11第十一章 多元函数积分学

x2dxdy
2π
d
2 r 2 cos2 rdr
2π cos2 d
2 r3dr
0
1
0
1
D
y
= 2π1 cos 2 d 2 r3dr 15 π.
0
2
1
4
O 1 2x
例 8 求由锥面 z 4 x2 y2 与旋转抛物面
2z x2 y2所围立体的体积(见下图). z
4
解 选用极坐标计算.
0
4
=4
2
4
y
x2 y
1
0
12
y3
164 x2 0
dx
=16 3
2
(4
x2
)
3
2dx
16π
.
0
y 4 y 16 4 x2
z z 4 x2 y2 4
D
O
2
x
(a)
O
2 x
(b)
4
y
三、在坐标系中计算二重积分
1. 极坐标系下的面积元素
设函数的积分区域为 D，用 r 取一系列常数
(得到一族中心在极点的同心圆)和 取一系列常
f (x, y)d = f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
性质 4 (中值定理) 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续, 是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点
( ,) 使得下式成立 f (x, y)d f ( ,) .
D
二、在直角坐标系中计算二重积分
在直角坐标系中我们采用平行于 x轴和 y 轴的直
例 4 求椭圆抛物面 z 4 x2 y2 与平面 z 0所 4
围成的立体体积.
解 画出所围立体的示意图(见图 a),考虑到图形的
对称性，只需计算第一卦限部分即可,其中 D如图(b)所 示.
故V 4
4 x2 y2 dxdy= 4
2
dx
164x2 4 x2 y2 dy
D
4
0
思考题
1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可
到一个式子
D
f (x, y)d
n
lim
0 i1
f ( i ,i ) i .
你对这个式子要说些什么吗？回顾一元定积分的定义，
可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，
被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻
炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.
y y f (x)
dA O a xxdx b x
下面我们把这种思想推广到平面区域 D 上的 二元函数 f (x, y).
1.引例:曲顶柱体的体积
曲顶柱体：若立体的底为xOy 平面上的有界闭区 域 D ,其侧面为以 D 的边界线为准线，而母线平行 z 轴的柱面，其顶是二元函数z f (x, y) 所表示的曲面. 这样的几何体称为曲顶柱体.
第十一章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分应用举例 *第三节 三重积分的概念与计算 *第四节 对坐标的曲线积分 *第五节 格林（Green）公式及其应用 *第六节 对坐标的曲面积分及其应用
第一节 二重积分的概念与计算
一、二重积分的概念与性质 二、在直角坐标系中计算二重积分 三、在极坐标系中计算二重积分
D
D
O
d
x
2.极坐标系下化二重积分为累次积分
设D(图 a)位于两条射线 和 之间，D的
两段边界线极坐标方程为 r r1( ),r r2 ( )
则二重积分就可化为如下的累次积分
f (x, y)d
d
r2( ) f (r cos , r sin )rdr .
r1( )
D
如果极点O在D内部(图 b),则有
设积分区域 D可表示为不等式(见下图)
x1( y)≤ x≤ x2 ( y), c ≤ y ≤d. y
完全类似地可得
d
f (x, y)dxdy
D
d dy
x2 ( y) f (x, y)dx
②
c
x1( y)
x x (y)
1
c
x
x 2
(
y)
D
O
x
例 1 计算二重积分
exydxdy ,其中积分区域 D {(x, y) 0 x 1,0 y 1}.
0≤ ≤ π ,0≤ r ≤2R cos ,
2
于是得到
f (x, y)d
D
π
2 d
2Rcos f (r cos , r sin )rdr .
0
0
y
r 2Rcos
D
O
2R x
例 6 计算 e(x2y2 )dxdy , D : x2 y2 ≤ a2 .
D
解 选用极坐标系计算，D 表示为: 0≤r ≤a ,0 ≤ ≤2π ,故有
a
[
y2(x) f (x, y)dy]dx .
b y1( x)
D
上式也可简记为
f (x, y)dxdy
a
dx
y2 (x) f (x, y)dy
b
y1( x)
①
D
公式①就是二重积分化为定积分的计算方法，该 方法也称为累次积分法.计算第一次积分时,视 x 为 常量，对变量 y 由下限y1(x) 积到上限y2 (x) ,这时计算 结果是一个关于 x 的函数，计算第二次积分时,x 是积 分变量，积分限是常数,计算结果是一个定值.
D
D 的面积.
3．二重积分的性质
性质 1 常数因子可提到积分号外面，即
kf (x, y)d k f (x, y)d .
D
D
性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与
差,即
[ f (x, y) g(x, y)]d = f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
D
性质 3 若积分区域 D 分割为 D1与 D2 两部分, 则有
数(得到一族过极点的射线)的两组曲线，将 D分成
许多小区域(见下图),于是得到了极坐标系下的面
积元素为
d rdrd .
再分别用 x r cos , y sin 代换被
积函数 f (x, y)中的 x, y,这样二重积分在
d rd
极坐标系下表达形式为
dr
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
f (x, y)在区域D 上的二重积分.其中 f (x, y) 称为被积函 数,D 为积分区域, f (x, y)d 称为被积式, d 为面积 元素，x与 y 称为积分变量.
二重积分的几何意义：当 f (x, y) ≥ 0 时二重积分代表
曲顶柱体的体积；特别地,当 f (x, y) =1 时, d 表示区域
0
0
o
1x
(e-1)2.
化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：
（1）累次积分的下限必须小于上限; y
（2）用公式①或②时,要求 D 分
DⅡ
别满足:平行于 y 轴或 x 轴的直线 与 D 的边界相交不多于两点.如果
Ⅰ Ⅲ
D 不满足这个条件，则需把 D 分割
成几块(见右图),然后分块计算;
O
x
(3)一个重积分常常是既可以先对 y 积分(公式①), 又可以先对 x 积分(公式②),而这两种不同的积分次序， 往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地 选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明.
与柱体相交得到的截面面积为 S (x)= y2(x) f (x, y)dy . y1( x)
见上页图(b),由定积分的“平行截面面积为已知,
求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为
V
a
S(x)dx
a
[
y2(x) f (x, y)dy]dx ，
b
b y1( x)
所以
f (x, y)dxdy
第 二 步 : 将 体 积 微 元 dV f (x, y)d
在区域 D 上无限累加(这一步记为
“ ”),则得所求曲顶柱体体积为
O
D
V f (x, y)d .
D d
D
x
y
2．二重积分的概念
设 z f (x, y) 为定义在有界闭区域D 上的连续函
数，则上述两步后所得的表达式 f (x, y)d ,即为函数
y
D
00
02
11
x(1
x2 )dx
1
x2 (
x4
)
1
1.
02
22 40 8
1
D
本题若先对 x积分，解法类似.
O
x1
x
例 3 计算 2xy2dxdy ,其中 D 由抛物线 y2 x 及直
D
线 y x 2所围成.
解 画D的图形(见下图).选择先对 x积分,这
时
D的表示式为
y2
x
y
2,
1 y 2 y
第一节 二重积分的概念与计算
一、二重积分的概念与性质
曲边梯形面积计算回顾
第一步:将[a,b] 无限细分,在微小 区间 [x, x dx]上“以直代曲”,求 得面积微元为 dA f (x)dx 这一步即局部线性化.
第二步:将微元dA 在[a,b]上无 限累积，即得面积为
A a f (x)dx . b
2．试述二重积分的几何意义.
第二节 二重积分应用举例
一、平面薄板的质量 二、平面薄板的重心 三、平面薄板的转动惯量
第二节 二重积分应用举例
一、平面薄板的质量
例 1 设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为 R的圆域，面密度为 x2 y2 ，求薄板的质量.
解 应用微元法，在圆域 D上任取一个微小区域
线把区域D分成许多小矩形,于是面积元素d dxdy ,
二重积分可以写成 f (x, y)dxdy.
D
设D可表示为不等式(如下页图 (a)) y1(x)≤ y ≤ y2 (x), a≤ x≤ b.
下面我们用定积分的“切片法”来求这个曲顶柱
体体积.
y
y
y 2
(
x)
z z f (x, y)
D
y y1 (x)
e(x2y2)dxdy =
er2 rdrd
2π
d
a er2 rdr
0
0
D
D
=
2π - 1 er2
a
d
π(1 ea2
).
0 2 0
例 7 计算 x2dxdy ,其中 D 是两圆 x2 y2 1和
D
x2 y2 4之间的环形区域.
解 作D的图形(见下图),选用极坐标，它可表示
为 1≤r ≤2,0≤ ≤2π 于是
曲顶柱体的体积
设 f (x, y)≥0,求曲顶柱体(如下图)的体积.
第一步：将区域 D 无限细分，在微小区域 d 上取
一点(x, y) ,用以 f (x, y) 为高，d 为底的平顶柱体体积
f (x, y) d 近似代替d 上的小曲顶柱体体积，即得体积
微元
dV f (x, y)d .
z z f (x,y)
从而
2 xy 2dxdy =
2
dy
y2 2xy2dx
2
1
y2
D
2 y2 (x2 ) | y 2 dy
1
2
y
O
2 ( y4 4 y3 4 y2 y6 )dy 1
1
= y5 y4 4 y3 y7 2 15 6 .
5
3
7 1 35
x y2 D
B(4,2) x y 2
x A(1, 1)
因此，D 由 x2 y2 4即r 2围成.
故得
V
2π
d
2 4r r 2 r3 dr 2π 2r 2 r3 r 4 2 20 π.
0
0
2
3 80 3
说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的 坐标系对计算二重积分是至关重要的.一般说来，当积分 区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有 x2 y2 的项时,采用极坐标计算往往比较简便.
D
解 积分区域如图所示,在直角坐标系下
计算该积分,取d dxdy ,先对 x 积分，再对 y 积分,则 x 由0 1, y 也由0 1,于是
Βιβλιοθήκη Baidu exydxdy
1
[
1 e x y dx]dy
00
D
1ey[
1exdx]dy
1ey ex
1
dy
0
0
0
0
y
1
D
1 ey (e-1)dy (e-1) e y 1
f (x, y)d
2π
d
r ( ) f (r cos , r sin )rdr .
D
0
0
r r ( )
r r2( )
r r1()
O
(a)
x
O x
(b)
例 5 将二重积分 f (x, y)d 化为极坐标系下的
D
累次积分，其中D : x2 y2 ≤2Rx, y ≥ 0 .
解 画出D 的图形(见下图), D 可表示为
例 2 计算 xydxdy ,其中 D: x2 y2≤1
D
x≥0， y≥0.
解 作D 的图形(见下图).先对 y 积分(固定
x), y 的变化范围由 0 到 1 x2 ,然后再在 x 的
最大变化范围[0,1]内对 x 积分，于是得到
xydxdy
1
dx
1 x 2
xydy
1 x(1 y2)
Oa x
bx
(a)
y
y
y 2
(
x)
y
y 1
(x)
O ax b x
(b)
在[a,b]上任意固定一点 x0,过 x0作垂直于 x
轴的平面与柱体相交,截出的面积设为 S(x0 ) ,由定
积分可知
S(x0 )=
y2 ( x0 ) y1 ( x0 )
f
(x0 ,
y)dy .
一般地,过[a,b]上任意一点 x,且垂直于 x 轴的平面
V [(4 x2 y2 ) 1 (x2 y2 )]dxdy
D
2
D
=
D
4
r
r2 2
rdrd
,
O
y
x
求立体在 xOy面上的投影区域
D .由
z
4 2z
x2 x2
y2 y2
,
消去 x, y 得(z 4)2 2z即z2 10z 16 0
亦即 (z 2)(z 8) 0 得 z 2, z 8(舍去)