2019年高考试题汇编理科数学---数列.doc

（2019全国1理）9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ） A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2

122

n S n n =- 答案： A

解析：

依题意有415146045

S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，可得13

2a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-，24n S n n =-.

（2019全国1理）14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113

a =，2

46a a =，则5S = . 答案：

5S =

121

3

解答：

∵113

a =

，2

46a a = 设等比数列公比为q

∴32

5

11()a q a q = ∴3q = ∴5S =

121

3

2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案：

（1）见解析 （2）21)21(-+=n a n n ，2

1)21(+-=n b n n . 解析：

(1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411， 整理可得)(2111n n n n b a b a +=

+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2

1

的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ， 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由{}n n b a +是首项为1，公比为

21的等比数列可得1)2

1

(-=+n n n b a ①；

由{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②； ①②相加化简得21)21(-+=n a n n ，①②相减化简得2

1)21(+-=n b n n 。

(2019全国3理)5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C

解答：

设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=， 即可解得11a =，则2314a a q ==.

(2019全国3理)14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则10

5

S S = . 答案：

4

解析：

设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，

∴()

()()1101101551102292102452452

a a a d S d a a S a d d

++⨯====++.

（2019北京理）10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】 【分析】

首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.

（2019北京理）20.已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1

则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，

，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p

（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6. (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； (Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；

(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可. 【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.

(Ⅱ)对于每一个长度为q 的递增子列12,,q a a a L ，都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列12,,p a a a L ，此时p q a a ≤，

设所有长度为q 的子列的末项分别为：{}

123,,,q q q a a a L ， 所有长度为p 的子列的末项分别为：{}123,,,p p p a a a L ，

则{}0123min ,,,n q q q a a a a =L

， 注意到长度为p 的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列， 故{

}0123min ,,,m p p p a a a a ≤L ，

据此可得：00m n a a <

(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,n n n a n n -⎧==⎨

+⎩

L 为偶数

为奇数， 下面说明此数列满足题意.

很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.