韦达定理在解析几何中的应用

一、韦达定理在高中数学中的作用

韦达定理在高中数学中具有非常重要的作用，特别在解析几何中研究直线和曲线的位置关系时，韦达定理对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用。利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元，从而简化运算。解析几何是高考的主干知识，而韦达定理又是解析几何的重要工具，因此可以说韦达定理是高考的重要内容之一。

二、初高中教材中方程知识不衔接

由于初中《数学课程标准》删去了一元二次方程的韦达定理，因此在北师大和人教版初中数学教材中涉及很少，教师重视不够，学生学习肤浅，造成学生对一元二次方程知识的欠缺。当学生升入高中后高中教师又不清楚初中学生对韦达定理的掌握程度，所以高中教师也不教韦达定理，而是直接应用，对学习解析几何直接造成困难。

一，求弦长

在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：

∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+

或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221k

y y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子：

例：,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。

解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2

p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=2

5p

二，判定曲线交点的个数

例 ：曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030

/14)0(012)4/1(2

1212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。由y=ax 2 得出，有四个不等的x 解，故二曲线的交点有4个。

三，求弦中点坐标

例： 已知直线 x-y=2与抛物线 y 2= 4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是____________________.

分析：联立方程组 x-y = 2和y 2= 4x.消去x 得 y 2-4y-8=0由韦达定理得y 1 + y 2 = 4, 线段AB 中点的纵坐标y=

2

21y y +, 横坐标x= y+2= 4. 故线段AB 中点坐标为（4，2）. 四，求曲线的方程

例：顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为15.求此抛物线方程。

解：设抛物线方程为 y 2=2px, 联立方程组y 2=2px 和 y=2x+1消去y 得

4x 2+2(2-p)x+1=0.又由韦达定理得x 1+x 2=22-p x 1x 2=41.于是有 155414)22(

2=⋅⋅--p 解得 p= -2 或 p=6. 故抛物线方程为 y 2= -4x 或 y 2=12x. k x x x x k x kx x kx x y x y =+-=-+-=+=

2121221122112111 则直线 L 的方程为 y = x-1. 因此建议:初中教学在讲授一元二次方程根与系数的关系时，要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差，并反复练习。高中教学时应对以上初中知识进行复习。