第12讲 可测函数的性质与逼近定理
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m
m m 1
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
则 f ( x ) 在E上可测。 证明：由于 f m ( x ) 几乎处处收敛到 f ( x )，故 存在零测集 E 0 ，使得 f m ( x ) 在 E E0 上 处处收敛到 f ( x ) ,由引理1知 f ( x ) 是 E E0 上的可测函数，从而也是E上的可测函数。 证毕。 我们已经看到，任何非负可测函数都可以
m 1
m
故由 f m 的可测性立知f可测。而
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
l ( x ) inf f m ( x ) sup( f m ( x ))
m 1 m 1
所以 l ( x )也是上的可测函数，记
hk ( x ) sup f m ( x )
mk
l k ( x ) inf f m ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又 如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列 的极限是否是可测函数？到目前为止， 至少有三种意义下的极限概念，其一是 “一致收敛”、其二是“处处收敛” （即在给定的集上逐点收敛），其三是 “几乎处处收敛”（即在给定的集上， 除去一个零测
i 1
( x ) C i x E i , i 1,, m, E i E , ( x ) d j ,
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
x F j , j 1,, k , F j E ， 则
k j 1
且 ( x ) ( x ) ci d j x E i F j ， ( E i F j ) E 这说明 f ( x ) 是简单函数列 i, j {n n } n1 的极限。
f ( x ) f ( x ) f ( x ) | f ( x ) | f ( x ) f ( x) 从 及
很容易得到下面的 性质5 在E上可测当且仅当f ( x )， f ( x) 都
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
在E上可测。当 f ( x ) 在上可测时， | f ( x) | 也在E上可测。 ) 也许有人会问， f ( x的可测性与 的 | f (x )| 可测性是否等价？这很容易从下面的例 子中找到答案。 ] 例 设 E [0,1是不可测集，定义 [0,1]上函 数如下：
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题9：一般情况下，一个几乎处处收敛的 函数序列能否经适当的限制使其一致收 敛？ 问题10：如何表示函数序列不收敛的点集？ 问题11：能否利用问题10构造一个测度很 小的集合，使函数序列在其余集上一致 收敛？
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
函数逼近是分析及计算中十分重要的 问题，它的本质就是用“好”的或“简 单”的函数去逼近“坏”的或“复杂” 的函数，无论是用多项式逼近连续函数 的Weirstrass 定理，还有用三角级数逼 近可测函数的Fourier分析都可归类为逼 近问题。由于收敛概念有多种，所以函 数逼近相应的
E3 , a 0 E 3 { x | f ( x ) g ( x ) a} E { x | f ( x ) g ( x ) a}, a 0 3
是可测集,进而 f ( x ) g ( x ) 2 都可测,这说明
1 f ( x ) g ( x ) (( f ( x ) g ( x )) 2 ( f ( x ) g ( x )) 2 ) 4
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点 逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们 还要介绍另一种收敛概念：“依测度收 敛”，因此，又有“依测度逼近”的概 念。很自然地，有两个问题是必须考虑 的： 1、什么样的函数可以用“好”的函数按某 种收敛意义逼近？
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
由g ( x ) 可测性立得 E{ x | 1 / g ( x ) a} 可测， 即1 / g ( x )是E上的可测函数，证毕。 （ 3） 可测函数序列的上、下极限之可 测性 问 题 3 ： 假 设 h(x)=limfn(x), 如 何 用 形 如 E{x|fn(x)<α}、 E{x|fn(x)≥α}的集合表示 集合E{x|h(x)<α}?
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
性质3 若 f ( x ) ，g ( x )都是E上的可测函数则 f ( x ) g ( x )在E上乎处处有意义 时， f ( x ) g ( x )在E上可测。 (iii) 证明 (iii)。令
E1 E{ x | f ( x ) g ( x ) } E 2 E{ x | f ( x ) g ( x ) }
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
lim f m ( x ) f ( x ) ，则称在上几乎处处收 m 敛到f，记作 f ( x ) lim f m ( x )a.e.[E]
性质4 如果 { f m ( x )} 是E上的可测函数 序列，且几乎处处收敛到 f ( x ) ，即
f ( x ) lim f m ( x ) a.e. [E]
mk
则由（i）知 hk , l k都是上的可测函数，
且 f ( x ) lim f m ( x ) inf sup f m ( x )
m k 1 m k
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~
inf hk ( x )
k 1
f ( x ) lim f m ( x ) sup inf f m ( x )
显然E1,E2都是可测集。在E1，E2上都可 测。由性质2，只需证明 f ( x ) g ( x ) 在E1， f ( x) g( x) E2 上都可测。注意到在E3上， 都有意义，从而可测，于是由(i),(ii)知
E3{ x | f ( x ) g ( x ) 2 a}
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| f ( x ) | f ( x ) f ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题5：f(x) 的可测性 与f+(x)、f-(x)的可测 性是否等价？ 问题 6 ： |f(x)| 的可测性与 f+(x) 、 f-(x) 的可 测性是否等价？ 问题7：f(x) 的可测性与|f(x)|的可测性是 否相同？ f ( x) ，f ( x) 由引理1的（i），知 都是
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
非负可测函数，于是存在单调简单函数 { } , { } 列 n n1 n n1，使 n ( x ) f ( x ) （任意 x E ）， n ( x ) f ( x ) （任 意 x E ）所以 n ( x ) n ( x ) f ( x ) 。 不 难看到，两个简单函数的差仍是简单函 数，事实上，若 m
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一 般的可测函数情形如何呢？为此，我们 可以将上可测函数分成正部和负部如下：
f ( x ) max{ f ( x ),0} f ( x ) max{ f ( x ),0}
显然 f ( x ) f ( x ) f ( x )
2、几种收敛性关系如何？ 这正是本节要讨论析内容。关于第 二个问题，前面已作过初步讨论，显然 “一致收敛”强于“处处收敛”、“处 处收敛”强于“几乎处处收敛”。本节 则是要考察反方向的结论。几乎处处收 敛能否推出一致收敛？当然，一般情况 { f n ( x )} 下，这是做不到的。即使 是定义 于某个区
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1 x E f ( x) 1 x E
则 f ( x ) 是[0,1]上的不可测函数，但 | f ( x ) | 1 可测。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
一．Egoroff定理 （1）近一致收敛定义 （2）处处收敛与一致收敛的关系 问题8：区间上处处收敛的函数序列可否通 过挖去长度充分小的区间使其在剩下的 集合中一致收敛？
[ E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) }] [ E{ x | f ( x )} 0} E{ x | g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
目的：熟练掌握可测函数的性质，理解 Egoroff定理的科学意义，掌握其证明。 重点与难点：Egoroff定理的科学意义与证 明。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
基本内容： 一．可测函数的性质（续） （1） 可测函数乘积的性质 问题 1 ： 如何将集合 E{x|f(x)g(x)<α} 用形如 E{x|f(x)<α} 、 E{x|g(x)<α} 、 E{x|f(x)≥α} 、 E{x|g(x)≥α}的集合表示？
也是E3上的可测函数。
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（2 ）
可测函数商的可测性
问题2：可否直接应用乘积的可测性证明 商的可测性？
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
性质3 若 f ( x ) ，g ( x )都是E上的可测函数则 当 f ( x ) / g ( x ) 在E上几乎处处有意义时， f ( x ) / g ( x ) 在E上可测。 (iv) 1 证明（iv）。由（iii），仅需证明 g ( x ) 是可 测函数就可以了。
sup l k ( x )
k 1
~
m
k 1 m k
由此立得 f ( x )，f ( x )都可测。证毕。 f ( x) { f n ( x )}
E0 E
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（4） 几乎处处收敛与几乎处处相等 定义3 设{ f n ( x )} 是E上的函数列， f ( x) 是E上的函数，若存在 E0 E ，使 mE0 0 ， 且对任意 x E E0 ，有
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
对任意a R1 ，
E{ x | g ( x ) 0} E{ x | g ( x ) } a 0 1 1 E{ x | a} E{ x | g ( x ) } E{ x | g ( x ) 0} a 0 g( x) a E{ x | g ( x ) 1} E{ x | g ( x ) 0} a 0 a
m 1 m 1
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(ii) f ( x ) lim f m ( x ), f ( x ) lim f m ( x )
都是上的可测函数。 ~
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都是上的可测函数。 证明：对任意实数 a R1，显然有
E{ x | h( x ) a} E{ x | f m ( x ) a}
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则
E1 E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) } E{ x | f ( x ) } E{ x | g ( x ) 0} E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) } [ E{ x | f ( x ) 0} E{ x | g ( x ) } E 2 [ E{ x | f ( x ) } E{ x | g ( x ) 0}]
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集后逐点收敛）。显然，如果我们证明 了一个几乎处处收敛的可测函数序列的 极限是可测函数，则上述任何意义下的 极限函数都是可测的。为此，先证明一 个引理。 引理1 假设 { f m ( x )} m 1是上的可测函数序列， 则
(i) h( x ) sup f m ( x ), l ( x ) inf f m ( x )
m m 1
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则 f ( x ) 在E上可测。 证明：由于 f m ( x ) 几乎处处收敛到 f ( x )，故 存在零测集 E 0 ，使得 f m ( x ) 在 E E0 上 处处收敛到 f ( x ) ,由引理1知 f ( x ) 是 E E0 上的可测函数，从而也是E上的可测函数。 证毕。 我们已经看到，任何非负可测函数都可以
m 1
m
故由 f m 的可测性立知f可测。而
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l ( x ) inf f m ( x ) sup( f m ( x ))
m 1 m 1
所以 l ( x )也是上的可测函数，记
hk ( x ) sup f m ( x )
mk
l k ( x ) inf f m ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又 如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列 的极限是否是可测函数？到目前为止， 至少有三种意义下的极限概念，其一是 “一致收敛”、其二是“处处收敛” （即在给定的集上逐点收敛），其三是 “几乎处处收敛”（即在给定的集上， 除去一个零测
i 1
( x ) C i x E i , i 1,, m, E i E , ( x ) d j ,
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x F j , j 1,, k , F j E ， 则
k j 1
且 ( x ) ( x ) ci d j x E i F j ， ( E i F j ) E 这说明 f ( x ) 是简单函数列 i, j {n n } n1 的极限。
f ( x ) f ( x ) f ( x ) | f ( x ) | f ( x ) f ( x) 从 及
很容易得到下面的 性质5 在E上可测当且仅当f ( x )， f ( x) 都
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在E上可测。当 f ( x ) 在上可测时， | f ( x) | 也在E上可测。 ) 也许有人会问， f ( x的可测性与 的 | f (x )| 可测性是否等价？这很容易从下面的例 子中找到答案。 ] 例 设 E [0,1是不可测集，定义 [0,1]上函 数如下：
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题9：一般情况下，一个几乎处处收敛的 函数序列能否经适当的限制使其一致收 敛？ 问题10：如何表示函数序列不收敛的点集？ 问题11：能否利用问题10构造一个测度很 小的集合，使函数序列在其余集上一致 收敛？
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函数逼近是分析及计算中十分重要的 问题，它的本质就是用“好”的或“简 单”的函数去逼近“坏”的或“复杂” 的函数，无论是用多项式逼近连续函数 的Weirstrass 定理，还有用三角级数逼 近可测函数的Fourier分析都可归类为逼 近问题。由于收敛概念有多种，所以函 数逼近相应的
E3 , a 0 E 3 { x | f ( x ) g ( x ) a} E { x | f ( x ) g ( x ) a}, a 0 3
是可测集,进而 f ( x ) g ( x ) 2 都可测,这说明
1 f ( x ) g ( x ) (( f ( x ) g ( x )) 2 ( f ( x ) g ( x )) 2 ) 4
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点 逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们 还要介绍另一种收敛概念：“依测度收 敛”，因此，又有“依测度逼近”的概 念。很自然地，有两个问题是必须考虑 的： 1、什么样的函数可以用“好”的函数按某 种收敛意义逼近？
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由g ( x ) 可测性立得 E{ x | 1 / g ( x ) a} 可测， 即1 / g ( x )是E上的可测函数，证毕。 （ 3） 可测函数序列的上、下极限之可 测性 问 题 3 ： 假 设 h(x)=limfn(x), 如 何 用 形 如 E{x|fn(x)<α}、 E{x|fn(x)≥α}的集合表示 集合E{x|h(x)<α}?
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
性质3 若 f ( x ) ，g ( x )都是E上的可测函数则 f ( x ) g ( x )在E上乎处处有意义 时， f ( x ) g ( x )在E上可测。 (iii) 证明 (iii)。令
E1 E{ x | f ( x ) g ( x ) } E 2 E{ x | f ( x ) g ( x ) }
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
lim f m ( x ) f ( x ) ，则称在上几乎处处收 m 敛到f，记作 f ( x ) lim f m ( x )a.e.[E]
性质4 如果 { f m ( x )} 是E上的可测函数 序列，且几乎处处收敛到 f ( x ) ，即
f ( x ) lim f m ( x ) a.e. [E]
mk
则由（i）知 hk , l k都是上的可测函数，
且 f ( x ) lim f m ( x ) inf sup f m ( x )
m k 1 m k
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~
inf hk ( x )
k 1
f ( x ) lim f m ( x ) sup inf f m ( x )
显然E1,E2都是可测集。在E1，E2上都可 测。由性质2，只需证明 f ( x ) g ( x ) 在E1， f ( x) g( x) E2 上都可测。注意到在E3上， 都有意义，从而可测，于是由(i),(ii)知
E3{ x | f ( x ) g ( x ) 2 a}
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
| f ( x ) | f ( x ) f ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题5：f(x) 的可测性 与f+(x)、f-(x)的可测 性是否等价？ 问题 6 ： |f(x)| 的可测性与 f+(x) 、 f-(x) 的可 测性是否等价？ 问题7：f(x) 的可测性与|f(x)|的可测性是 否相同？ f ( x) ，f ( x) 由引理1的（i），知 都是
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非负可测函数，于是存在单调简单函数 { } , { } 列 n n1 n n1，使 n ( x ) f ( x ) （任意 x E ）， n ( x ) f ( x ) （任 意 x E ）所以 n ( x ) n ( x ) f ( x ) 。 不 难看到，两个简单函数的差仍是简单函 数，事实上，若 m
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一 般的可测函数情形如何呢？为此，我们 可以将上可测函数分成正部和负部如下：
f ( x ) max{ f ( x ),0} f ( x ) max{ f ( x ),0}
显然 f ( x ) f ( x ) f ( x )
2、几种收敛性关系如何？ 这正是本节要讨论析内容。关于第 二个问题，前面已作过初步讨论，显然 “一致收敛”强于“处处收敛”、“处 处收敛”强于“几乎处处收敛”。本节 则是要考察反方向的结论。几乎处处收 敛能否推出一致收敛？当然，一般情况 { f n ( x )} 下，这是做不到的。即使 是定义 于某个区
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
1 x E f ( x) 1 x E
则 f ( x ) 是[0,1]上的不可测函数，但 | f ( x ) | 1 可测。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
一．Egoroff定理 （1）近一致收敛定义 （2）处处收敛与一致收敛的关系 问题8：区间上处处收敛的函数序列可否通 过挖去长度充分小的区间使其在剩下的 集合中一致收敛？
[ E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) }] [ E{ x | f ( x )} 0} E{ x | g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
目的：熟练掌握可测函数的性质，理解 Egoroff定理的科学意义，掌握其证明。 重点与难点：Egoroff定理的科学意义与证 明。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
基本内容： 一．可测函数的性质（续） （1） 可测函数乘积的性质 问题 1 ： 如何将集合 E{x|f(x)g(x)<α} 用形如 E{x|f(x)<α} 、 E{x|g(x)<α} 、 E{x|f(x)≥α} 、 E{x|g(x)≥α}的集合表示？
也是E3上的可测函数。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
（2 ）
可测函数商的可测性
问题2：可否直接应用乘积的可测性证明 商的可测性？
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
性质3 若 f ( x ) ，g ( x )都是E上的可测函数则 当 f ( x ) / g ( x ) 在E上几乎处处有意义时， f ( x ) / g ( x ) 在E上可测。 (iv) 1 证明（iv）。由（iii），仅需证明 g ( x ) 是可 测函数就可以了。
sup l k ( x )
k 1
~
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k 1 m k
由此立得 f ( x )，f ( x )都可测。证毕。 f ( x) { f n ( x )}
E0 E
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
（4） 几乎处处收敛与几乎处处相等 定义3 设{ f n ( x )} 是E上的函数列， f ( x) 是E上的函数，若存在 E0 E ，使 mE0 0 ， 且对任意 x E E0 ，有
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
对任意a R1 ，
E{ x | g ( x ) 0} E{ x | g ( x ) } a 0 1 1 E{ x | a} E{ x | g ( x ) } E{ x | g ( x ) 0} a 0 g( x) a E{ x | g ( x ) 1} E{ x | g ( x ) 0} a 0 a
m 1 m 1
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
(ii) f ( x ) lim f m ( x ), f ( x ) lim f m ( x )
都是上的可测函数。 ~
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都是上的可测函数。 证明：对任意实数 a R1，显然有
E{ x | h( x ) a} E{ x | f m ( x ) a}
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
则
E1 E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) } E{ x | f ( x ) } E{ x | g ( x ) 0} E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) } [ E{ x | f ( x ) 0} E{ x | g ( x ) } E 2 [ E{ x | f ( x ) } E{ x | g ( x ) 0}]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
集后逐点收敛）。显然，如果我们证明 了一个几乎处处收敛的可测函数序列的 极限是可测函数，则上述任何意义下的 极限函数都是可测的。为此，先证明一 个引理。 引理1 假设 { f m ( x )} m 1是上的可测函数序列， 则
(i) h( x ) sup f m ( x ), l ( x ) inf f m ( x )