工程力学第三章力偶系

一、平面中力对点之矩
刚体在平面内受力F作用而绕平面上某一点O 转动的效应取决于力的大小力臂和转动方向。
力臂——力的作用线至O点的垂直距离h。
转动方向——规定逆钟向为正，顺钟向为负。 MO(F) = h×F = ± Fh
还可表示为：
MO(F) = ±2△OAB
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O O
( (
F F
)x )y
M M
x y
(F) (F)
yFz zFx
zFy xFz
M
O
(F
)z
M
z
(F
)
xFy
yFx
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§3–3 力偶矩矢
M = rBA×F = rAB×F 力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M，
M = ±Fd
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A
B
l
m 0: FAl M1 M 2 M 3 0 M 2 M 1
解之得：
A
FA
M3 B
FB
FA
M1
M2 l
M3
FB
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例2：如图杆AB上有一导槽，套在杆 CD上的销子E上，在两杆上各有一力
A M1
D B
偶作用。已知mM1 1000 N m ，若
§3–5 力偶系的合成
设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、…、Mn ，根据力 偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图(b)中的任一 点A，力偶系合成结果为一合力偶。
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n
其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和： M Mi i1
合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：
n
n
n
M x M xi , M y M yi , M z M zi
i 1
i 1
i 1
对于平面力偶系M1、M2、…、Mn，合成结果为该力偶
系所在平面内的一个力偶，合力偶矩M为各力偶矩
的代数和
n
M M i i1返回首页§3–Fra bibliotek 力偶系的平衡条件
力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。
yFz zFx
zFy xFz
M
O
(
F
)zM
MO (
Fz ()Fz)
MxFzy(Fy)FxxFy
yFx
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3.基本性质： 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点
点转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这 个矩矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。
MO(FR) = MO(F1) + MO(F2)
§3–4 力偶的等效条件和性质
一、力偶的等效条件——两力偶的矩矢相等。 二、力偶的性质 性质1：力偶无合力，即力偶不能简与一个力等效。 性质2：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动， 而不改变原力偶对刚体的效应。 性质3：力偶矩矢相等的两力偶等效。
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即
M Mi 0
因为：M (M x )2 (M y )2 (M z )2
所以：
M M
x y
0 0
M z 0
上式即为力偶系的平衡方程。
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例1： 求图示简支梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力 如图。
M 2 M1 M3
例3：系统如图，AB杆上作用矩为M
B
的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径， M
各物体的重量及摩擦不计。求绳子的 D
拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面
C
对轮C的反力。
A E
解：先以AB杆为研究对象，受力如图。
M 0:M FNA AD 0
Fx Fy Fz
MO(F) MO(F)x i MO(F)y j MO(F)z k
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力对点之矩矢在坐标轴上的投影表示式为：
M M
O O
( (
F F
)xM )yM
MO ( OM(
Fx ()Fx)MyFxz(Fz)Fy Fy ()Fy)MzFyx(Fx)Fz
二、力对点之矩矢
1.概念：矢径 r 与力F 的矢积
2.表示式： （1）.矢量积表示式：
MO(F) = r×F
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（2）.解析表示式：
在直角坐标系Oxyz中： r = xi + yj + zk
F = Fxi +Fyj +Fzk
i jk
M O (F ) x y z ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
第一篇 静力学
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§3-1 力对点之矩矢 §3-2 力对轴之矩 §3-3 力偶矩矢 §3-4 力偶的等效条件和性质 §3-5 力偶系的合成 §3-6 力偶系的平衡条件
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第三章 力偶系
力偶——作用于刚体上大小相等、方向相反 且不共线的两个力组成的力系。 力偶作用面——力偶的两个力所在的平面。 力偶臂——二力作用线之间的距离。 力偶系——作用于刚体的一群力偶。 力偶的作用效应——使刚体产生绕质心转动。
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§3–1 力对点之矩矢
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45 E
杆重和摩擦不计，求机构平衡时M2 应为多大。
M2
C
解：先以AB为研究对象，受力如图。 FA M 1
M 0:FE AE M1 0
A
再以CD为研究对象，受力如图。
B FE E
D
M 0:M2 FE AE 0
于是得：
M 2 M1 1000 N m
E
FC
FE
C M2
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4.合力矩定理： 合力对任一点之矩矢等于诸分力对同一点
之矩矢的矢量和。 MO(FR) =ΣMO(F)
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§3–2 力对轴之矩
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一、力对轴之矩的概念
力对轴之矩：力对轴之矩等于力在与轴垂直平面 上的投影对轴与该平面交点之矩。
Mz(FR) = MA(F2) 二、力对坐标轴之矩
M x (F ) yFz zFy 1.73N m
M y (F ) zFx xFz 3.46 N m
M z (F ) xFy yFx 1.73N m
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三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
M M