高考数学 函数的定义域和值域

高考数学 函数的定义域和值域

1.(文 ( ) A. B. D.

解析：求y ＝－x 2－3x ＋4x

的定义域， 即2340,0.

x x x ⎧--+⎨≠⎩≥⇒.

答案：D

(理)(2009·江西高考)函数y ＝ln(x ＋1)

－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )

A.(－4，－1)

B.(－4,1)

C.(－1,1)

D.(－1,1]

解析：定义域21>034>0x x x +⎧⎨

--+⎩⇒－1＜x ＜1. 答案：C

2.若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3

的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( ) A.(0，34) B.(－∞，0)∪(0，＋∞) C.(－∞，0]∪[34

，＋∞) D.，则f (x ＋a )·f (x －a )(0＜a ＜12

)的定义域是 . 解析：∵f (x )的定义域为，

∴要使f (x ＋a )·f (x －a )有意义，

须011,01 1.

x a a x a x a a x a +--⎧⎧⇒⎨⎨-+⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤ 且0

<12

，a <1－a ，∴a ≤x ≤1－a . 答案：

4.若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是

( )

A.a ＝－1或3

B.a ＝－1

C.a >3或a <－1

D.－1

解析：若a 2－2a －3≠0，则函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R ，当a 2－2a －3＝0时，得a ＝－1或3，但当a ＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R ，故a ＝－1.

答案：B

5.若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )

的值域是 A.[12，3] B. C.[52，103

] D. 解析：令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12

，1]上是减函数，在上是增函数，则g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103

，故值域为. 答案：B

6.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝,,

≥.函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小 值是 ( )

A.0

B.12

C.32

D.3

解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示，

由图象可得，其最小值为32

. 答案：C

7.(2010·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 . 解析：∵1≤f (x )≤3，

∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，

∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，

即F (x )的值域为.

答案：

8.分别求下列函数的值域：

(1)y ＝2x ＋1x －3

； (2)y ＝－x 2＋2x (x ∈)；

(3)y ＝x ＋1－x 2；

(4)y ＝1－2x

1＋2x

. 解：(1)分离变量法将原函数变形为

y ＝2x －6＋7x －3＝2＋7x －3

. ∵x ≠3，∴7x －3

≠0. ∴y ≠2，即函数值域为{y |y ∈R 且y ≠2}.

(2)配方法

∵y ＝－(x －1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是.

(3)换元法

先考虑函数定义域，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，设x ＝cos θ(θ∈)，则y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)，易知当θ＝π4

时，y 取最大值为2，当θ＝π时，y 取最小值为－1， ∴原函数的值域是.

(4)分离常数法

y ＝1221221121212

x x x x x ---+==-++++ ∵1＋2x ＞1，∴0＜212x

+＜2， ∴－1＜－1＋

212x

+＜1，∴所求值域为(－1,1).

9.(2010·福建“四地六校”联考)设集合A ＝，函数f (x )＝1,,22.

x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪∈⎩(1-),若x 0∈A ，且f ∈A ，则x 0的取值范围是 ( )

A.(0，14]

B.[14，12]

C.(14，12

) D.

解析：∵0≤x 0＜12，∴f (x 0)＝x 0＋12∈[12

，1)ÜB ， ∴f ＝2(1－f (x 0))＝2＝2(12

－x 0). ∵f ∈A ，∴0≤2(12－x 0)＜12

. ∴14＜x 0≤12，又∵0≤x 0＜12，∴14＜x 0＜12. 答案：C

10.设f (x )＝2,2,,<1,

x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥若f (g (x ))的值域是∪∪∪； (2)函数f (x )＝k *x 的值域是 . 解析：(1)1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1.

(2)f (x )＝k *x ＝1]x )＋1＋x ≥1.

答案：(1)1 (2)恒成立，试求b 的取值范围.

解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b 2a

＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.

∴F (x )＝22(1),(0),(1),(0).

x x x x ⎧+>⎪⎨-+<⎪⎩ ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋＝8.

(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]恒成立，即b ≤1x

－x 且b ≥－1x

－x 在x ∈(0,1]恒成立， 根据单调性可得1x

－x 的最小值为0， －1x

－x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤0.