第3章随机过程讲义

把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 机过程。 严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成 立。
第3章 随机过程
研究广义平稳的意义 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为
广义平稳的随机过程。因此，研究广义平稳随机过程 有着很大的实际意义，后面讨论随机过程均假定平稳 且是广义平稳的。
通信原理
第3章 随机过程
第3章 随机过程
•为什么研究随机过程？
在通信系统的研究中，输入信号、干扰、噪声等都不是 确知信号，而是随机信号。 这些随机信号具有一定的统计规律性。 随机过程是随机信号的数学模型，研究它的理论就是研 究随机信号的数学工具。
第3章 随机过程
•3.1 随机过程的基本概念
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用 确切的时间函数描述。
随机过程 (t) 的n维分布
分布函数 Fn ( x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
概率密度函数
fn
(
x1，x2，
，xn；t1，t2，
，tn
)
n Fn
(
x1，x2， ，xn；t1，t2， x1x2 xn
，tn
随机过程可被看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率 密度函数来描述。
随机过程 (t)的一维分布：
分布函数
F1( x1, t1 ) P[ (t1 ) x1]
方差常记为 2( t )，它表示随机过程在时刻 t 对于均值
a( t )的偏离程度。 因为
D ξ t E ξ 2 t 2at ξ t a2 t
E[ξ 2(t)] 2a t E ξ t a2(t)
均方值
E[ξ 2(t)] a2(t)
x
2
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f1
(
x,
t
)dx
[a(t
)]2
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差。
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协方差函数
B(t1, t2 ) E [ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]
[
x1
a(t1
)][
x2
a(t2
)]
f2(
x1 ,
x2;t1, t2
)dx1dx2
式中 a(t1) 、a(t2) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) － (t)的二维概率密度函数。
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简 称严平稳随机过程。
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一维与二维概率密度函数性质： 严平稳随机过程的定义表明，严平稳随机过程的统
计特性不随时间的推移而改变。 一维概率密度函数与时间t无关： f1( x1, t1 ) f1( x1 )
二维概率密度函数只与时间间隔 = t2 – t1有关： f2( x1, x2;t1, t2 ) f2( x1, x2; )
(t)
1(t)
…2(t)
n(t)
0
t
随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。
在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个 确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 这些不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n}构成一个 随机变量，记为 (t1)。
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均值与自相关函数的数字特征：
E (t) x1 f1( x1)dx1 a
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2( x1, x2; )dx1dx2 R( )
可见，（1）均值与时间t 无关，为常数a ；
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
(t)
n台性能与工作条件完全相同的接收机的输出噪声波形
1(t)
…2(t)
n(t)
0
t
样本函数i (t)：随机过程的一次实现，对应一个随
机试验结果，是一个时间过程。
随机过程 (t) ：所有样本函数的集合。
(t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)}
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随机过程与随机变量
互相关函数
R (t1, t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。
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•3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义 定义：
若一个随机过程(t)的任意有限维概率密度函数与时
间起点无关，即对于任意正整数n和所有实数，有 fn ( x1, x 2 , , x n；t1, t2 , , tn ) fn( x1, x2 , , xn；t1 , t2 , , tn )
)
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3.1.2 随机过程的数字特征-均值、方差与相关函数
均值（数学期望）：
随机变量的均值：在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一
个随机变量，其均值 E (t1) x1 f1( x1, t1)dx1
f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数
随机过程的均值：
E (t)
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自相关函数
R(t1, t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1 x2 f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随
机变量。 自相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 ) 若a(t1) = a(t2)=0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
xf1( x, t )dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随
机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
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a(t) E (t)
xf1( x, t )dx
(t)
1(t) …2(t) n(t)
0
a(t)
t
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方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
概率密度函数：
f1 (
x1, t1 )
F1( x1, t1 ) x1
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随机过程 (t) 的二维分布
分布函数
F2( x1, x2;t1,t2,) P (t1) x1,(t2) x2
概率密度函数： f2( x1, x2;t1, t2 )
2F2( x1, x2;t1, t2 ) x1x2