误差理论与测量平差基础1ppt课件
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测量误差与平差(1)
1. 有界性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
《误差理论与测量平差》课件66页PPT
limD(X)0 X为X~的严格一致性估计
n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
有效性：若 的无偏估计量不唯一，若D(ˆ1)D(ˆ2) 则 ˆ1 比 ˆ2 有效，若 D(ˆ) min 则ˆ 为 的最有效估计量—称 为最优无偏估计量 在测量平差中，参数的最佳估值要求是最优无偏 估计量 最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计， 因为他们的估计原则是使 的估计量V VTPVmin
情况、数字特征、误差的传播规律。用一个公式表示 即
（1） （2）
XK LK0
测量平差：就是按一定的平差原则处理一个几何—物
理关系模型中由于观测误差引起的不闭合问题，估计 关系模型中观测值和未知量的值，评价它们的精度
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则：
①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则——最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样
函数的估计。 子样样均的值一x阶 1n原in1点xi是矩母。体数学期望的最优无偏估计，它是子 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ为未知参数， 对χ 抽 得 到 的 子 样 为 （ x1，x2，…xn）， 则 χ 落 在 χi（1≤i≤n） 邻域dx上的概率为f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为
1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论
➢ 高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数 论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
误差理论与测量平差共206页
▪
误要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
206
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
误差理论与测量平差基础
0
令
N bb
BT
N
1 aa
B
误差理论与测量平差基础
则
xˆ
N
1 bb
(C
T
K
S
We )
(5)
将(5)式代入(1)式的第二式，得
CN bb1C T K S
CN
W 1
bb e
Wx
0
因为
Ncc
CN
C 1
bb
T
为满秩方阵，所以
KS
N
1 cc
(Wx
CN
W 1
bb e
)
将（6）式代入（5）式，得
（6）
xˆ
(
N
1 bb
N bb1C T
N
cc1CN
1 bb
)We
N bb1C T
N
W 1
cc x
（7）
按（7）式求出参数估值后，将（4）式代入（2）式，得
V
P
1
AT
N
1 aa
(W
Bxˆ)
误差理论与测量平差基础
三、精度评定
LL
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV cus
N
cc1CN
1 bb
B
T
N
1 aa
A
QLL
AT
N
cc1CN
1 bb
B
T
QKS Xˆ
N
cc1CN
1 bb
BT
N
1 aa
AQLL
《测量平差基础》课件
平差模型
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
《误差理论与测量平差基础教学课件》第十六讲共24页
PX
AT
A P
合二为一
( P X A T P ) 1 A P X 1 P X 1 A T ( P 1 A X 1 A T ) P 1 A X 1 P ( P X A T P ) 1 A P X 1 P X 1 A T ( P 1 A X 1 A T ) P 1 A X 1 P
补充：矩阵反演公式
（二）矩阵反演公式
( A 1 A 1 A 2 1 2 A 2 ) 2 1 1 A 1 1 A 1 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 A 1 1 1 ) 1 A 2 2 A 1 1 1
A 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 1 A 1 1 ) 1 2 ( A 1 A 1 1 A 2 1 2 A 2 2 ) 1 A 1 1 A 2 1 2 2
设 A 1 ， A 2 均 可 逆 ， 则 1 2
( A 1 A 1 A 2 1 2 A 2 ) 2 1 1 A 1 1 A 1 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 A 1 1 1 ) 1 A 2 2 A 1 1 1 1
A 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 1 A 1 1 ) 1 2 ( A 1 A 1 1 A 2 1 2 A 2 2 ) 1 A 1 1 A 2 1 2 2
A11，A22均为方阵。
若 A 1可 1逆 ， 则 A 1 A 1 11 A Z 1 1 1 A 1 1A 12 Z 2A 1 1 1 1 A 11 2A 11 11 A 1 Z 1A 1 1 1 1Z 21 1
其 中 Z 1A 2 2A 2A 1 1 1A 112
Q Xˆ以k 1 及当前观测值Lk和Pk，求解新的 和Xˆ k
第5章测量误差及测量平差ppt课件
四.测量误差处理
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
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0.5
DLL
1
4
dxC
cos(
)dS
S sin(
) d
S sin(
)d
dyC
sin(
)dS
S cos(
) d
S cos(
)d
180 * 60 * 60 206265
2 C
2 xC
2 yC
0.5 S 2
2
S2
2
42
0.92
side14
协方差传播应用步骤:
解： 1800 (L1 L2 L3 )
Lˆ1
L1
1 ,
3
Lˆ2
L2
1 ,
3
Lˆ3
L3
1
3
2
3
Lˆ
1 3
1 3
1 3 2 3
1 3
1 3
1 3 2 3
L
600 600 600
22 3
DLˆLˆ
FDLL F T
1 3
2
1 3
2
1 2 3 22 3
1 2 3
Z
f
(
X
0
1
,
X
0
2
,
X
0 n
)
(
f X1
)0
(
X1
X
0 1
)
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f X
2
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X
2
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0 2
)
(
f X
n
)0
(
X
n
X
0 n
)
(二次以上项）
Z
f
(
X
0
1
,
X
0
2
,
X
0 n
)
f
( X1
)0
X1
f ( X 2
)0
X2
( f X n
)0
Xn
n i 1
f ( X i
)0
X
0
i
side10
K
(k 1
,k 2
1 3
2
1 3
2
22 3
说明： 相关
相等
精度提高
side7
例4设：有函数，
Z
t ,1
F1
t,n
X
n,1
F2
t,r
Y
r ,1
已知
DXX
DYY
DXY
求 DZZ DZX DZY
解：
X
Z (F1
F2
)
Y
X (E
X
O) Y
例5：已知函数，
求 DXX
L, DLL , X AL, Y BX
,kn
)
（[
f X
1
）0（,
f X
2
）0 （
f X
n
)0 ]
k0
f
(
X
0
1
,
X
0
2
,
X
0 n
)
n i 1
(
f X
i
)0
X
0
i
Z
[k 1
,k 2
,kn ]
X
n,1
k0
KX
k0
DZZ KDXX KT
side11
4 0 0
例6：设有观测向量L，已知其协方差阵 DLL 0 2 0
试求下列函数的方差；
1
1 1.96
1 1
(0.96,
0.96)
1 1
1.92
所以，角X的中误差为
side5
x 1.4
2、多个观测值线性函数的协方差阵
已知：
X
n,1
[
X1,
X 2 ,...
Xn
]T
,
DXX ,
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10
Z2 k21X1 k22X2 k2n Xn k20
KDXX K T
side3
例求１设： L 的(方L差1,，L已2,。知L3)T
F 3L1 2L3 4
6 0 2
，
DLL
0
4
0
DFF
2 0 2
解： F (3, 0, 2)L 4
由协方差传播律可知：
2 F
DFF
(3, 0, 2)DLL (3, 0, 2)T
3
22,
0,
10
1
DF2＝DdF2
=（1，3L3，3L2）DLL
3L3
4
18L23
27 L22
3L2
例7：已知
2
1(2
),
2
4(2
),
2 s
0.5(cm2 )
s 600 .00m, 求 c ?
side13
略解： L （S,,）T
xC yC
xA yA
S cos( S sin(
) )
根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 对函数式进行线性化，求全微分 将微分关系写成矩阵形式 运用协方差传播律，写出观测量的协方差阵
side15
二、 协方差的应用
1、水准测量的精度
a2
b2
a1
b1
a
b aN
2(s)
A
1（ TP1
s)
TP2 …
N(s)
TPN-1
2 Skm
2 km
2 km
0 0 3
1, F1 L1 2L2 3L3 2, F2 L1 3L2 L3
解：１）
令L （L1,L2 ,L3）T ,则F1 (1, 2, 3)L
1
DF1＝（1，2，
3）DLL
2
39
3
2）将F2取全微分后得
side12
dF2 dL1 3L3dL2 3L2dL3
令dL （dL1,dL2 ,dL3）T ,则dF2 (1, 3L3 , 3L2 )dL
Zt kt1X1 kt2 X2 ktnXn kt0
Z
t ,1
K
t,n
X
n,1
K0
t ,1
DZZ KDXX KT
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
DZY KDXX F T (DYZ )T
side6
例3： 在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中
误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。
问题：观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间，存在着怎样的关系？
side1
一、协方差传播律
1、观测值线性函数的方差Fra bibliotek已知：
X
n,1
[
X1,
X
2
,...X
n
]T
,
DXX ,
Z
1,1
K
1,n
X
n,1
K0
那么： DZZ KDXX KT
证明：设：
X
n,1
[
X1,
X
2 ,...X
n
]T
,
E(
X
)
1, 2,...n
第一讲 协方差传播律及权
侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知， 坐标 方位角为 0 ，由交会的观测角 L1, L2 ，求交会点的坐标。
S AC
S0
SinL1 SinL2
AC 0 (1800 L1 L2 )
xC xA SAC cos AC
yC yA SAC sin AC
X
DXX E (X X )( X X )T
那么： DZZ E (Z Z )(Z Z )T
side2
DZZ E (Z Z )(Z Z )T E (KX KX )(KX K X )T E K ( X X )( X X )T K T KE ( X X )( X X )T K T
0
86
2
side4
差例2在：测站A，上求，角x的中误，差无B。误AC差，观测角 1 2 1.4
的中误差
12 1(秒2 )
，1协, 方2
解： x 1 2
(1,
1)
1 2
令
1
2
D
12 21
12
2 2
1.96
1
1
1.96
2 x
(1,
1)
1.96
DYY DXY DXL DYL
side8
3、非线性函数的情况
设有观测值X的非线性函数：
Z f (X ) f (X1, X2,Xn )
已知：
X
n,1
[
X1,
X
2
,...X
n
]T
,
DXX
求：DZZ
X 0 [ X 0, X 0,...X 0 ]T
n,1
1
2
n
side9
将Z按台劳级数在X0处展开：