浅谈数值分析在解决实际问题中的应用

数值分析论文

学生姓名：XX

学生学号XXX

所在院系：理学院数学类XX班指导教师：XX

浅谈数值分析在解决实际问题中的应用

摘要：随着科技的日益发展，各领域的研究都或多或少地依赖于数值分析的方法解决实际问题。数值分析的思想主要应用于工程建设方面，以漏磁探伤、交叉隧道近接施工安全的数值分析研究、混凝土高温爆裂机理的数值分析研究、小刚度劲性水泥土墙数值分析研究等实际研究应用为大家所熟知。本文只研究漏磁探伤。

关键字：数值分析漏磁探伤插值

0 引言：漏磁探伤( MFL) 是一种无损的探伤方法, 可以用于输油管、抽油管、钢丝绳等高成本铺设管道的状态评估。上述管道铺设成本高, 又多是处于恶劣的工作环境下, 更换所需费用庞大, 而无损检测可有效提高其使用寿命, 且漏磁探伤检测精度高, 自动化程度高, 受干扰小, 研究漏磁探伤有其经济实用价值。

关于漏磁探伤主要探讨漏磁探伤中的插值方法。其实现是基于已经实现数据采集和数据压缩, 数值插值无疑成了提高结果精度的首

选方法。欲利用计算机求得漏磁场的数值解, 采用插值法可将磁场求解的二次泛函问题转化成一般多元函数的极值问题, 即可将其等价

于一组多元线性代数方程来求解。用插值法得出每个传感器漏磁强度变化的波形的二维信息, 由此可确定缺陷的位置及长度, 再通过12

个传感器的纵向比较连线作图得到三维信息, 由此可以确定缺陷的

宽度与深度, 这样就在三维空间上确定了缺陷的详细信息。

1 数学原理

从数学角度而言, 数值插值就是用简单熟悉的函数来表示近似复杂或者未知的函数的一组值。插值的定义不难理解, 设y= f ( x ) 在

[ a, b] 上有定义,a≤x

0≤x

1

≤……≤x

n

≤b, 且函数值y 与x 成对

应关系。则可以选取较为简单的函数y = P ( x ) 近似表示y = f ( x ) ,

前者满足P ( x

i ) = f ( x

i

) , ( i= 0, 1, 2……n ) , 则在区间[ a, b] 上称满

足插值条件的y = P ( x )为y= f ( x ) 的插值函数。Giant 插值函数的选取方式不一而足, 可以是有理多项式函数类、分段多项式函数类或者三角函数类等。

常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法、分段低次插值、三次样条插值等。拉格朗日插值和牛顿插值都是多项式插值的一种, 也是处理较为简单且最为常见的数据插值问题的数值计算方法。而用多项式表示的函数, 只需对自变量进行有限次的加减乘3 种基本运算即可求得其函数值, 也是其他各种数值插值的基础, 故在实际应用中多项式插值占有重要的地位。

漏磁探伤中的所采集的数据是二维数据, 所以需要用二元的有理插值, 将其应用于漏磁探伤之中。拉格朗日插值法的公式含义直观, 形式对称, 结构整齐且紧凑, 理论分析十分方便, 然而在实际计算中,插值点增加或减少1 个时, 其对应的基本多项式需要全部重新计算, 于是整个公式都会变化, 非常繁琐。可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。另外, 当插值点比较多时, 拉格朗日插值多项式的次数会很高, 具有数值不稳定的特点, 也就是说即使在已知的几个点取到给定的数值, 但在附近却会和实际值有很大的偏差。这类现象也被

称为龙格现象, 解决这个问题的办法是分段用较低次数的插值多项式。漏磁探伤中数据很多, 且每次测量数据都不断变化, 所以可以选用牛顿差值方法, 对所采集的数据分段进行差值, 得到1 个二维的插值函数, 再在此基础上进行扩展, 在1 个被测对象的圆周上等角度安装12 个传感器, 测出12 组有以上变化规律的函数, 对比同一个时间点, 得到三维数据。

2 漏磁数值插值方法

2. 1 数据分析

漏磁检测数据信号主要分为健康数据、缺陷数据和非缺陷数据。数据平滑表示漏磁大小变化不大,则为无缺损处, 而数据发生震荡变化则有可能为缺损或是噪声, 经压缩后噪声信号被除去, 得到可以还原原始数据的全部信息, 这些信息就是需要插值的数据。这些数据应该仍符合原始数据的部分变化规律, 包含原始数据的全部信息。

2. 2 构造插值函数

设自变量为时间t , 因变量为漏磁信号强度y ,则每个被测点被测的时间分别为n t t t t ,,,210 。其所对应的采样点漏磁强度分别为

n y y y y .,,210 。由上面分析, 采样时间间隔为常数, 即

01211t t t t t t n n n n 为常数, 设这一常数为t 。可简化牛顿差

值公式。

令)(t f 为差值函数, 即漏磁的波形变化近似函数, 则

)

())()(,,,()())()(,,,())()(,,())(,()()(10210110210102100100n n n n t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t f t t t t t t t f t t t t f t f t f ( 1)

其中 ),(10t t f

t t f t f )()(01 t

t t f t t f t t t f 2),(),(),,(1021210 ……

t

n t t t t f t t t t f t t t t f n n n ),,,(),,,(),,,(1210210210 由此公式递推可得出),(10t t f , ),,(210t t t f , ……, ),,,(210n t t t t f 的值, 即为含t 多项式的系数。代入公式( 1) , 可得漏磁强度的插值方程)(t f 。再通过此方程来看漏磁强度的波形变化, 分析波形可判断出缺陷的位置以及长度。

2. 3 函数实现

以小部分数据为例来进行牛顿插值, 所得结果使用MATLAB 语言编程, 该程序可求出每一个t 对应的y 值, 即每一时间的漏磁强度波形变化, 从而得到插值函数, 其图像如图1 所示。