清华大学数值分析A往年试题回顾

5道大题，若干小题，卷面成绩满分70

1.(1)求f(x)=sqrt(1-x^2)在span{1,x,x^2}上，权函数为rou=1/sqrt(1-x^2)的最佳平方逼近多项式

(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=∫p(x)l(x)dx=∫p(x)l^2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式

2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？（其中0

(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1;0 1 3]求其cholysky分解

3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β

(2)已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ

4(1)f(x)=[x2^2-x1^2-x1 其精确解为x*=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式

sin(x1^2)-x2];

(2)已知G(x)=[x2^2-x1^2

sin(x1^2)];

给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因

5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性

(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade 逼近的计算公式卷子上给了)