第四章泊松过程2

令上式两边h→0,得迭代常微分方程
qk (t )+ qk (t )= qk -1 (t ),其中q1 (0)=0,q0 (t )=e- t
解上边的常微分方程得
(t )k -t qk (t )= e ,其中k =1,2, k!
例子1
对于参数为λ>0的泊松过程N={N(t)：t≥0},求在 {N(t)=1}的条件下，泊松过程N的第一个达到时间间 隔T1服从的概率分布
i - (t -s ) i! [ ( t s )] e k i -k = p (1-p) i! i =k k!(i -k )!
( p(t -s))k e- (t -s ) = k!
i -k 1 [ ( t s )] i -k (1p ) 1 i =k (i -k )!
( p(t -s))k e- (t -s ) = k!
n
n
n!
e ( t s )
n
e e
( 1)( t s )
[ ( 1)(t s)] n! n 0

( 1)( t s )
e
( 1)( t s )
1
例5：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t , 对于0 k n, 求P{N ( s) k N (t ) n}.
P(Y (t )-Y (s)=k )= P(Y (t )-Y (s)=k N (t )-N (s)=i)P(N (t )-N (s)=i)
iຫໍສະໝຸດ Baidu=0

= P(Y (t )-Y (s)=k N (t )-N (s)=i )P(N (t )-N (s)=i )
i =k

i - (t -s ) [ ( t s )] e = Cik p k (1-p)i -k i! i =k
稳独立增量性且满足定理4.2.2中的性质(1)(2)，那么 这个计算过程一定是个泊松过程 证明：我们只需要证明
k ( t ) c - t P(N (t )=k )= e k!
令
qk (t )=P(N c (t )=k )
先考虑函数 q0 (t +h) ，其中h>0充分小.
q0 (t +h)=P(N c (t +h)=0)=P(N c (t +h)-N c (t )=0,N c (t )=0)
例4（几何泊松过程）设N={N(t),t≥0}是参数λ>0 的泊松过程，假设常数σ>-1，定义随机过程：
Ntge exp[ N (t )ln( 1) t ] ( 1) N (t ) e t
ge N 其中t>0和 0 1. 那么对任意的0≤s<t<∞有
Ntge E[ ge ] 1 Ns
P N ( s) k , N (t ) n 解：P N ( s) k | N (t ) n P N (t ) n P N ( s) k , N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n P N ( s) k P N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n
q0 (t )=e
-t
下面考虑函数qk(t+h), 其中k=1,2,· · ·
) k== (( ) + q h t N P h ) + t( k
k
c
=P(N c (t +h)-N c (t )=0,N c (t )=k )+P(N c (t +h)-N c (t )=1,N c (t )=k -1) + P(N c (t +h)-N c (t )=j,N c (t )=k -j )
hn ( t h1 hn )
hn ) 0)

h1e
h1
h2e
h2
hn e e (t ) n e t / n!
n! n h1h2 hn t
例3：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t , 对于0 k n, 求P{N ( s) k N (t ) n}.
n n
P(
k 1
(uk Tk uk hk ) N (t ) n)
P( (uk Tk uk hk ), N (t ) n)
k 1
P( N (t ) n)

P( N (h1 ) 1, N (h2 ) 1,
, N (hn ) 1, N (t h1 h2 P( N (t ) n )
=P(N c (t +h)-N c (t )=0)P(N c (t )=0) =(1- h+ (h))q0 (t )
于是
q0 (t +h)-q0 (t ) (h) =- q0 (t )+ h h
令上式两边h→0,得
q0 (t )=- q0 (t ),其中q0 (0)=1
解上边的常微分方程得
{N2 (t ), t 0)}出现k个事件的概率为
p(
1 2 1 2
1
)(
2
) , k 0,1, 2
k
例9 设 {N1 (t ), t 0)}和 {N2 (t ), t 0)}是两个相互独立
的Poisson过程，它们在单位时间内发生事件 的平均数分别为λ1和λ２ .设 Sk(1) 代表第一过程 Sk(2) {N1 (t ), t 0)} 中出现第ｋ次事件所需的时间，
(1) P( N (t h) N (t ) 0) e-h =1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) he-h = h (h)
c c N { N 定理4.2.3 如果一个计数过程 t : t 0} 具有平
代表第二过程{N2 (t ), t 0)} 中出现第ｋ次事件 所需的时间．试求：
(1)第一过程中出现第一次事件先于第二过程 出现第一次事件的概率，即 P(S1(1) S1(2) ) (2) P(Sk(1) S1(2) )
e s
( s) k (t s ) [ (t s)]n k e k! (n k )! n ( t ) e t n!
n
s C t
k n
s 1 t
nk
例6：设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客 数N(t)是强度为λ 的泊松过程，每个来到商店 的顾客购买某货物的概率为p，不买东西离去 的概率是1-p,且每个顾客是否购买货物是相互 独立的，令Y(t)为[0,t]内购买货物的顾客数。 试证{Y(t),t≥0}是强度为λp的泊松过程.
P(T1 s, N (t ) 1) P(T1 s N (t ) 1) P( N (t ) 1)
P( N (s) 1, N (t ) N ( s) 0) se s e (t s ) s t P( N (t ) 1) te t
更一般有以下问题
§2. 泊松过程的0-1律
本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次 数等于或大于2的概率趋于0 定理4.2.2 对于参数为λ>0的泊松过程N(t)，它 满足如下的性质：对任意的时间指标t>0和充分 小的h>0, (1) P( N (t h) N (t ) 0) 1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) h (h) 其中 (h) 表示h的高阶无穷小.
P N ( s) k , N (t ) n 解：P N ( s) k | N (t ) n P N (t ) n P N ( s) k , N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n P N ( s) k P N (t ) N ( s ) n k P N (t ) n
j =2
=qk (t )q0 (h 1)+ 1- qk (t )q - (h)+ qk j (t )q j (h)
j =2
k
=qk (t )(1-h+ (h))+qk -1 (t )(h+ (h))+ (h)
整理上式得
qk (t +h)-qk (t ) (h) =- qk (t )+ qk -1 (t )+ h h
n! n ， 0 u1 u2 un t , un ) t 其它 0，
f (u1 , u2 ,
对n个到达时间T1 T2
Tn取充分小的h1 , h2 , un t时，有
, hn , n)
使得uk Tk uk hk , 且各小区间[uk , uk hk ](k 1, 2, 互不相交，则当0 u1 u2
证明
Ntge E[ ge ] E{exp[( N (t ) N ( s)) ln( 1) (t s)]} Ns
E{exp[( N (t ) N (s))ln( 1)}e (t s )
e
( t s )
( 1)
n 0

n
(t s)
m 1 [ ( t s )] m (1p ) 1 m =0 m!
( p(t -s)) k e- (t -s ) (1-p )(t -s ) = e k! ( p(t -s)) k e- p (t -s ) = k!
例7：某中子计数器对到达计数器的粒子只是 每隔一个记录一次，假设粒子按照比率4个每 分钟的泊松过程到达，令T是两个相继被记录 粒子之间的时间间隔（单位：分钟）试求：
设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如果 在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间
T1 T2
Tn 服从怎样的概率分布??
例2 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如 果在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时 间 T1 T2 Tn 的联合密度函数为
(1)T的概率密度函数.
(2)P(T≥1)
解题思路:
由poisson过程是平稳的独立增量过程.
可知相继被记录的时间间隔是独立同分 布的.
16te4t , t 0 1) fT (t ) ; 0, t 0 2) 5e 4
例8 设有两个相互独立的、强度分别为1 和 2 的 Poisson过程 {N1 (t ), t 0)} 和{N2 (t ), t 0)} ，试 证在过程 {N1 (t ), t 0)}中两个相邻事件间，过程