解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线的分类

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二、基变换
在空间中取定两个仿射标架
I
r [O;e1
,
r e2
,
r e3
]和
I
[O;
er1 ,eeerrrer1232
,er3 ]，r若 c11er1 c12er1 c13e1
r c21er2 c22er2 c23e2
r c31er3 c32er3 c33e3
①
即
( er1
er2
er3
从而基变换公式可简写为:
( er1
er2
er3 )
r ( e1
r e2
r e3 )C
注：过渡矩阵是以er1 ,er2 ,er3在 I 中的坐标
为各个列向量的三阶方阵。
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三、向量和点的坐标变换公式
设向量 r 在 I[O;er1,er2 ,er3 ]和 I[O;er1 ,er2 ,er3 ]中的坐
标分别为( x, y, z) 和 ( x, y, z) ，则
则利用形式写法可记为：
rr
(1 2 L
r
n)
(r1
r2
L
rn
)
a11 a21 L
a12 a22 L
L L L
an1 an2 L
a1m a2m L anm
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注：在形式写法下有下列运算规律:
1)
(r1 r2 L
rn
)
k1 k2 kMn
( r1
r2
L
rn
)
l1 l2 lMn
)
r ( e1
r e2
r e3
)
c11 c21 c31
c12 c22 c32
c13
c23 c33
②
则称
①
或
②
为从
rrr e1,e2 ,e3
到
er1 ,er2 ,er3
的基变换公式。
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称矩阵
c11 c12 c13
C
c21 c31
c22 c32
c23 c33
为从坐标系 I 到坐标系 I的过渡矩阵。
r e2
r e3 )
x
y z
x x c11x c12 y c13z
y z
C
y z
c21 c31
x x
c22 c32
y y
c23z c33 z
这就是向量的坐标变换公式。
下面讨论点的坐标变换公式：
设点
M
在
I
r [O;e1
,
r e2
,
r e3
]
和
I
[O;er1
,
er2
,
er3
]中的坐标
r e2
r e3 )C
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uuur OM
uuur OO
uuuur OM
r ( e1
r e2
r e3
)
d1 d2 d3
( er1
er2
er3
)
x
y z
r ( e1
r e2
r e3
)
d1 d2 d3
r ( e1
r e2
r e3
)
C
x
y z
r ( e1
r e2
r e3
)
C
对于曲线,将其视为两张曲面的交线,从而曲线的坐标 变换公式可以将两张曲面的坐标变换公式联立得到.
例3.1
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1.3 过渡矩阵的性质
er1 ,er2 ,er3不共面 | C | 0
过渡矩阵C 是可逆矩阵
命题3.1 设有三个仿射坐标系I , I和I,若从 I到I的 过渡矩阵为C,从 I到I的过渡矩阵为D,则从 I到I的 过渡矩阵为CD.
r
( er1
er2
er3
)
x
y z
(( er1
r e2
r e3
)C
)
x
y z
r ( e1
r e2
r e3
)
C
x
y z
r ( e1
r e2
r e3
)
c11 c21 c31
x x x
c12 c22 c32
y y y
c13 z c23 z c33 z
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对比 可知
r
r ( e1
分别为 ( x, y, z)和 ( x, y, z) ，并设点O在 I 中的
坐标为(d1,d2 ,d3 ).
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M g
er3
r e3
er2 o er1
o er1
r e2
两个标架之间的关系:
①
uuur OO
r ( e1
r e2
r e3
)
d1 d2 d3
②
( er1
er2
er3 )
r ( e1
则借用矩阵记号和形式上的矩阵乘法将上式写为：
r
( r1
r2
L
rn
)
k1 kM2
kn
3
2、推广:设 r1,r2,L
,r
n
和
r
1,
rLeabharlann Baidu
2
,L
r
, m 为两组向量，
若
Lrrr12mLLaaa111L12mrr1L1r1Laaa22L122rmrL22r2LLLLLLaanLna12nrLrmnnrn
第三章 坐标变换与二次曲线的分类
本章要解决的两个问题： 一、给定图形，如何选择坐标系 使其方程最简单？ 二、在不同坐标系中，图形的方 程之间有什么关系？
§1 仿射坐标变换的一般理论 引入
在三维空间中，任意三个不共面的向量都可取 作空间的一组坐标向量。空间中任一向量在某一组 坐标向量下的坐标是唯一确定的，但是在不同坐标 系中的坐标一般是不同的。因此在处理一些问题时， 如何选择适当的坐标系使得所讨论的向量的坐标比 较简单是一个实际的问题。
x
y z
d1 d2 d3
对比
uuur r OM (e1
r e2
r x
e3
)
y z
可知
x x d1
y z
C
y z
d2 d3
这就是点的坐标变换公式。 12
两个坐标变换公式的异同点
相同点：都是用 I 中的坐标去求 I 中的坐标；
都是一次线性关系式。
不同点：向量的坐标变换公式是齐次的， 点的坐标变换公式是非齐次的。
推论 若从 I到I的过渡矩阵为C ,则从 I到I 的过渡 矩阵为C 1.
注：以上所有的概念、定义和结论对于平面上的坐
标变换都有类似的结果，而且更加简单。
( r1
r2
L
rn
)
k1 k2 kn
l1 l2 M ln
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2) 矩阵 A1, A2 Rnm ，则
(r1 r2 L
rn ) A1
(r(1r1r2r2LL
rrnn))(
A2
A1
A2 )
3) 矩阵A Rnm , B Rml，则
((r1 r2 L rn )A)B (r1 r2 L rn )( AB)
为此我们首先要知道同一向量在不同坐标系中 的坐标之间有什么关系，即随着坐标系的改变，向 量的坐标是如何变化的。
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1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式
一、代数准备：向量的形式写法
1、设 r1,r2,L ,rn 为空间中的一组向量，若
r
k1r1
k2r2
L
knrn
其中k1, k2,L , kn 是实数,
思考：点的坐标变换公式什么时候表现为齐次的？
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1.2 图形的坐标变换公式
设曲面 S在坐标系 I 中的一般方程为F ( x, y, z) 0, 则它在坐标系 I中的一般方程为:
F (c11 x c12 y c13z d1, c21x c22 y c23z d2 , c31 x c32 y c33z d3 ) 0