正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 1
π
2
π
y
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 思考5 正弦曲线除了关于原点对称外， 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ 思考6 余弦曲线除了关于y轴对称外， 思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ π 点 +kπ,0)(k ∈Z)和 线x = kπ(k ∉Z) ( 直 2
你能求y=3sin(π/4-2x)的单调区间 的单调区间 你能求
作
业
P40-41练习： 40-41练习： 练习 T1⑴⑷，2⑴⑵，3⑴⑵，5⑵⑷，6.
π 思考: 正弦函数在每一个开区间（ kπ， 思考:1、正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ) 2 (k∈Z)上都是增函数 上都是增函数， (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第
π
+2kπ, k ∈Z
y
1 -3π
−
余弦曲线
π
2
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
3π 2
正弦余弦函数的图象和性质(单调)
练习
1、比较大小： 比较大小： 54 63 sin （1） （ − π）与 sin − π） （ 8 7 5 7 cos （2） 4， cos π， sin π 4 6
2、求函数 y = 4 sin( 2 x + 时的单调增区间 .
π
4
)，当 x ∈ [ 0， π ]
3、求函数 y = 2 sin （
知识回顾
y = sin x
y 1
y = cos x
y
图象 定义域 值域 奇偶性
π
2
1
π
3π 2
0
π
3π 2
2 π
x
−1
−1 -
o
2π
-
-
-
-
x
-
R
[-1，1] 奇 π
R
[-1，1] 偶
x=kπ 对称性（对称轴、 对称性（对称轴、 x = + kπ π 2 对称中心） 对称中心） （ 0 ）（ ∈ z） k （kπ，0） k∈z）（ + kπ， ， ） ∈
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π4π- Nhomakorabea6π-
-
2 π 取得最小值－ 当且仅当 x＝2kπ－ 时， y取得最小值－1 2
当且仅当 x＝2kπ +
-
x
π
时， y 取得最大值 1
余弦函数y=cosx的图象 的图象 余弦函数
y
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
-
6π
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
(奇偶性,单调性) 奇偶性,单调性)
X
正弦, 正弦,余弦函数的图象和性质
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1
y=cosx (x∈R) ∈
4
y 1
2π
3π 2
π
y=|sinu|
π
2
π
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即: 增区间为 k π ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z ∵
π
-1
y=sinu y=- |sinu|
2 3π π kπ ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
小 结:
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性(单调区间) 单调性(单调区间)
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
04
正弦、余弦函数的应用举例
利用正弦、余弦函数的单调性求最值
单调性
正弦函数在$[0, \pi]$上单调递增，在$[\pi, 2\pi]$上单调递减；余弦函数在$[0, \pi]$ 上单调递减，在$[\pi, 2\pi]$上单调递增。
求最值
利用正弦、余弦函数的单调性，可以求出函数在某个区间上的最大值和最小值。例如， 对于正弦函数$y = \sin x$，在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增，所以当$x =
对于余弦函数，同样可以根据其周期 性和相位来判断其在任意区间上的单 调性。
03
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数，因为对于任意x， 都有sin(-x)=-sin(x)。
偶函数
正弦函数也是偶函数，因为对于任意x ，都有sin(x)=sin(-x)。
余弦函数的奇偶性
• 偶函数：余弦函数是偶函数，因为对于任 意x，都有cos(-x)=cos(x)。
02
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
增区间
正弦函数在$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是增函 数。
减区间
正弦函数在$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是减函 数。
单调性
在区间$[0, \pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[\pi, 2\pi]$ 上，余弦函数是单调递增的。
正弦、余弦函数的定义域和值域
定义域
正弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$；余弦函数的定义域 为$x \in \mathbb{R}$。
14届HW上课课件1.4.2正弦函数,余弦函数的性质(3)17
原函数的定义域为 { x | (2k 1)π x 2( k 1)π, k Z }
例1 求下列函数的定义域：
(2) y lg cos x
解: 由已知 cos x 0
解 得
2
2 k x
23 17 (2) cos( )与 cos( ). 5
分析：化为同一单调区间的上的同名函数， 再利用三角函数单调性作出判断。
(1)sin(
解：
（1）
18
10
)与 sin(
18
10
);
2
0, 且正弦函数y sin x在区间
[
2
, 0] 上是增函数，所以
2
(k z )
思考3：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关 于其它的点和直线对称？
1
y
2
4
6
4
2
1 o
6
x
观察图像指出函数y cos x( x R )的 对称轴 及对称中心
6
4
2
1
y
2
4
1 o
6
x
6
4
2
1
y
2
4
练习：教材第40页第1-3题．
正弦、余弦函数的图象
y=sinx (xR)
-4 -3 -2 -
y
1
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=cosx (xR)
-4 -3 -2
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
2021/7/26
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
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正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
29
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规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
2021/7/26
2021/7/26
26
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
正弦、余弦、正切函数
三角函数的积化和差公式
三角函数的积化和差公式是另一组重要的公式，它们可以将 两角之积的三角函数转化为和的三角函数形式。例如，$sin x cos y = frac{1}{2}[sin(x + y) + sin(x - y)]$、$cos x cos y = frac{1}{2}[cos(x + y) + cos(x - y)]$等。
这些恒等式揭示了三角函数之间的内在关系，使得我们可以通过已知的三角函数值来计算其他三角函 数值，或者将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式。
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数中一系列重要的公式，它们可以将两角差的 三角函数转化为和的三角函数形式。例如，$cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y$、$sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y$等。
三角恒等式。
解决三角方程
03
正切函数在解三角方程时也很有用，如求解正切函数的定义域
和值域等问题。
04
三角恒等式与变换
三角恒等式
三角恒等式是三角函数中一些重要的等式，它们在三角函数的计算、化简和证明中有着广泛的应用。 例如，$sin^2 x + cos^2 x = 1$、$sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y$等。
正弦、余弦、正切函数
汇报人： 2024-01-09
目录
• 函数定义与性质 • 函数图像与特点 • 函数的应用 • 三角恒等式与变换 • 特殊角度的三角函数值
5.4.2(2)正弦函数、余弦函数的性质(单调性)
3、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有 些周期函数没有最小正周期）
正弦函数是周期函数，2k (k Z且k 0) ，最小
正周期是 2
余弦函数是周期函数，2k (k Z且k 0) ，最小
正周期是 2
记住 : 形如以下式子的周期
y Asin(x ), x R.( A 0, 0)
y Acos(x ), x R.( A 0, 0)
最小正周期 T 2 | |
说明：
• 其中 是X的系数。 2. 周期由 唯一决定，与其它字母或系数无关
例1 求下列函数的周期:
(1) y 3cos x, x R; 若不加特别说明,
练习
▪ 练习1 下列等式能否成立?为什么?
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
-
1-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
诱导公式：sin(x) sin x
（2）余弦函数的图象
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
正弦曲线关于y轴对称。 余弦函数是偶函数。
诱导公式：cos(x) cos x
3.奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
高等数学中的三角函数
高等数学中的三角函数数学是自然科学中的一门基础学科，具有广泛的理论应用价值。
作为数学的一个分支，三角函数是高等数学中最基本的概念之一。
在各个领域中，三角函数都有着非常重要的应用，如物理学、工程学、天文学、地球物理学等。
本文将为您详细介绍高等数学中的三角函数。
一、基本概念三角函数指的是由单位圆上的一点P(x,y)到x轴的垂线段OA和P到原点的线段OP的比值构成的函数关系。
其中，x的取值范围为实数集合，y的取值范围为[-1,1]。
常见的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)、余割函数(csc)。
另外，它们的倒数cos、sin、cot、tan、csc、sec也是有用的三角函数。
二、性质在高等数学中，三角函数具有一些基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即f(x+2π)=f(x)，而正切函数和余切函数的周期均为π，即f(x+π)=f(x)。
2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数均为奇偶不定的函数。
3. 单调性：正弦函数和余弦函数均为周期为2π的函数，在一个周期内其均在[-1,1]区间内单调递增、递减，且在各自的最大、最小值处导数为0。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数则不具有单调性。
三、公式定理三角函数在高等数学中具有非常重要的公式定理，包括和差公式、倍角公式、三倍角公式、万能公式以及欧拉公式等等。
1. 和差公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinb，cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb2. 倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1，tan2x=(2tanx)/(1-tan^2x)3. 三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin^3x，cos3x=4cos^3x-3cosx4. 万能公式：sin^2x+cos^2x=1, tanx=sinx/cosx, 1+tan^2x=sec^2x, 1+cot^2x=csc^2x5. 欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e^-ix=cosx-isinx四、应用领域三角函数在各个领域中都有广泛的应用。
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
$y=\sin x$的最大值为1，最小值为-1。
定义域
单调性
最大值和最小值
VS
正弦函数是奇函数。具体来说，对于任意实数$x$，都有$\sin(-x)=-\sin(x)$。
周期性
正弦函数具有周期性。具体来说，对于任意实数$k$，都有$\sin(x+2k\pi)=\sin x$，其中$k \in Z$。
xx年xx月xx日
《正弦,余弦函数的单调性和奇偶性》
正弦函数的单调性和奇偶性余弦函数的单调性和奇偶性正弦,余弦函数单调性和奇偶性的比较总结与展望
contents
目录
01
正弦函数的单调性和奇偶性
$y=\sin x$的定义域为$x \in R$，即所有实数。
正弦函数的单调性
在区间$(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2})$内，$y=\sin x$单调递增；在区间$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$内，$y=\sin x$单调递减。其中，$k \in Z$。
02
余弦函数
常用于描述稳态电路的电流和电压，以及光线的反射和折射等现象。
04
总结与展望
总结正弦函数的单调性
总结余弦函数的单调性
总结正弦函数的奇偶性
总结余弦函数的奇偶性
对正弦,余弦函数单调性和奇偶性的总结
01
02
03
04
深化对正弦,余弦函数单调性和奇偶性的理解
发展新的研究方法
扩大应用领域
对未来研究方向的展望
奇偶性
余弦函数的图像关于y轴对称。
图像特征
三角函数公式
余弦函数在解三角方程、求三角函数值等方面有重要应用。
1.4三角函数的图象与性质 课件(人教A版必修4)
y
1 3
cos(4x的 5递6 )减区间。
[ k 5 , k ](k Z )
2 24 2 24
最值
探索新知3
y y sin x x R
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
观察正弦曲线，你能说出当x取哪些值时，正弦 函数取到最大值和最小值吗？
最大值：当 x 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当x 2 2k 时，有最小值y 1
（2）因为 5 ，所以sin 5 sin
63
6
3
（3）y=sinx在第一象限是增函数
（4）y
sin（-
x）
在
-
2
,
2
是增函数
单调性
例1、求y 3sin(2xπ4 )函数的单调区间
解：
角
是 ： 2 x
π 4
增
区
间
：π2
2 k π
2x
π 4
π 2
2
k π ( k
Z)
3 k x k (k Z )
2
最值
探索新知3
y y cos x x R
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
观察余弦曲线，你能说出当x取哪些值时，余弦
函数取到最大值和最小值吗？
最大值：当 x 2k 时， 有最大值 y 1
最小值：当 x 2k 时， 有最小值 y 1
最值
例题解析
例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果 有，请写出取最大值、最小值时的自变 量x的集合，并说出最大值、最小值分别
正余弦函数的奇偶性与单调性
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 9 8 (1) si n 与 si n ; 8 7 25 13 ( 2) cos 与 cos( ) 8 9 9 8 3 解： 2 8 7 2 3 y sin x在 ， 上 单调 递减 2 2 9 8 sin sin . 8 7
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 25 13
( 2) cos 与 cos( )
必须将角化为 25 ( 2) cos cos cos ， 同一单调区间 8 8 8 13 5 4 cos( ) cos cos . 8 9 9 4 又0 , 而y cos x在 区 间0， 上 是 减 函 数 8 9 4 4 即 cos cos , cos cos . 8 9 8 9 5 13 于是 cos cos( ). 8 9
4
,
而f( ) 4 f (
cos
4
1 sin
4
2 2 2
2 1
) f( )且f ( ) f( ). 4 4 4 4
练习二
2. 比 较 下 列 各 组 数 的 大 ： 小 （1） sin(
16
)和 sin(
2
13
);
24 17 ( 2) cos( )和 cos( ). 5 4
y
1 -3
5 2
(4-4)
y=cosx (xR)
2
-2
3 2
-
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4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
4
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ 上单调递减
函数在
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ上单调递增
解(：22 )k y=3 sin( 2x2 -x4 )2k kxk3
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y=|sinu|
2 3
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 u[k,k],kZ 减区间为 u[k,k2],kZ
x[k3,k]k ,Zy2为增函数 x[k4,k4]k ,Zy为减函数
44
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o -
2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
减区间为
[[
2
+2 2k，, 33
2
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性 y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
- …
2
… 0… 2
…
-1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1
2
4
2
8
8
2k2x2k3 k3xk7
2
4
2
8
8
所以：单调增区间为 单调减区间为
[k,k3]
8
8
[k3,k7]
8
8
正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
8
解： 0tan9 1
8
单调减区间为
[k
,k
]
4
4
单调增区间为 [k,k3]
4
4
y log (4)
[1cos1( x )]
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
2
…
0
…
2
-1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[
2
+2 2k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
单调性（单调区间）
[
2
+2k,
2
+2k],kZ
单调递增
[ +2k, 3 +2k],kZ 单调递减
2
பைடு நூலகம்
2
[ +2k, 2k],kZ 单调递增
[2k, 2k + ], kZ 单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 99 100 星期六 做练习
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3x, (2) y sin x cos x
(3) y 1 sin x
例 2： 已 知 函 数 f(x)2axx3sinx3,若 f(2)=3, 1)求 证 ： 函 数 g(x)=f(x)3是 奇 函 数 ； 2） 求 f(-2)的 值
减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1) sin(
18
) – sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数
sin( ) < sin( ) 即：sin( ) – sin( )>0
10
18
18
10
(2) cos( 23
5
)-
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23
5
5
=cos 3 5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
2 34 1
解: 定义域2 2k1x2k
23 4
2
当 2k1x2k即 6k9x6k3,kZ为减区间
23 4
4
4
当 2kx2k即 6k9x6k3,kZ为增区间
34
2
4
4
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ 4 )|
解：
令x+
4
=u ,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y
1
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
关于y轴对称
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称