离散系统的动态性能分析

•斜率０／０，未定式，说明可有无穷多条相轨迹以不同斜 率进入、离开或包围该点； •奇点处，系统不再运动，处于平衡状态—平衡点； •奇点只能处于横轴上； •普通点：包括ｃ／０，０／ｃ，ｃ１／ｃ２型，斜率确定， 说明通过该点的相轨迹只有一条，且除奇点外，不同初始条 件的相轨迹不会相交； •平衡线：在一条线上满足
s2 s 1 0 s2 s 1 0
s1, 2 0.5 j 0.866 稳定焦点 极点 0.62 s 鞍点 1, 2 1.62
开关线
5、非线性系统的相平面分析
Te e KM 0 Tr r Te e KM 0e / e0 Tr r Te e KM 0 Tr r
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
2、相轨迹绘制的等倾线法
x f ( x, x)
f ( x, x ) dx dx dt x dx dx dt
例
2 c 2 n c n c 0
推导ａ？
相轨迹的性质
x f ( x, x)
顺时针运动
0 x
f ( x, x ) 0 x
。
奇点的类型： 1）焦点 稳定焦点— 一对具有负实部的共轭复根 不稳定焦点— 一对具有正实部的共轭复根 2）节点 稳定节点— 两个负实根 不稳定节点— 两个正实根 3）鞍点 一正一负实根
（2）奇线（极限环）
三种类型： 1）稳定的极限环 2）不稳定的极限环 3）半稳定的极限环
对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。
3、线性系统的相轨迹 （1）一阶系统
c0 Tc
1 c c T
(2)二阶系统
2 2 n c n c c0
①
0 1
取 ＝0.5, n 1, 则系统微分方程为：
ccc 0
稳定的 焦点
1 ② ＞
2 c 2 n c n c 0
8-3
相平面法
• 相平面法由法国数学家庞加莱于1885年首先 提出； • 图解法（相轨迹），直观、准确； • 适用于常见非线性特性和一阶、二阶线性环 节组成的非线性系统。
1、相平面的基本概念
x f ( x, x)
相平面：
） 由系统变量及其导数（如 c , c 构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
稳定的节点
③
1
④ 0
s1,2 j n
⑤
1 0
⑥
1
小
极点分布 奇点
中心点
结
极点分布 奇点
鞍 点
相迹图
相迹图
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
稳定的 节点
不稳定 的节点wk.baidu.com
4、奇点和奇线
（1）奇点
令
f ( x, x ) x
0 f ( x, x ) dx 0 dx x
取 R2
A e 1 aT
设系统方程为：
运动方向
0 — 向右移动 上半平面 x
0 — 向左移动 下半平面 x
，以 0) 90°穿越 x轴 通过横轴时 ( x
相轨迹上斜率不确定的点 奇点 (平衡点) ：
0 x dx dx dt f ( x, x ) 0 0 dx dx dt x 0 x
利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统
x x 0 x 例 系统方程为 ，分析系统的自由响应。
解
I 奇点 II
x x0 x x x x 0
xe 1 0 xe 2 0
x0 I x 0 II
特征 I 方程 II
e e0 e e0 e e0
整理得
e KM 0 0, Te e Ke 0, Te e KM 0 0, Te
e e0 e e0 e e0
e A0 Te
e A 0 de de Te 0