00常见立体图形外接球题型总结

第 1页
Hale Waihona Puke 言“三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒 杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其 中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面 积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上 把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺 乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这 类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分 点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。
A.36 B.28 C.26 D.18
【变式 3.1】已知正三棱锥 P—ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球
心到截面 ABC 的距离为
.
【变式 3.2】已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在同一个球面上（球 O），且 PA=2，PB=PC= 6 ，当三棱锥 P-ABC 的三个侧
的表面积为（ ）
A. 6
B.12
C. 32 D. 36
第 6页
【例 3】（墙角模型的应用）已知在三棱锥 P ABC 中， PA 面 ABC ， PC AB ，若三棱锥 P ABC 的外接 球的半径是 3， S SABC SABP SACP ，则 S 的最大值是（ ）
【例 1】已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球 O 的表面
积为为（ ）
A.153
B.160
C.169
D. 360
【变式 1.1】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）
A. 17 2
最大值为 36 ，则球 O 的表面积为( )
A. 36
B. 64
B.144
D. 256
第 3页
【变式 1.5】设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆 C，若圆 C 的
面积等于 7 ，则球 O 的表面积等于________． 4
3
，则此三棱锥的外接球
3
的表面积为（ ）
A. 3 2
B. 2
C. 6
D. 6
【变式 2.1】在正三棱锥 S—ABC 中，M、N 分别是 SC、BC 的中点，且 MN⊥AM，若侧棱 SA= 2 3 ，则正三棱 S—ABC
外接球的表面积为（ ）
A.12
B. 32
C. 36
D. 48
【变式 2.2】在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM⊥SB，底面边长 AB= 2 2 ，则正三棱锥 S-ABC 的外接球
上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为（ ）
A. 2 4
B. 2 2
C.1
D. 2
第 4页
【例 1】三棱锥 P-ABC，若 PB=2AB=2BC=4，AC=3，PA=PC= 2 3 ，则该三棱锥外接球表面积为
；
【变式 1.1】图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为
；
第 5页
【例 2】已知球的直径 SC=4，A、B 是该球球面上的两点，AB= 3 ，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥 S-ABC 的体积为（ ）
A. 3 3
B. 2 3
C. 3
D.1
【变式 2.1】高为 2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一个球面 4
【性质 5】球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
【性质 6】若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心 O 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的
中点.
【例 1】已知球 O 的半径为 2，圆 M 和圆 N 是球的互相垂直的两个截面，圆 M 和圆 N 的面积分别为 2 和 ， 则 | MN | （ ）
第 2页
同理可得 OO1 CD ，又因为 AB CD O1 ，所以 OO1 圆面O1 . 【性质 3】如图 2，设球 O 的半径为 R ，球 O 的小圆的圆心为 O1 ，半径为 r ，球心 O 到小圆 O1 的距离 OO1 d ， 则由性质 2 得 d R2 r 2 ，或 r R2 d 2 .
该截面也是圆. 【性质 2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆 的圆心.
如图 2 所示，若圆 O1 是球 O 的小圆，则 OO1 圆面O1 . 证明：如图，设 AB ， CD 分别是圆 O1 的两条直径，连接 OA ， OB ， OC ， OD ， OO1 . 依题意可得 OA OB ，所以 OO1 AB .
【性质 4】球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
如图 3，设球 O 的两个平行截面的圆心分别为 O1 ， O2 ，连接 OO1 ， OO2 ，由性质 3 可知， OO1 圆面O1 ，又因 为圆面O1 / /圆面O2 ， 所以 OO1 圆面O2 .同理可得， OO2 圆面O1 ，且 OO2 圆面O2 ， 所以 O ， O1 ， O2 三点共线，因此， O1O2 垂直于圆面O1 和圆面O2 ，且 O O1O2 .
B. 34
17
C.
34
3
D.17 34
【变式 1.2】如右图，四面体 ABCD 的正视图和左视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，记四面体 ABCD 的体积为 V1，
其外接球的体积为 V2，则 V2
.
V1
【例 2】在三棱锥 P-ABC 中，AB⊥BC，AB=BC=
2 ，PA=PC=2，AC 中点为 M，COS∠PMB=
AC 2r ，则球的体积与三棱锥体积的比值是
.
【变式 1.3】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB 6 ， BC 2 3 ，则棱锥 O ABCD
的体积为
.
【变式 1.4】已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ， C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ABC 体积的
知识准备
（1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径； （2）直角三角形、等腰三角形、矩形圆心位置； （3）球的性质： 【性质 1】球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.
已知球 O 的半径为 R . （1）若截面经过球心 O . 如图 1，设 A 是截面与球面的任意一个交点，连接 OA .由球的定义可知， OA R ， 所以点 A 的轨迹是以 O 为圆心， R 为半径的圆，即该截面是圆. （2）若截面不经过球心 O . 如图 1，设球心 O 在截面上的射影为 O1 ， B 是截面与球面的任意一个交点，连接 OO1 ，OB 和 O1B ，则 OB R 为 定值，且 OO1 也为定值，所以 O1B R2 OO12 为定值，因此，点 B 的轨迹是以 O1 为圆心，O1B 为半径的圆，即
面面积之和最大时，该三棱锥的体积与球 O 的体积的比值是（ ）
A. 3 16
B. 3 8
C. 1 16
D. 1 8
【变式 3.3】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点△AED，△EBF，△FCD 分别沿 DE，
EF，FD 折起，使 A，B，C 三点重合于点 A´,若四面体 A´EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）
目录
【题型 1】球的性质的应用....................................................................................................................................................... 3 【题型 2】“双直角”型............................................................................................................................................................. 5 【题型 3】“墙角”型................................................................................................................................................................. 6 【题型 4】“四面全等”型......................................................................................................................................................... 8 【题型 5】“固化”型................................................................................................................................................................. 9 【题型 6】“大小圆垂直”型................................................................................................................................................... 11 【题型 7】“直棱柱”型........................................................................................................................................................... 13 【题型 8】“正棱锥”型........................................................................................................................................................... 14 【题型 9】“两面”型............................................................................................................................................................... 15 【题型 10】“最值”问题......................................................................................................................................................... 17