无人机避障系统模型
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图4.2 辅助无人机避障坐标系
其中，无人机起飞前的位置坐标为原点O，以在起点处无人机水平向右翻滚为X轴正方向，以在起点处无人机水平向前俯仰为Y轴正方向，以垂直于X轴、Y轴而向上的方向为Z轴正方向。为了区别辅助无人机避障坐标系Vf与地面坐标系Vb，列写两者区别于表4.1。
表4.1位置控制地面坐标系Vb与辅助无人机避障坐标系Vf对比
(4.21)
高度避障通道：由式（4.15）可知系统传递函数和无人机质量有关。在此假设四旋翼无人机的重量为7kg。进一步可得以飞行器为整体，得到无人机在高度避障通道的传递函数为式（4.22）所示：
(4.22)
可以得到无人机飞行高度的控制流程如图4.4所示：
图4.4高度辅助避障通道控制流程
由经验值设置参数，如图4.5所示，在MATLAB的Simulink环境下设置取比例控制系数Kp为-127，积分控制系数Ki为-13，微分控制系数Kd为-37。控制系统结构图如图4.6所示。
此时，无人机在俯仰避障通道的传递函数如式（4.23）所示，控制系统结构如图4.8所示。
(4.23)
图4.8俯仰辅助避障通道PID控制仿真模型
式中，g为重力加速度，取9.8m/s2。采用PID控制器控制并取Kp=-1.4，Ki=-0.125，Kd=-0.468，得避障系统在俯仰通道的单位阶跃响应如图4.9所示：
图4.9俯仰避障通道仿真系统的单位阶跃响应
由上图可以看出，俯仰避障通道在施加激励源作用2s后达到稳定，稳定后状态保持平稳，没有出现震荡现象。但在整个调节过程中，系统表现出了较为剧烈的震荡，而这将会对无人机的PID控制产生较为严重的影响。
3.3基于遗传算法的PID避障系统优化设计
3.3.1
遗传算法（GeneticAlgorithms, GA）是J.Holland于1975年受生物进化论的启发而提出的。GA是一种基于自然选择和基因遗传学原理的优化搜索算法。其创立过程有两个研究目的：其一是抽象地解释自然界的适应过程；其二是为了将生物系统的机理运用到工程系统、计算机系统或商业系统等人工系统的设计中。GA是基于“适者生存”的一种高度并行、随机和自适应的优化算法，它将问题的求解表示成“染色体”的适者生存过程，通过“染色体”群的一代代不断进化，包括复制、交叉、变异等操作，最终收敛到“最适应环境”的个体，从而求得问题的最优解和满意解，而其两个最显著的特点则是隐含并行性和全局解空间搜索。目前，随着计算机技术的发展，越来越得到人们的重视，并在机器学习、模式识别、神经网络、优化控制等领域中得到了成功的应用。
坐标系元素
地面坐标系Vb
辅助无人机避障坐标系Vf
原点
地面起飞点
地面起飞点
X轴
正东方向
无人机俯仰飞行方向
Y轴
正北方向
无人机横滚飞行方向Z轴源自垂直地面向上垂直于X、Y轴向上
在辅助无人机避障坐标系中分析障碍物与无人机的相对运动关系。设障碍物与无人机的坐标分别为(u,v,w)和(x,y,z)，则可以计算得到无人机相对于障碍物的坐标为：
(4.9)
则无人机所产生的各个方向上的分力为：
(4.10)
由以上两式可以得到在辅助无人机避障坐标系Vf下各个方向的运动方程为：
(4.11)
其中，(u,v,w)为障碍物在辅助无人机避障坐标系Vf下的坐标位置，F为四旋翼无人机电机产生的升力，θ为无人机飞行状态的俯仰角度，φ为无人机的横滚角度，m为无人机重量。由式（4.11）可以看出，无人机垂直方向上的位置仅与无人机产生的升力相关，在进行俯仰与横滚动作时，无人机的状态与俯仰角度θ和横滚角度φ相关。也就是说当升力一定时，无人机在俯仰方向与横滚方向上的变化只和俯仰角度θ和横滚角度φ相关。接下来对无人机在垂直方向、俯仰方向与横滚方向上的控制方程进行推导：
图4.5高度辅助避障通道PID控制仿真参数设置
图4.6高度辅助避障通道PID控制仿真模型
以单位阶跃响应为激励源仿真得到系统高度通道的响应如图4.7所示。
图4.7高度通道仿真系统的单位阶跃响应
可以看出，该PID系统在阶跃源的作用下在1.69s后达到稳定状态，稳定后该系统无震荡现象发生，调节过程较为平稳。但该系统的超调量与稳态时间均高于实际要求，因此无法满足无人机控制中的需要。
(4.1)
在上述两个坐标系中可以实现无人机位置的准确描述，以此为基础，可以进一步实现无人机飞行轨迹规划等任务。当无人机在飞行过程中遭遇障碍物时，需要及时动作以避开障碍，由于环境中障碍物的出现存在较大的随机性，因此障碍的具体位置信息无法事先由地面坐标系Vg描述，也就是说，仅依靠地面坐标系Vg的坐标信息无法实现无人机避障任务。为此，需要进一步研究获取无人机与障碍物之间的相对位置关系，即建立起无人机辅助避障坐标系，并以此为基础进一步设计避障动作控制算法。
X轴坐标：dz=w-z
Y轴坐标：dy=v-y(4.8)
Z轴坐标：dx=u-x
为了能够更加精确的对无人机飞行状态进行控制，需要在辅助无人机避障坐标系中对其进行受力分析。在X轴方向上无人机受升力在横滚方向上的分力作用；在Y轴方向上无人机受升力在俯仰方向上的分力作用；在Z轴方向上，无人机受升力在垂直方向的分力与其自身重力的共同作用。线性化处理辅助无人机避障坐标系Vf与地面坐标系Vb可以得到：
（3）交叉
许多生物体的繁衍是通过染色体的交叉完成的。交叉算子在遗传算法中的实现过程如下：选择群体中的任意两个个体x1和x2，以这两个个体为双亲做基因链码的交叉,从而产生两个新个体x1'、x2'，作为它们的后代。交叉方法有单点交叉和多点交叉等，交叉算子是以一定的概率发生的，这一概率称为交叉概率。
假设无人机所产生的升力为恒定值，则式（4.11）中的F为一常数，则俯仰与横滚方向的受力方程为：
(4.16)
同样的，由拉氏变换可以得到：
(4.17)
显然，起飞前无人机在X轴和Y轴方向的速度分量均为0，则无人机在俯仰及横滚方向的传递函数为：
(4.18)
在获得式（4.15）与（4.18）的基础上，可以设计辅助无人机避障系统以实现无人机的避障功能。又由式（4.4）可以得知，四旋翼无人机的避障控制其本质是对高度和水平位置，而高度的控制与无人机的角度变量无关。在水平方向上，俯仰角度与横滚角度与无人机受到的升力有关，因此可以通过PID控制技术实现避障。
图4.1 无人机机体坐标系与地面坐标系
图中无人机机体坐标系Vb以无人机机身本体的几何中心为原点，以无人机的横滚、俯仰以及垂直无人机机体向上方向作为无人机机体坐标系Vb的三个坐标轴。地面坐标系Vg则以无人机的起飞位置作为坐标原点，三个坐标轴分别取为正东方向、正北方向与垂直地面向上方向。无人机机体坐标系Vb与地面坐标系Vg之间可以相互转化，具体的转化公式为：
PID控制原理如图4.3所示：
图4.3PID控制原理图
对应于图4.3，PID控制器的一般形式可以写为：
(4.19)
在式（4.15）中分别采用Kp，Ki和Kd表示比例、积分和微分系数，进而得到PID控制器的传递函数模型如下：
(4.20)
PID控制器中的各控制参数的主要作用分别为：
（1）比例控制（P）
比例控制系数用于减少偏差，可以及时成比例地反映控制系统的偏差信号。偏差一旦产生，PID控制器可以立即产生控制作用，从而减少偏差。加快系统的响应速度，同时间提高系统的调节精度。比例系数越大，系统的响应速度越快，控制系统的调节精度也就越高，即控制系统对偏差的重视程度越高。但是比例控制系统过大将产生超调，甚至导致控制系统稳定严重降低；比例控制系数过小时，控制系统的降调节精度会降低，使系统响应速度缓慢，调节时间被延长，此时系统是动态、静态特性变差。
（2）积分控制（I）
积分控制系数用来提高系统的无差度，即消除静差。积分时间常数决定了积分作用的强弱。积分时间常数越大，积分作用越弱；反之，积分时间常数越小，积分作用则越强。积分作用系数越大，控制系统的静态误差消除越大，但此时积分作用过大，在响应过程的开始阶段会产生积分饱和现象，从而引起响应过程的较大超调。如积分作用系数过小，则系统静差将难以消除，控制系统的调节精度将受到影响。
2无人机辅助避障模型
无人机在飞行过程中往往会遇到随机出现的障碍物分布，如果不能及时避障则会导致严重的损失与危害。为了实现无人机的避障控制功能，以四旋翼无人机为对象建立地面坐标系Vg与无人机机体坐标系Vb下的无人机动力学模型：
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
其中，式4.2~4.4为无人机的姿态控制方程，式4.5~4.7表示无人机在地面坐标系Vg中的位置信息。
3PID避障控制模型优化设计
3.1PID控制及参数介绍
飞行器的避障系统主要作用是对飞行器的飞行位置、飞行路径进行控制调整。避障系统对飞行器的控制调整分为水平飞行轨迹调整、飞行高度调整两方面。本文采用比例-积分-微分（PID：Proportional–Integrate–Differential）控制器对飞行器飞行高度进行控制调整。PID是按照偏差的比例P、积分I、微分D进行控制的调节器，主要基于控制对象进行参数调节。PID控制系统在工业、机械控制领域具有广泛应用。PID控制器结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为过程控制的主要技术之一。除控制效果好、容易实现等特点外，它原理简单并且理论分析体系完整、参数物理意义明确，所以在过程控制中得到了广泛应用。简而言之，PID控制系统中，在比例负反馈的基础上加入微分项实现快速调节，加入积分项实现无静差。
无人机避障系统模型
1.无人机位置模型
就本质而言，无人机避障是对其位置进行控制的过程。因此首先需要建立起能够反应无人机所处位置的完善系统。此外，由于无人机运行中需要一定的空间体积，而且在改变飞行状态时也需要考虑其姿态的变化，故而也有必要对其进行姿态控制。无人机的位置控制与姿态控制分别涉及到无人机机体坐标系与地面坐标系，两者分别如图4.1表示。
无人机飞行控制技术目前已经十分成熟，可以达到较为稳定的飞行控制效果。因此，在现有飞行控制技术的基础上进行无人机避障控制系统的设计与研究。在本文2.2.2节已经描述，四旋翼无人机的飞行动作由四个方面构成，分别为升降、俯仰、横滚与偏航。而事实上，会对无人机与障碍物相对位置产生影响的飞行动作仅包括前三类动作，这是由于偏航是通过对无人机自身的正反转马达转速而产生的反扭矩实现无人机转向控制。当无人机转向发生时，其与障碍物之间的相对位置不发生变化。据此，在无人机俯仰、升降和横贯三个方向上进行建模，获得辅助无人机避障坐标系Vf如图4.2所示
遗传算法包括以下几个部分：
（1）基因链码
生物的性状是由生物的遗传基因的链码所决定的。在使用遗传算法时，需要把问题的每一个解编码成为一个基因链码。因此说，一个基因链码就代表问题的一个解，每个基因链码有时也被称作一个个体。有时也把基因链码称作染色体
（2）群体
一些个体组成了一个群体，一个群体是若干个个体的集合。由于每个个体代表了问题的一个解，所以一个群体就是问题的解的集合。
（1）垂直方向上的控制方程推导
无人机所受重力为恒定值，因此垂直方向上的作用力uz为
(4.12)
由牛顿第二定律：
(4.13)
对式（4.13）拉氏变换：
(4.14)
由于无人机起飞前处于静止，初速度为0，因此式中有Z(0)=Z’(0)=0，因此垂直方向上的传递函数Gz(s)为：
(4.15)
（2）俯仰及横滚方向上的控制方程推导
俯仰避障通道：由式（4.18）可以发现，无人机在俯仰方向的动作同无人机产生的升力和无人机重量有着直接的关系。在飞行过程中可能出现无人机升力大于、等于、小于无人机重量的情况。由于无人机升力即高度方向的辅助避障控制是单独的，与俯仰和横滚没有耦合关系。在此，直接将无人机产生的升力F假设为常数（等于重力）。
（3）微分控制（D）
微分控制系数主要用于反映偏差信号的变化速率，即反映偏差信号的变化趋势，及时在控制系统中引入修正信号（在偏差信号值变得太大之前在系统中引入），从而使系统迅速产生控制作用，加快系统的动作速度，减少所需调节时间。
3.2辅助无人机避障系统的PID控制仿真
无人机的PID控制是指当飞抵障碍物附近时，无人机通过控制自身位置达到避障的效果。由无人机辅助避障控制系统数学模型可知，无人机的位置移动分为两种，分别是高度位移和水平位移。并且高度控制和水平位移没有相互耦合关系，可单独采用PID控制实现对高度避障的控制，具体的控制方程为：
其中，无人机起飞前的位置坐标为原点O，以在起点处无人机水平向右翻滚为X轴正方向，以在起点处无人机水平向前俯仰为Y轴正方向，以垂直于X轴、Y轴而向上的方向为Z轴正方向。为了区别辅助无人机避障坐标系Vf与地面坐标系Vb，列写两者区别于表4.1。
表4.1位置控制地面坐标系Vb与辅助无人机避障坐标系Vf对比
(4.21)
高度避障通道：由式（4.15）可知系统传递函数和无人机质量有关。在此假设四旋翼无人机的重量为7kg。进一步可得以飞行器为整体，得到无人机在高度避障通道的传递函数为式（4.22）所示：
(4.22)
可以得到无人机飞行高度的控制流程如图4.4所示：
图4.4高度辅助避障通道控制流程
由经验值设置参数，如图4.5所示，在MATLAB的Simulink环境下设置取比例控制系数Kp为-127，积分控制系数Ki为-13，微分控制系数Kd为-37。控制系统结构图如图4.6所示。
此时，无人机在俯仰避障通道的传递函数如式（4.23）所示，控制系统结构如图4.8所示。
(4.23)
图4.8俯仰辅助避障通道PID控制仿真模型
式中，g为重力加速度，取9.8m/s2。采用PID控制器控制并取Kp=-1.4，Ki=-0.125，Kd=-0.468，得避障系统在俯仰通道的单位阶跃响应如图4.9所示：
图4.9俯仰避障通道仿真系统的单位阶跃响应
由上图可以看出，俯仰避障通道在施加激励源作用2s后达到稳定，稳定后状态保持平稳，没有出现震荡现象。但在整个调节过程中，系统表现出了较为剧烈的震荡，而这将会对无人机的PID控制产生较为严重的影响。
3.3基于遗传算法的PID避障系统优化设计
3.3.1
遗传算法（GeneticAlgorithms, GA）是J.Holland于1975年受生物进化论的启发而提出的。GA是一种基于自然选择和基因遗传学原理的优化搜索算法。其创立过程有两个研究目的：其一是抽象地解释自然界的适应过程；其二是为了将生物系统的机理运用到工程系统、计算机系统或商业系统等人工系统的设计中。GA是基于“适者生存”的一种高度并行、随机和自适应的优化算法，它将问题的求解表示成“染色体”的适者生存过程，通过“染色体”群的一代代不断进化，包括复制、交叉、变异等操作，最终收敛到“最适应环境”的个体，从而求得问题的最优解和满意解，而其两个最显著的特点则是隐含并行性和全局解空间搜索。目前，随着计算机技术的发展，越来越得到人们的重视，并在机器学习、模式识别、神经网络、优化控制等领域中得到了成功的应用。
坐标系元素
地面坐标系Vb
辅助无人机避障坐标系Vf
原点
地面起飞点
地面起飞点
X轴
正东方向
无人机俯仰飞行方向
Y轴
正北方向
无人机横滚飞行方向Z轴源自垂直地面向上垂直于X、Y轴向上
在辅助无人机避障坐标系中分析障碍物与无人机的相对运动关系。设障碍物与无人机的坐标分别为(u,v,w)和(x,y,z)，则可以计算得到无人机相对于障碍物的坐标为：
(4.9)
则无人机所产生的各个方向上的分力为：
(4.10)
由以上两式可以得到在辅助无人机避障坐标系Vf下各个方向的运动方程为：
(4.11)
其中，(u,v,w)为障碍物在辅助无人机避障坐标系Vf下的坐标位置，F为四旋翼无人机电机产生的升力，θ为无人机飞行状态的俯仰角度，φ为无人机的横滚角度，m为无人机重量。由式（4.11）可以看出，无人机垂直方向上的位置仅与无人机产生的升力相关，在进行俯仰与横滚动作时，无人机的状态与俯仰角度θ和横滚角度φ相关。也就是说当升力一定时，无人机在俯仰方向与横滚方向上的变化只和俯仰角度θ和横滚角度φ相关。接下来对无人机在垂直方向、俯仰方向与横滚方向上的控制方程进行推导：
图4.5高度辅助避障通道PID控制仿真参数设置
图4.6高度辅助避障通道PID控制仿真模型
以单位阶跃响应为激励源仿真得到系统高度通道的响应如图4.7所示。
图4.7高度通道仿真系统的单位阶跃响应
可以看出，该PID系统在阶跃源的作用下在1.69s后达到稳定状态，稳定后该系统无震荡现象发生，调节过程较为平稳。但该系统的超调量与稳态时间均高于实际要求，因此无法满足无人机控制中的需要。
(4.1)
在上述两个坐标系中可以实现无人机位置的准确描述，以此为基础，可以进一步实现无人机飞行轨迹规划等任务。当无人机在飞行过程中遭遇障碍物时，需要及时动作以避开障碍，由于环境中障碍物的出现存在较大的随机性，因此障碍的具体位置信息无法事先由地面坐标系Vg描述，也就是说，仅依靠地面坐标系Vg的坐标信息无法实现无人机避障任务。为此，需要进一步研究获取无人机与障碍物之间的相对位置关系，即建立起无人机辅助避障坐标系，并以此为基础进一步设计避障动作控制算法。
X轴坐标：dz=w-z
Y轴坐标：dy=v-y(4.8)
Z轴坐标：dx=u-x
为了能够更加精确的对无人机飞行状态进行控制，需要在辅助无人机避障坐标系中对其进行受力分析。在X轴方向上无人机受升力在横滚方向上的分力作用；在Y轴方向上无人机受升力在俯仰方向上的分力作用；在Z轴方向上，无人机受升力在垂直方向的分力与其自身重力的共同作用。线性化处理辅助无人机避障坐标系Vf与地面坐标系Vb可以得到：
（3）交叉
许多生物体的繁衍是通过染色体的交叉完成的。交叉算子在遗传算法中的实现过程如下：选择群体中的任意两个个体x1和x2，以这两个个体为双亲做基因链码的交叉,从而产生两个新个体x1'、x2'，作为它们的后代。交叉方法有单点交叉和多点交叉等，交叉算子是以一定的概率发生的，这一概率称为交叉概率。
假设无人机所产生的升力为恒定值，则式（4.11）中的F为一常数，则俯仰与横滚方向的受力方程为：
(4.16)
同样的，由拉氏变换可以得到：
(4.17)
显然，起飞前无人机在X轴和Y轴方向的速度分量均为0，则无人机在俯仰及横滚方向的传递函数为：
(4.18)
在获得式（4.15）与（4.18）的基础上，可以设计辅助无人机避障系统以实现无人机的避障功能。又由式（4.4）可以得知，四旋翼无人机的避障控制其本质是对高度和水平位置，而高度的控制与无人机的角度变量无关。在水平方向上，俯仰角度与横滚角度与无人机受到的升力有关，因此可以通过PID控制技术实现避障。
图4.1 无人机机体坐标系与地面坐标系
图中无人机机体坐标系Vb以无人机机身本体的几何中心为原点，以无人机的横滚、俯仰以及垂直无人机机体向上方向作为无人机机体坐标系Vb的三个坐标轴。地面坐标系Vg则以无人机的起飞位置作为坐标原点，三个坐标轴分别取为正东方向、正北方向与垂直地面向上方向。无人机机体坐标系Vb与地面坐标系Vg之间可以相互转化，具体的转化公式为：
PID控制原理如图4.3所示：
图4.3PID控制原理图
对应于图4.3，PID控制器的一般形式可以写为：
(4.19)
在式（4.15）中分别采用Kp，Ki和Kd表示比例、积分和微分系数，进而得到PID控制器的传递函数模型如下：
(4.20)
PID控制器中的各控制参数的主要作用分别为：
（1）比例控制（P）
比例控制系数用于减少偏差，可以及时成比例地反映控制系统的偏差信号。偏差一旦产生，PID控制器可以立即产生控制作用，从而减少偏差。加快系统的响应速度，同时间提高系统的调节精度。比例系数越大，系统的响应速度越快，控制系统的调节精度也就越高，即控制系统对偏差的重视程度越高。但是比例控制系统过大将产生超调，甚至导致控制系统稳定严重降低；比例控制系数过小时，控制系统的降调节精度会降低，使系统响应速度缓慢，调节时间被延长，此时系统是动态、静态特性变差。
（2）积分控制（I）
积分控制系数用来提高系统的无差度，即消除静差。积分时间常数决定了积分作用的强弱。积分时间常数越大，积分作用越弱；反之，积分时间常数越小，积分作用则越强。积分作用系数越大，控制系统的静态误差消除越大，但此时积分作用过大，在响应过程的开始阶段会产生积分饱和现象，从而引起响应过程的较大超调。如积分作用系数过小，则系统静差将难以消除，控制系统的调节精度将受到影响。
2无人机辅助避障模型
无人机在飞行过程中往往会遇到随机出现的障碍物分布，如果不能及时避障则会导致严重的损失与危害。为了实现无人机的避障控制功能，以四旋翼无人机为对象建立地面坐标系Vg与无人机机体坐标系Vb下的无人机动力学模型：
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
其中，式4.2~4.4为无人机的姿态控制方程，式4.5~4.7表示无人机在地面坐标系Vg中的位置信息。
3PID避障控制模型优化设计
3.1PID控制及参数介绍
飞行器的避障系统主要作用是对飞行器的飞行位置、飞行路径进行控制调整。避障系统对飞行器的控制调整分为水平飞行轨迹调整、飞行高度调整两方面。本文采用比例-积分-微分（PID：Proportional–Integrate–Differential）控制器对飞行器飞行高度进行控制调整。PID是按照偏差的比例P、积分I、微分D进行控制的调节器，主要基于控制对象进行参数调节。PID控制系统在工业、机械控制领域具有广泛应用。PID控制器结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为过程控制的主要技术之一。除控制效果好、容易实现等特点外，它原理简单并且理论分析体系完整、参数物理意义明确，所以在过程控制中得到了广泛应用。简而言之，PID控制系统中，在比例负反馈的基础上加入微分项实现快速调节，加入积分项实现无静差。
无人机避障系统模型
1.无人机位置模型
就本质而言，无人机避障是对其位置进行控制的过程。因此首先需要建立起能够反应无人机所处位置的完善系统。此外，由于无人机运行中需要一定的空间体积，而且在改变飞行状态时也需要考虑其姿态的变化，故而也有必要对其进行姿态控制。无人机的位置控制与姿态控制分别涉及到无人机机体坐标系与地面坐标系，两者分别如图4.1表示。
无人机飞行控制技术目前已经十分成熟，可以达到较为稳定的飞行控制效果。因此，在现有飞行控制技术的基础上进行无人机避障控制系统的设计与研究。在本文2.2.2节已经描述，四旋翼无人机的飞行动作由四个方面构成，分别为升降、俯仰、横滚与偏航。而事实上，会对无人机与障碍物相对位置产生影响的飞行动作仅包括前三类动作，这是由于偏航是通过对无人机自身的正反转马达转速而产生的反扭矩实现无人机转向控制。当无人机转向发生时，其与障碍物之间的相对位置不发生变化。据此，在无人机俯仰、升降和横贯三个方向上进行建模，获得辅助无人机避障坐标系Vf如图4.2所示
遗传算法包括以下几个部分：
（1）基因链码
生物的性状是由生物的遗传基因的链码所决定的。在使用遗传算法时，需要把问题的每一个解编码成为一个基因链码。因此说，一个基因链码就代表问题的一个解，每个基因链码有时也被称作一个个体。有时也把基因链码称作染色体
（2）群体
一些个体组成了一个群体，一个群体是若干个个体的集合。由于每个个体代表了问题的一个解，所以一个群体就是问题的解的集合。
（1）垂直方向上的控制方程推导
无人机所受重力为恒定值，因此垂直方向上的作用力uz为
(4.12)
由牛顿第二定律：
(4.13)
对式（4.13）拉氏变换：
(4.14)
由于无人机起飞前处于静止，初速度为0，因此式中有Z(0)=Z’(0)=0，因此垂直方向上的传递函数Gz(s)为：
(4.15)
（2）俯仰及横滚方向上的控制方程推导
俯仰避障通道：由式（4.18）可以发现，无人机在俯仰方向的动作同无人机产生的升力和无人机重量有着直接的关系。在飞行过程中可能出现无人机升力大于、等于、小于无人机重量的情况。由于无人机升力即高度方向的辅助避障控制是单独的，与俯仰和横滚没有耦合关系。在此，直接将无人机产生的升力F假设为常数（等于重力）。
（3）微分控制（D）
微分控制系数主要用于反映偏差信号的变化速率，即反映偏差信号的变化趋势，及时在控制系统中引入修正信号（在偏差信号值变得太大之前在系统中引入），从而使系统迅速产生控制作用，加快系统的动作速度，减少所需调节时间。
3.2辅助无人机避障系统的PID控制仿真
无人机的PID控制是指当飞抵障碍物附近时，无人机通过控制自身位置达到避障的效果。由无人机辅助避障控制系统数学模型可知，无人机的位置移动分为两种，分别是高度位移和水平位移。并且高度控制和水平位移没有相互耦合关系，可单独采用PID控制实现对高度避障的控制，具体的控制方程为：