§5.1 二次型及其矩阵表示

x1 (a11 x1 a12 x 2 a1n x n ) x 2 (a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n (a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n )
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 ,, x n ) a x a x a x n1 1 n2 2 nn n
分析：A是一个3阶对称阵，对应的三元二次型， 把aij 与aji 合并后写出二次型. 解：设
12
四、小结
二次型和对称矩阵之间具有一一对应的 关系，将二次型的化简转化为对称矩阵的化简， 要求对给定的二次型会求其对应的对称矩阵，反 之，给定一个对称阵，会写出以它为矩阵的二次 型. 。
13
2Βιβλιοθήκη Baidu
只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形（或法式）． 例如
2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
8
例2 设二次型
试写出二次型f的矩阵.（f为三元二次型）
解：将交叉项xixj的系数除2 即平均分配给 xixj及xjxi,则二次型f的系数矩阵A为
9
太简单 简略讲
例3 将二次型
写成矩阵形式.
解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵
10
11
太简单 简略讲
例３ 设
， 试写出以A为矩阵的二次型.
a ij x i x j .
i , j 1
4
n
2．用矩阵表示 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a2n x2 xn 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
7
例１
写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn
称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ; 当aij是实数时, f称为 实二次型 .
第五章 二次型与对称矩阵
二次型讨论的对象是多元二次齐次函数， 这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中 有广泛的应用．二次型与实对称矩阵有紧密的 联系．二次型可以通过对称矩阵表示，对二次 型某些性质的研究可以转化为对相应对称矩阵 的研究．
1
§5.1
二次型及其矩阵表示
5.1.1、二次型及其矩阵表示
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
则二次型可记作 f xT Ax, 其中A为对称矩阵.
6
5.1.3、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．（参 见P213定理5.1.1）
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵 A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a2n x2 xn 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形.
3
5.1.2、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
5
a11 a 21 x1 , x 2 ,, x n a n1 a11 a12 a21 a22 记 A a n1 a n 2
a12 a1n x1 a 22 a 2 n x 2 a n 2 a nn x n a1n x1 a2 n x2 , x , ann x n