看作点A （﹣3，5）和B （2，15）到直线x ﹣y+1=0，上的点的距离之和，作A （﹣3，5）关于直线x ﹣y+1=0，对称的点A ′（4，﹣2），则解答：解：=可看作点A （﹣3，5）和B （2，15） 到直线x ﹣y+1=0，上的点的距离之和， 作A （﹣3，5）关于直线x ﹣y+1=0， 对称的点A ′（4，﹣2），则本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意点到直线的距离，点评：22．已知直线L：x+y﹣1=0（1）求直线2x+2y+3=0与直线L之间的距离；（2）求L关于（﹣1，0）的对称直线．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：（1）由于2x+2y+3=0可以化简为x+y+，代入两平行线间的距离公式可求（2）由题意可得（﹣1，0）不在直线L：x+y﹣1=0上，则L关于（﹣1，0）对称的直线与与L平行，且（﹣1，0）到两直线的距离相等，代入可求解答：解：（1）∵2x+2y+3=0可以化简为x+y+代入两平行线间的距离公式可得d==（2）由题意可得（﹣1，0）不在直线L：x+y﹣1=0上则L关于（﹣1，0）对称的直线与与L平行，故可设所求的直线方程为x+y+c=0（c≠﹣1）∴∴c=3或c=﹣1（舍）∴所求的直线方程为：x+y+3=0点评：本题主要考查了点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式的应用，直线关于点对称直线的求解（此类问题一定要注意判断点是否在已知直线上）转化为了距离问题．23．如图，在直角坐标系中，射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：x+3y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于A、B点．①当AB的中点为P时，求直线AB的方程；②当AB的中点在直线y=x上时，求直线AB的方程．考点：与直线有关的动点轨迹方程；中点坐标公式；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：①由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，求出A、B点坐标，因为AB的中点为P，由中点坐标公式列方程求解即可．②同①求出A、B点坐标，求出中点坐标，因为AB的中点在直线y=x上，代入求解即可．解答：解：①由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，得A（，），B（，）因为AB的中点为P，由中点坐标公式，解得m=所以直线AB的方程为：2x﹣（1﹣）y﹣2=0②由①可知AB的中点M坐标为：（，），因为AB的中点在直线y=x上，所以=，解得：m=，所以直线AB的方程为：3x﹣（3﹣）y﹣3=0点评：本题考查两条直线的交点坐标、中点坐标公式及求直线方程问题，考查运算能力．。
高一数学直线方程试题答案及解析
高一数学直线方程试题答案及解析1.过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0B．3x+2y+7=0C．2x﹣3y+5=0D．2x﹣3y+8=0【答案】A【解析】直线的斜率，由于垂直，因此所求直线斜率，因此直线的点斜式方程为，即.【考点】直线垂直和直线的点斜式方程.2.已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+3y﹣2=0的交点，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】(1);(2)【解析】(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式和点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线；（2）与函数相结合的问题：解决这类问题，一是利用直线方程中的的关系，将问题化为关于或的函数，借助函数的性质解决；（3）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决；（4)求直线方程一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程的系数，这种方法叫待定系数法.试题解析：解：（Ⅰ）由，解得由于点的坐标是（﹣2，2）．则所求直线与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线的方程为2x+y+m=0．把点的坐标代入得2×（﹣2）+2+=0，即．所求直线的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在轴．轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线与两坐标轴围成三角形的面积=×1×2=1．【考点】（1）求直线方程；（2）直线方程的应用.3.求经过P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.【答案】【解析】本小题最优解是设直线方程的截距式，但考虑到截距式的局限性（即不能表达过原点截距相等的直线方程），故分两类，一类过原点，一类截距相等不过原点的截距式：试题解析：设该直线在两轴上截距为a.那么，①当a=0时，直线过原点.由两点式求得直线方程为；②当a≠0时直线方程为把代入求得.直线方程为，由①②知所求直线方程是.【考点】直线方程的求解.4.光线从点发出，经过轴反射，再经过轴反射，最后光线经过点，则经轴反射的光线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由题意可知，点关于轴的对称点与点关于轴的对称点的连线即为经轴入射光线的所在直线，易得：，根据对称性，可知反射光线的方程为，即.【考点】直线方程.5.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x－y＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0【答案】B【解析】因为点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,所以直线l是线段PQ的垂直平分线；由线段PQ的中点坐标为（2，3），，由直线方程的点斜式得：即，故选B.【考点】直线的方程.6.已知直线L：kx－y＋1＋2k＝0.(1)求证：直线L过定点；(2)若直线L交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线L的方程．【答案】(1)定点(－2，1); (2) x－2y＋4＝0.【解析】(1)由直线系方程:恒过两直线: 与的交点可知:只需将直线L的方程改写成:知直线L恒过直线与的交点(-2,1),从而问题得证;(2)先用k将点A和点B的坐标表示出来，由直线L 交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B知：k>0;然后再用含k的代数式将△AOB的面积为S表达出来，得到S是k的函数，再利用基本不等式就可求得使S取得最小值对应的k的值，从而就可写出直线L的方程.试题解析：(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0， 3分令 x＋2="0" ， 1－y=0得: x=-2 ， y=1∴无论k取何值，直线过定点(－2，1) 5分(2)解：令y＝0得：A点坐标为令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)， 7分∴S＝|2k＋1|＝ (2k＋1)△AOB＝≥ (4＋4)＝4 .10分当且仅当4k＝，即k＝时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即 x－2y＋4＝0. 12分【考点】1.直线方程;2.基本不等式.7.已知点A(1，1),B（-1，）直线过原点，且与线段AB有交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当直线过点时，；当直线过点时，；由图知，直线的斜率的取值范围为.【考点】直线的斜率、直线方程.8.求与直线垂直，且在两坐标轴上截距之和为3的直线的方程？【答案】【解析】设出直线的一般式方程，令，，令，代入求出可得到所求的直线方程试题解析：因与垂直，设的方程为令，，令则，所求直线方程为【考点】直线方程的一般式9.过点（1，2）且与直线平行的直线方程是 .【答案】【解析】与直线平行的直线方程可设为，把点（1，2）代入，求得，所以直线方程为.【考点】直线方程、两直线的位置关系.10.若直线过点且垂直于直线，则直线的斜截式方程是 .【答案】【解析】过点且垂直于直线的直线方程为，即．【考点】直线的方程，两条直线的位置关系．11.求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.【答案】（1）x－3y－6＝0.（2）x－3y－15＝0.【解析】解：∵直线的方程为y＝－x＋1，∴k＝－，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.(1)∵直线经过点(，－1)，∴所求直线方程为y＋1＝ (x－)，即x－3y－6＝0.(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，即x－3y－15＝0.【考点】直线方程点评：主要是考查了直线方程的求解，属于基础题。
专题24+直线方程易错点概全-决胜高考数学之破解高考命题陷阱+Word版含解析
一．【学习目标】1.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式.2.掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.4.掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.5.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题. 二．【方法规律总结】1.直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解. (1)要善于结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化.①由倾斜角α探究斜率k 须分α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两类讨论.②由斜率k 探究倾斜角须分k≥0和k<0两类讨论. (2)“截距”与“距离”是两个不同的概念.2.因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也需要两个独立条件，其方法一般有两种： (1)直接法：直接选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程. (2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入.3.由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，可能产生遗漏情况，尤其是选择点斜式、斜截式时一定要注意斜率不存在的情况.选择截距式时，注意截距为零的情况.4.判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形.在两条直线斜率都存在的条件下，才有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2与l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.5.在运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x ，y 项系数对应相等.6.求对称点的步骤：(1)设点——设对称点为(x ，y )；(2)列式——利用中点公式(中心对称情况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x ，y 的方程组； (3)求解——解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标. 7.求对称曲线的步骤：(1)设点——设所求曲线上的点为P (x ，y )；(2)求点——求出P 点的对称点为Q (x ′，y ′)，即用x ，y 来表示x ′，y ′；(3)代入——将Q 点坐标代入已知曲线的方程，所得的x ，y 的关系式就是所求对称曲线的方程. 注意记住几种特殊的对称性结论：①对称中心是特殊点(如原点)；②对称轴是特殊直线(如x 轴，y 轴，y ＝x ＋b ，y ＝－x ＋b 等直线)，求对称点和对称曲线可采用代入法直接求解.三．高考命题类型及解题方法 1.直线的倾斜角例题1．直线3x +3y +7=0的倾斜角为 A.6πB. 4πC. 3πD. 34π 【答案】D【解析】直线3x +3y +7=0的斜率3tan 1,0,.4k πααπα==-≤<∴=故选D.练习1．直线:10l ax y ++=在两坐标轴上的截距相等，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 【答案】D2．下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示 B. 方程()20x my m R +-=∈不能表示平行y 轴的直线 C. 经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=- D. 经过两点()111,P x y ， ()222,P x y ()12x x ≠的直线方程为()211121y y y y x x x x --=--【答案】D【解析】A 错误，比如过原点的直线，横纵截距均为0，这时就不能有选项中的式子表示； B 当m=0时，表示的就是和y 轴平行的直线，故选项不对。
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直线与方程一．选择题（共2小题）1．（2007•安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．C．2或0 D．﹣2或0或2．（2004•黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5二．解答题（共21小题）3．已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．4．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．5．已知直线l过点P（﹣1，﹣2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程．6．求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x﹣3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．7．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等．8．已知三角形ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6）．直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的．求直线L的方程．9．求过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程．10．已知△ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y﹣27=0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣2y+5=0，求BC边所在直线的方程．11．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．（3）求BC的垂直平分线方程．12．已知直线l：x+ay+1﹣a=0．（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（﹣2，﹣1），B（1，1），求实数a的取值范围；（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．13．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当时，求折痕长的最大值；（Ⅲ）当﹣2≤k≤﹣1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|2﹣1），试求t的最大值．14．（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m﹣1）x+y+n=0，l1经过（﹣1，﹣1），问l1∥l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由．（理科做）△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y﹣16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x﹣3y+1=0，求AC的长．15．已知点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．16．求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．17．一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（﹣1，6），求入射光线所在直线方程．18．已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|﹣|PB|最大．19．实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值．20．已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由．21．设x﹣y+1=0，求的最小值．22．已知直线L：x+y﹣1=0（1）求直线2x+2y+3=0与直线L之间的距离；（2）求L关于（﹣1，0）的对称直线．23．如图，在直角坐标系中，射线OA：x ﹣y=0（x≥0），OB：x+3y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于A、B点．①当AB的中点为P时，求直线AB的方程；②当AB的中点在直线y=x上时，求直线AB的方程．3/ 17直线与方程参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2007•安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．C．2或0 D．﹣2或0或考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．点评：此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．2．（2004•黑龙江）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．专题：计算题．分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．解答：解：线段AB的中点为，垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2），4x﹣2y﹣5=0，故选B．点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．二．解答题（共21小题）3．已知直线l过点P（1，2），并且l在x轴与y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：通过直线过原点，求出直线的方程，利用直线的截距式方程，直接利用点在直线上求出直线的方程即可．解答：解：若直线l过原点，方程为y=2x；若直线l不过原点，设直线方程为，将点P（1，2）代入方程，得a=﹣1，直线l的方程为x﹣y+1=0；所以直线l的方程为y=2x或x﹣y+1=0．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意焦距式方程的应用，不可遗漏过原点的直线方程．考查计算能力．4．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：设直线l的横截距为a，则纵截距为（6﹣a），写出直线l的截距式方程，把（1，2）代入即可求出a的值，把a的值代入直线l的方程中，经过检验得到满足题意的直线l的方程．解答：解：设直线l 的横截距为a，由题意可得纵截距为6﹣a，∴直线l 的方程为，∵点（1，2）在直线l上，∴，解得：a1=2，a2=3，当a=2时，直线的方程为2x+y﹣4=0，直线经过第一、二、四象限；当a=3时，直线的方程为x+y﹣3=0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x+y﹣4=0或x+y﹣3=0．点评：此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程，是一道基础题．学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意．5．已知直线l过点P（﹣1，﹣2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为﹣1，分别求出两种情况下直线l的方程，进而得到答案；（2）由已知中直线l过点P（﹣1，﹣2），与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，我们可以设直线l的方程为（a＜0，b＜0），进而根据，我们易根据基本不等式，得到△AOB的面积的最小值，即a，b的值，进而得到直线l的方程．解答：（12分）解：（1）当截距均为0时，直线l过P（﹣1，﹣2）及O（0，0）方程为：y=2x （2分）当截距不为0时，设l的方程为：由题意：∴a=﹣3∴l的方程为：x+y+3=0综上，l的方程为：y=2x或x+y+3=0（6分）5/ 17（2）设直线l的方程为（a＜0，b＜0）（7分）∵点P（﹣1，﹣2）在直线l上∴∴∴ab≥8，当且仅当即时，取“=”（10分）∴当a=﹣2，b=﹣4时，（S△AOB）min=4（11分）此时直线l的方程为，即2x+y+4=0（12分）点评：本题考查的知识点是直线的截距式方程，其中（1）的关键是分析出直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为﹣1，在解答时，易忽略直线l过原点这种情况，而错解为x+y+3=0．6．求过点P（2，3）且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线x﹣3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．考点：直线的一般式方程；直线的倾斜角．专题：综合题．分析：（1）要求直线方程，就要先求出直线的斜率，根据题意所出直线的倾斜角等于已知直线的倾斜角的2倍，利用二倍角的正切函数公式求出已知直线的倾斜角即可；（2）分两种情况：第一直线过原点，求出即可；第二不过原点，因为截距相等，设出截距式方程，把P坐标代入即可求出．解答：解：（1）设已知直线的倾斜角为α，由题可知，则所求直线的斜率，所以直线l的方程为，化简得：3x﹣4y+6=0；（2）当直线过原点时设直线方程为y=kx，把（2，3）代入求出k=，所以直线l的方程为：当直线不过原点时，设直线方程为+=1，把（2，3）代入方程得：+=1，解得A=5，所以直线l的方程为：．点评：此题是一道综合题，要求学生掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，会根据一点和斜率求直线的一般式方程．学生在做第二问时注意直线过原点时截距也相等，不要掉了这种情况．7．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等．考点：直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：（1）因为直线l1过点（﹣3，﹣1），把点（﹣3，﹣1）坐标代入直线方程，可得含a，b的等式，带着参数a，b求出直线l1：ax﹣by+4=0在x轴与y轴上的截距，根据直线l1在x轴和y轴上的截距相等又可得到含a，b的等式，两个等式联立，即可解出a，b的值．（2）因为直线l1与l2平行，所以两直线斜率相等，即可得到含a，b的等式，再用点到直线的距离公式求出原点到直线l1、l2的距离，根据两个距离相等又可得到一个含amb的等式，两个等式联立，即可解出a，b 的值．解答：解：（1）令x=0得y=，令y=0得x=﹣，依题得，解得；（2）∵l1∥l2，∴=﹣2，∴a=﹣2b，又由=，∴a2+b2=20，∴5b2=20，∴b=±2，当b=﹣2时，a=4，直线l1为4x+2y+4=0与l1重合，舍去，∴b=2，a=﹣4．点评：本题主要考查了点与直线，直线与直线位置关系的判断，以及点到直线距离公式的应用．8．已知三角形ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6）．直线L平行于AB，且分别交AC，BC于E，F ，三角形CEF的面积是三角形CAB面积的．求直线L的方程．考点：直线的一般式方程．专题：数形结合．分析：利用三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，得E是CA的中点，由EF∥AB ，得直线EF的斜率，从而可求方程解答：解：由已知，直线AB的斜率K=，∵EF∥AB∴直线EF的斜率为K=∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，∴E是CA的中点．7/ 17又点E的坐标（0，），直线EF的方程是，即x﹣2y+5=0点评：本题是一个已知三角形的面积求直线方程题目，条件给出的是点的坐标，利用代数方法来解决几何问题，这是解析几何的特点，这是一个典型的数形结合问题9．求过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：如果斜率存在，由夹角公式求出直线l的斜率，即可求出方程，如果斜率不存在，可数形结合求出直线l的倾斜角，求出斜率，求出方程解答：解：①若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45°=||，得k=0，所求l的直线方程为y=﹣2．②若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线x﹣y+5=0相交成45°角．综合可得，直线l的方程为x=5或y=﹣2．点评：本题考查直线方程的求法，注意斜率是否存在的讨论10．已知△ABC的顶点A为（0，5），AB边上的中线所在直线方程为4x+11y﹣27=0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣2y+5=0，求BC边所在直线的方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y﹣27=0上，在直线方程为x﹣2y+5=0，求出B的坐标，求出A关于x ﹣2y+5=0的对称点为A′（x′，y′）的坐标，即可求出BC边所在直线的方程．解答：解：设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y﹣27=0上，可得联立x0﹣2y0+5=0解得B（﹣3，1）…（5分）设A点关于x﹣2y+5=0的对称点为A′（x′，y′），则有解得A′（2，1）…（10分）∴BC边所在的直线方程为y=1…（12分）点评：本题是中档题，考查直线关于直线的对称点的坐标的求法，函数与方程的思想的应用，考查计算能力，常考题型．11．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．（3）求BC的垂直平分线方程．考点：直线的一般式方程；中点坐标公式．专题：计算题；转化思想．分析：（1）利用直线方程的两点式求直线的方程，并化为一般式．（2）由中点公式求得M的坐标，再利用两点间的距离公式求出两点间的距离．（3）先利用垂直关系求出垂直平分线的斜率，用点斜式写出垂直平分线的方程，并化为一般式．解答：解：（1）由两点式得AB所在直线方程为：，即6x﹣y+11=0．（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得，，即点M的坐标为（1，1）．故．（5分）（3）M的坐标为（1，1）．设BC的垂直平分线斜率为k，又BC的斜率是k1=，则k=∴BC的垂直平分线方程为即3x+2y﹣5=0（8分）点评：本题考查直线方程的两点式、点斜式、中点公式、两点间的距离公式的应用，以及两直线垂直的性质．12．已知直线l：x+ay+1﹣a=0．（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（﹣2，﹣1），B（1，1），求实数a的取值范围；（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．考点：直线的一般式方程；直线的斜率．专题：计算题．分析：（Ⅰ）结合图形，求出直线PA的斜率，直线PB的斜率，从而得到直线PA的倾斜角和直线PB的倾斜角，即可求求实数a的取值范围；（Ⅱ）先求直线与x轴、y轴的截距，再利用基本不等式求面积的最小值．解答：解：（Ⅰ）直线l 过定点P（﹣1，1），K PA =2，K PB=0，要使l 满足条件，必须当a=0时，满足条件；当a≠0时，l的斜率或即a＞0或，综上得；（Ⅱ），依题意有，而，∵a＜0，∴，即，当a=﹣1时，面积的最小值为2，此时直线的方程为x﹣y+2=0．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的数学思想，考查学生会求直线与x轴、y轴的截距，会利用基本不等式求面积的最小值，会写出直线的一般式方程13．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（II）当时，求折痕长的最大值；（Ⅲ）当﹣2≤k≤﹣1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|2﹣1），试求t的最大值．9/ 17考点：直线的一般式方程；函数最值的应用．专题：创新题型；数形结合；分类讨论．分析：（1）分情况讨论斜率表示直线的方程（2）表示出线段后，分类讨论求最值（3）表示线段，用均值不等式求最值解答：解：（1）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG•k=﹣1⇒⇒a=﹣k故G点坐标为G（﹣k，1），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为折痕所在的直线方程，即由①②得折痕所在的直线方程为：（2）当k=0时，折痕的长为2；当时，折痕直线交BC于点，交y轴于∵∴折痕长度的最大值为而故折痕长度的最大值为（3）当﹣2≤k≤﹣1时，折痕直线交DC于，交x轴于∵∴∵﹣2≤k≤﹣1∴（当且仅当时取“=”号）∴当时，t取最大值，t的最大值是．点评：本题考察内容比较综合，考察了求直线方程、求函数的最值、均值不等式、数形结合和分类讨论思想，属难题14．（文科做）已知直线l1：mx+ny+4=0，l2：（m﹣1）x+y+n=0，l1经过（﹣1，﹣1），问l1∥l2是否成立？若成立，求出m，n的值，若不成立，说明理由．（理科做）△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y﹣16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x﹣3y+1=0，求AC的长．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：（文科做）把点（﹣1，﹣1）代入l1得：n﹣m+4=0，当n=0时，两直线不垂直．所以n不等于0．由此能求出m，n的值．（理科做）直线CE：2x+3y﹣16=0，则AB斜率k=，直线AB：y﹣4=（x﹣3）．与直线AD：2x﹣3y+1=0交点A（1，1）．设C（m，n），C在直线CE：2x+3y﹣16=0上，则2m+3n﹣16=0，由此能得到C（5，2），从而求出AC的长．解答：解：（文科做）把点（﹣1，﹣1）代入l1得：n﹣m+4=0，当n=0时，两直线不垂直．所以n不等于0．﹣（1﹣m）=﹣1，联立解得m=2或者m=﹣2．当m=2时，n=﹣2，当m=﹣2时，n=﹣6．（理科做）直线CE：2x+3y﹣16=0，则AB斜率k=，直线AB：y﹣4=（x﹣3）3x﹣2y﹣1=0与直线AD：2x﹣3y+1=0交点A（1，1）．设C（m，n），C在直线CE：2x+3y﹣16=0上，则2m+3n ﹣16=0，BC中点D（，）在直线AD：2x﹣3y+1=0上，3+m﹣（4+n）+1=0，解方程组得C（5，2）．∴AC==．点评：本题考查两直线平行的关系和条件的应用，考查直线的交点坐标和两点间距离公式，解题时要认真审题，仔细解答．11/ 1715．已知点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：点A（3，1），在直线x﹣y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，只需把A对称到两条直线的另一侧，A1A连线与两条直线的交点就是所求的点M、N的坐标，如图．解答：解：如图，A（3，1）关于y=x的对称点A1（1，3），A（3，1）关于y=0的对称点A2（3，﹣1），△AMN的周长最小值为|A1A2|，|A1A2|=2，A1A2的方程：2x+y﹣5=0．A1A2与x﹣y=0的交点为M，由⇒M（，），A1A2与y=0的交点N，由⇒N（，0）．点评：本题考查两条直线的交点坐标，对称知识，考查计算能力，是基础题．16．求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．考点：过两条直线交点的直线系方程．专题：计算题．分析：直线方程即λ（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x+y﹣1=0和﹣x+3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．解答：证明：直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0 即λ（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，根据λ的任意性可得，解得，∴不论λ取什么实数时，直线（2λ﹣1）x+（λ+3）y﹣（λ﹣11）=0都经过一个定点（2，﹣3）．点评：本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条．17．一条光线从点M（2，3）射出，遇x轴反射后经过N（﹣1，6），求入射光线所在直线方程．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程．专题：数形结合．分析：设入射光线与x轴的交点为P（x，0），由k MP=﹣k NP ，解出P的坐标，可求得直线MP的斜率，用点斜式写直线MP的方程．解答：解：设入射光线与x轴的交点为P（x，0），则直线MP的倾斜角与直线NP的倾斜角互补，则k MP=﹣k NP ，（3分）∴，∴x=0，即P（1，0），（6分）∴，∴直线MP的方程为y﹣0=3（x﹣1），即3x﹣y﹣3=0．（10分）点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，体现了数形结合的数学思想．18．已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|﹣|PB|最大．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程．专题：计算题；综合题．分析：先判断A、B与直线l：x+2y﹣2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y﹣2，看符号相同在同侧，相反异侧．（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．（2）使|PA|﹣|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．解答：解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）．则有+2•﹣2=0，•（﹣）=﹣1．解得x1=﹣，13/ 17y1=﹣．由两点式求得直线A1B的方程为y=（x﹣4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，﹣）．由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．（2）由两点式求得直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣4），即x+y﹣5=0．直线AB与l的交点可求得为P（8，﹣3），它使|PA|﹣|PB|最大．点评：本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．19．实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值．考点：两点间距离公式的应用；三角函数的最值；斜率的计算公式．专题：数形结合．分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大．（2）令2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值，一个最大，另一个最小．（3）=表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2，最小值是|CB|减去半径2．解答：解：x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示一个以C（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图：（1）表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，由2=，k=0 或﹣20，结合图形知，的最大值为0，最小值为﹣20．（2）令2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t和圆相切时，有2=，∴t=±2，故2x+y的最大值为2，最小值为﹣2．（3）=表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，圆心C（﹣1，2）到点B（1，0）的长度是2，∴的最大值2+2，最小值为2﹣2．点评：本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．20．已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出AB的方程，AB的距离，设出C点的坐标，C在AB的垂线上，以及C 到AB的距离和面积，求出C 的坐标．解答：解：AB=，直线AB的方程为，即2x+5y﹣22=0，假设在直线x﹣3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为（m，n），则一方面有m﹣3n+3=0①，另一方面点C到直线AB 的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，|2m+5n﹣22|=28，即2m+5n=50②或2m+5n=﹣6③．联立①②解得，；联立①③解得m=﹣3，n=0．综上，在直线x﹣3y+3=0上存在点C或（﹣3，0），使得三角形ABC的面积等于14．点评：本题考查点到直线的距离，考查计算能力，是基础题．21．设x﹣y+1=0，求的最小值．点到直线的距离公式．考点：15/ 17专题：计算题．分析：由题设条件知，p=可看作点A （﹣3，5）和B （2，15）到直线x ﹣y+1=0，上的点的距离之和，作A （﹣3，5）关于直线x ﹣y+1=0，对称的点A ′（4，﹣2），则解答： 解：=可看作点A （﹣3，5）和B （2，15）到直线x ﹣y+1=0，上的点的距离之和，作A （﹣3，5）关于直线x ﹣y+1=0，对称的点A ′（4，﹣2），则点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意点到直线 的距离，22．已知直线L ：x+y ﹣1=0（1）求直线2x+2y+3=0与直线L 之间的距离；（2）求L 关于（﹣1，0）的对称直线．考点： 两条平行直线间的距离． 专题： 计算题．分析： （1）由于2x+2y+3=0可以化简为x+y+，代入两平行线间的距离公式可求（2）由题意可得（﹣1，0）不在直线L ：x+y ﹣1=0上，则L 关于（﹣1，0）对称的直线与与L 平行，且（﹣1，0）到两直线的距离相等，代入可求解答： 解：（1）∵2x+2y+3=0可以化简为x+y+代入两平行线间的距离公式可得d==（2）由题意可得（﹣1，0）不在直线L ：x+y ﹣1=0上则L 关于（﹣1，0）对称的直线与与L 平行，故可设所求的直线方程为x+y+c=0（c ≠﹣1）∴∴c=3或c=﹣1（舍）∴所求的直线方程为：x+y+3=0点评： 本题主要考查了点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式的应用，直线关于点对称直线的求解（此类问题一定要注意判断点是否在已知直线上）转化为了距离问题．23．如图，在直角坐标系中，射线OA ：x ﹣y=0（x ≥0），OB ：x+3y=0（x ≥0），过点P （1，0）作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 点．①当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；②当AB 的中点在直线y=x 上时，求直线AB 的方程．考点：与直线有关的动点轨迹方程；中点坐标公式；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：①由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，求出A、B点坐标，因为AB的中点为P，由中点坐标公式列方程求解即可．②同①求出A、B点坐标，求出中点坐标，因为AB的中点在直线y=x上，代入求解即可．解答：解：①由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB 联立，得A （，），B（，）因为AB的中点为P，由中点坐标公式，解得m=所以直线AB的方程为：2x﹣（1﹣）y﹣2=0②由①可知AB的中点M坐标为：（，），因为AB的中点在直线y=x上，所以=，解得：m=，所以直线AB的方程为：3x﹣（3﹣）y﹣3=0点评：本题考查两条直线的交点坐标、中点坐标公式及求直线方程问题，考查运算能力．17/ 17。