2018年“数学花园探秘”科普活动小高复赛(D)_解析

2018年“数学花园探秘”科普活动
小高组复赛试卷D
（测评时间：2018年01月6日08:00~09:30）
一、填空题Ⅰ（每小题8分，共32分） 1.算式
711132737
1000
⨯⨯+⨯的计算结果是__________．
【答案】 2 【解析】
71113273710019992000
2100010001000
⨯⨯+⨯+===
2.右图是果果观测到的日偏食照片，已知两圆的半径分别是50厘米和40厘米，那么图中两个阴影部分的面积差为__________平方厘米．
【答案】 2826 【解析】
同增同减差不变，两阴影部分面积差，就是大小两个圆的面积差
225040 3.1440402826ππ⨯-⨯=⨯-⨯+=(50)(50)（平方厘米）．
3.桌上有两堆棋子．第一堆棋子的枚数刚好是第二堆的一半．如果从第二堆中取走15枚，那么第二堆棋子的枚数将变成第一堆的一半．那么两堆棋子共有__________枚．
【答案】 30 【解析】
不妨设原来第一堆棋子数量为x ，那么原来第二堆棋子数量为2x 那么依题意可得： 12152
x x -=
解得：10x =
所以原来一共有2101030⨯+=枚．
4.某次赛马比赛中共有2018匹马参赛，每场比赛由18匹马同场竞技．已知每匹马的速度不变且互不相同．那么找出速度最快的马最少需要举行 __________场比赛.
【答案】 119 【解析】 ()201818112
21122186
6
661811261119÷=+÷=+<++=只需安排一场比赛一共需要安排场.
二、填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）
5. 算式245789111213141617181920
1361015123456
++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的计算结果是__________．
【答案】 1 【解析】
2457891112131416171819201361015
123456
12133243552365
1361015123456
234561234561++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯=
6.右面的算式中ABCD 分别表示不同的奇数数字，那么四位数ABCD 的值是__________.
A B C D ABC ⨯⨯⨯=
【答案】 1359
【解析】
这个三位数能被ABCD 整除最少是 1357105
1359135
1579315
3579945
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=
只有第二个算式符合要求． 1359ABCD =．
7.古代中国通过“丝绸之路”向其他国家出售丝绸、瓷器等．“丝绸之路”上有两个相邻的小国甲国和乙国，分别盛产玉石和马匹．两国之间本来有贸易往来，中国通过“丝绸之路”，与这两个国家也产生了贸易，三国贷币不统一，因此采取以物换物: 3 件瓷器可以换4 匹丝绸，也可以换3 斤玉石，还可以换5匹马.某月中国共交易出60 件瓷器和60 匹丝绸，甲国共交易出90斤玉石，乙国共交易出125 匹马.那么这个月内中国从乙国换__________匹马. 【答案】 75
【解析】
中国共交易出60件瓷器和60 匹丝绸，因为3 件瓷器可以换4 匹丝绸相当于一共交换出606043105+÷⨯=件瓷器，那么这些瓷器去跟甲国和乙国交换玉石和马匹，设跟甲国交换了x 次，乙国交换了y 次.
33105903125535x y x y +=⎧⎪
--⎨=⎪⎩
整理得： 355x y x y +=⎧⎨
-=⎩
解得2015x y =⎧⎨=⎩
所以中国跟乙国交换了15575⨯=匹马.
8.桌面上一共有66张牌．甲、乙二人轮流取牌，甲先取，规定每人每次只能取1张或质数张牌，不能不取，取到最后一张牌的人获胜．甲若想取胜的话，第一次取牌时应取走__________张牌. 【答案】 2
【解析】
我们可以通过枚举少量几张牌的情况
664162÷=，甲应该先取2枚棋子.
三、填空题Ⅲ（每小题12分，共48分
9.一个自然数最大的三个约数的和为140，这个自然数是__________. 【答案】 80
【解析】
设这个数是a 若14023
a a
a +
+=，这a 五整数解不符合题意
若14024
a a
a ++=此时a =80 符合题意．
10.将编号为1、2、3、4、5的小球依次放入下面5 小格中，每次操作，选取相邻4格，将选出的前两格和后两格中的小球对换，交换时不改变前后两格内小球的左右顺序，例：12345 操作一次只能变力34125 或14523．如果一种放法经过若干次操作后与另一种完全相同，我们就认为这两种放法是同一类，那么，所有的放法共有__________.
【答案】 20 【解析】
14523
521431452354321123451234512345
325413412554321325415214334125⎧⎧⎧→⎪⎨
⎪→⎨
⎩⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
→⎧⎨⎪⎪
⎧⎧⎪⎪→→⎨⎨⎪⎪→⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩
对于一种排列 有六种排列可以经过若干次交换变成一样，所以一共有
5
5
206
A =.
11.甲、乙两人一起从A 地出发匀速走向B 地，丙同时从B 地出发习速走向A 地； 丙在C 点遇见甲后再在D 点遇见乙；甲到B 地时丙恰好到A 地，甲、丙两人立即原路返回； 甲在返回途中的E 点遇到乙．已知C 、D 两地相距1千米，D 、E 两地相距4千米，那么A 、B 两地相距_________千米． 【答案】 10 【解析】
我们知道三人同时出发，甲到达B ，丙巧好到达A ，则甲丙的速度相同，两人在AB 中点C 处相遇，乙丙合走一个全程，在D 处相遇，则丙乙多走2千米，甲乙合走两个全程在E 处相遇，则甲比乙多走4千米，不妨设AB 全程为S ， 13
34322
220
10
S S S S ++=-==
四.解答题(每小题15 分，共30 分)
13.如图，线段DG 上有一点C ，分别以DC 、CG 为边长向上、向下作正方形ABCD 、正方形CEFG ；已知三角形AEG 的面积比三角形BDF 的面积大2018，求正方形CEFG 面积与正方形ABCD 的面积差．
【答案】 4036 【解析】
a
b
M
N
B E
C
D A
甲乙
分别延长AB 、FG 交于M ，AD 、FE 交于N ，设正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，
()()22
222018
2018
2018
11201822
4036AEG FDB ANE AMG FEG FND FMB ABD ABD FEG S S ANFM S S S ANFM S S S S S a b a b ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-=-------=-=-=-=正方形正方形
14.小俊同学想从123n 、、中选出来8个不同的数，使得选出的数中任意三个数都不构成等差数列．如果小俊的想法能实现，那么n 的最小值是多少？ 请给出结论并说明理由.
【答案】 14
【解析】
任意三个数不构成等差数列，那么不能出现连续的三个数，则n 最小是11，如下： 1245781011、、、、 显然这个不符合要求比如出现1、4、7这一组三个数不符合要求，那么我们进行如下构造：1、2、4、5、10、11、13、14.。