第一章部分习题解答.

* * *
由AB的可逆性，得(AB)*=B*A*
练习册自测题2第一题(4) 若n阶行列式Dn的值为a,若对第二列开始的每一列 加上它前面的一列，同时对第一列加上最后面的1 列，则行列式的值变为 解 设
Dn
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
记变换后的行列式为In,则
0 3 n 2 n
0 0 4 n 3 0 0
0 0 0 n n n 1 n
0 0 0
0 0
0 0
0 n 1 n n
3 4 2n n n 2 3
n n 1 n n (n 1)n n n 1 n
1 a1 (6) Dn 1 1
1 1 a2 1
1 1 1 an
AA | A | E
*
BB | B | E
*
AB也是方阵，故也满足上式，因此，有
( AB)( AB) | AB | E | A || B | E 又 ( AB)( B* A* ) A( BB* ) A* A | B | EA*
*
| B | AA | B || A | E
*
从而
( AB)( AB) ( AB)( B A )
练习册1.2 五 计算下列行列式 a 1 其中主对角线上元素都是a， (1) Dn , 未写出的元素都是0。 1 a 解 a 0 a 0 0 0 0 1
0 a Dn 0 0 1 0 0 0 a 0 a
0 a 0 a 0 0 1 cn c1 a 0 0 0 1 0
1 0 a a
1 n n2 a (a ) a a a 方法2：将Dn按第一列展开
4 3 1 3
P32习题1.4第4题
4.已知n阶方阵可逆(n 2),证明: (1)| A* || A |n1;
*
(2)( A* )* | A |n2 A
证明 在定理1.14的证明中，我们有
AA | A | E
两边同时取行列式得
| AA ||| A | E | | A || A || A | | E || A |
(1)
n
n 1
2008
n
0 0
2008 0
0 2008
(1) 2008
a (a 1) a n 1 (a 1) n 1
n n
( a n) (a n) n 1
n
r1 ar2 r2 ar3 rn arn 1
(3) Dn 1 a 1 0 0 0 1 1 1 (a 1) n 1 (a 1) n 2 a 1 1 an 1
n 1
a a an
n 1
再交换第i列与第n+2-i列，则共交换n/2次，故
1 Dn 1 (1) (1)
n 2 n 2
1 a 1 (a 1) (a 1) n
n 1
1 a a an
n 1
an ( a n) ( a n) n
n 1

1 j i n

(i j ) n !(n 1)! 2!1!
a a a 0 a11 a21 a a a 0 a12 a22
2 11 2 12 2 1n 2 21 2 22 2 2n 2 m1 2 m2 2 mn
am1 0 am2 0 amn 0
a a
从而 A=0
a 0 a1n a2n
当n为奇数时，用类似的方法可得出相同的结论。
1 2 3 1 3 3 (4) Dn 1 2 5 1 2 3 1 2 3
n 1 n 1 n 1 2n 3 n 1
n n n n 2n 1
该行列式的特征是：除主对角线上的元素 为奇数外，第i列的元素为第一列的i倍。 因此，每一列可以减去第一列的i倍。
n 1
a 0 0 a Dn 0 0 1 0
0 1 0 0
a
a 0 0
0 0 a 0 0 a (1) n 1
0 a 0
0 1 0 0 a 0
a 0 0 a
a n (1) n 1 (1)1 ( n 1)
a 0 0 a 0 0
0 0 a
a a
n
n2
2008 0 (2) Dn 0 0
0 0 0 2008
0 2008 0 0
0 0
按第一列展开
2008 0
2008 (1)1 ( n 1) 20082 0 0 2008
0 2008 0 2008
n
2008 0 0
n
0 2008 0
(1) 2008
方法2：将Dn先交换第一，第n行 0 2008 0 0 0 0 2008 0 按第一列展开 Dn 0 0 0 2008 2008 0 0 0 2008 0 0
* * * 1 *
A (A ) | A|
* 1
P32 习题1第5题
1 5 设A是非退化矩阵，证明： ( A1 )* ( A*），
这里A*表示A的伴随矩阵。 证明 非退化矩阵即为非奇异矩阵，故A是可逆的，
由 得 又由 得 所以
A (A ) | A|
* 1
AA | A | E
* 1 1 * 1
1 0 0
0 0 0 n2 0
0 0 0 0 n 1
ci ic1 1 0 2 Dn
i 2,3, n
1 1 0
1 0 0 1 0 0
(n 1)!
2n n (5) Dn 0 0 0
n 2n n 0 0
0 n 2n 0 0
0 0 0 2n n
0 0 0 n 2n
该行列式的特征是：主对角线上的元素全 为2n外，与之平行的两条线上的元素全为n。 因此，只要把其中一条线上的n化为0，就可 以把该行列式化为上（下）三角行列式。
n( a n) n n(a n) n 2 按C 展开 1 n 1
(a 1) n 1 (1) n 2 (a 1) n 2 1 (a 1) n 1 (1)
n2
n( a n) n n( a n ) n 2 n ( a n) n ( a n) 1
a1n a2 n ann
a11 a21 an1
a1,n 1 a2,n 1 an ,n 1
这个行列式的第1列与第2列交换，然后第2列与 第3列交换，…..第n-1列与第n列交换,共交换n-1 次，所以它等于

这个行列式的第二列减去第一列，然后第三列 减去第二列，…..第n列减去第n-1列,最后变为 Dn=a.

a1n a2 n ann
a12 a11 a22 a21 an 2 an1
a1n a1,n 1 a2 n a2,n 1 ann an ,n 1
这个行列式的第n列减去第一列，然后第n-1列 减去第n-2列，…..第3列减去第2列,最后变为
2n n c1 0 c2 2 Dn 0 0
0
0
0 0 0 2n n
0 0 0 n 2n
3 n n 2 n 2n 0 0 0 0
2n n 2c2 0 c3 3 0 0
0 3 n 2 n 0 0
0 0 4 n 3 0 0
0 0 0 2n n
0 0 0 n 2n

2n n n 1 cn cn 1 n 0
1 a2 1 1 a2 1 a2
1 an 1 an 1 1 an
1 1 1 an 1 a1 a2 1 1 an 1
1 a2 1 1 a2 1 a2
1 an 1 an 1 1 an
a1a2
1 a1a2 1 1 an 1 a1 a2 1 0 an 0
am1 am 2 , amn
2 2 2 a11 a21 am * 1 2 2 2 * a12 a22 am 2 T A A * *
2 2 2 a1n a2n amn * *
因为ATA=0,所以有
其中a1a2
an 0
1 1 a1 Dn a1a2 an 1 a1 1 a1
1 a2 1 1 a2 1 a2
1 an 1 an 1 1 an
1 1 1 a1 a2 a1a2 1 1 1 a1 a2 an 1 1 1 a1 a2
1 an 1 an 1 an
In
a11 a1n a21 a2 n
a12 a11 a22 a21
a1n a1,n 1 a2 n a2,n 1 ann an ,n 1 a1n a1,n 1 a2 n a2,n 1 ann an ,n 1
an1 ann an 2 an1 a11 a12 a11 a21 a22 a21 In an1 an 2 an1
习题解答
练习册1.1 第八题
八 设A是实数域上的矩阵，证明：若ATA=0,则A=0. 证明 设
a11 a12 a a 21 22 A am1 am 2 a21 a22 a2 n
a1n a2 n , amn
则
a11 a12 T A a1n
( A )( A ) | A | E A 1 * 1 ( A ) A | A | | A|
(A ) (A )
* 1 1 *
练习册1.4第八题(1) 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明
(1) 若|A|=0,则|A*|=0. 用反证法 反设|A*|≠0,则A*可逆。
由
得
AA | A | E
而
1 3 1 P 1 3
4 3 1 3
所以
1 1 4 1 0 3 11 11 1 A P P 11 1 2 0 2 1 13 13 3 2 1 2 4 3 3 2731 2732 11 11 1 2 4 2 683 684 3 3
*
AA ( A ) | A | ( A )
*
* 1 *
* 1
* 1
A | A | ( A ) 0( A ) 0
* 1
A 0 | A | 0
*
这与反设矛盾，
故反设不成立，从而结论得证。
练习册自测题1第五题(2) 若A,B为同阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A* 证明 对任意的方阵 A,B，都满足
1 a2 1 0
1 an 0 1
a1a2
1 1 an 1 a1 a2
1 an
练习册1.4第七题
1 4 1 0 设P AP , 其中P , 1 1 0 2 求A11
1
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解
11
P AP , A PP
n2
(1) n !
n
(a 1) 1
n2

n!(n 1)! 2!1!
方法2： 当n为偶数时，交换第一行与第n+1行，第二行与第 n行，…，第i行与第n+2-i行，则共交换n/2次，故
1 Dn 1 (1)
n 2
1 (a 1) (a 1) (a 1) n
n 1
1 ( a n) ( a n) ( a n) n
1 11 1
1
1
A ( PP ) ( PP )( PP )
1
( PP )
1
PP PP PP
1 1
1
1
1
PP
1
1
1
P( P P)( P P)( P
P)P
P11P1
11 ( 1) 0 1 0 11 11 11 2 0 2 0
* * n
n
因为A可逆，所以|A|≠0,从而
| A || A |
*
n 1
（2） 对任意的方阵 A，都满足
AA | A | E
*
A*也是方阵，故也满足上式，因此，有
A ( A ) | A | E
* * * *
由(1)知，若|A| ≠0,则|A*| ≠0,从而A*可逆，且
A * |A | (A ) (A ) | A | | A| A n 1 | A | A | A |n 2 | A|