第四章泊松过程3
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2000 (2800) P{N (9) N (7) 2000} e2800 2000!
例：设某设备的使用年限为10年，在前5年内平均 2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求 在使用期限内只维修过1次的概率。 解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程 是非齐次泊松过程，强度函数为
i1
n
x1,N (t1 )=i1,N (t2 )=i2 , Yn x2 )
n =i1 +1 i2
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
1 0 1 0 n =i0 +1
i1 1 0 1 0 n n =i0 +1
n
x1 ,N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1 , Yn x2 )
二.非齐次泊松过程 定义 假设随机过程N={N(t)：t≥0}是一独立增量过 程.设λ(t)：[0,+∞)→(0,+∞)是一个取正值的确定性 (可测)函数，如果
(m(t ) m( s)) k ( m(t )m ( s ) P( N (t ) N ( s) k ) e , t s 0, k N k!
0i0 i1 i2
(N (t0 )=i0 ,N (t1 )=i1 ,N (t2 )=i2 ),
X (t1 )-X (t0 ) x1 ,X (t2 )-X (t1 ) x2 )
= =
=
0i0 i1 i2
P (N (t )=i ,N (t )=i , Y
0 0 1 1 n =i0 +1 i1
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数N(t)服从参数 为(t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
E[ N (9) N (7)] mX (9) mX (7) ( s)ds 1400ds 2800
7 7 9 9
12时至14时有2000人来站乘车的概率为
令h0，则有
P{ X (t ) X ( s ) n k} fTk | X (t ) ( s | n) fTk ( s ) P{ X (t ) n} e
mY (t ) pt , DY (t ) pt
P(Y (t ) 0) P( X n 0)
n 1 N (t )
P( N (t ) k ) P( X n 0 N (t ) k )
k 0 n 1 k
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N (t )
P( N (t ) k ) P( X n 0) e pt
1, 第n个质点被记录下来 解：设X n ，n=1,2, 0，第n个质点未被记录下来
则X1 , X 2 , X 3 , 相互独立同服从参数为p的0-1分布，
, 且Y (t ) X n ,
n 1 N (t )
2 EX n p, EX n p, n 1, 2,
从而{Y (t )，t 0}是一复合Poisson过程.
P{s Tk s h | X (t ) n} P{s Tk s h, X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Tk s h, X ( s h) k , X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Tk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Tk s h}P{ X (t ) X ( s h) n k } P{ X (t ) n}
若N1 (t )表示(0, t ]内Yn取1 的个数，N2 (t )表示(0, t ]内Yn取-1的个数,
N1 ( t ) N2 ( t )
则X (t ) N1 (t ) N 2 (t )
n 1
Yn是一复合Poisson过程.
例： 设[0,t]内进入某一计数器的质点数为 N(t)，{N(t),t≥0}是一强度为λ 的泊松过程， 再设到达计数器的每一个质点被记录下来的 概率为p,Y(t)是[0,t]内记录下来的质点数. 试证{Y(t),t≥0}是一复合泊松过程，并求其均 值函数和方差函数及 P(Y(t)=0)
i =1
k
)P (N (t )-N (s )=k )
k ( ( t s )) = f k (u) e- (t -s ) =e (t -s )(f (u )-1) k! k =0
例1：求复合泊松过程的相关函数
EX (s)X (t )=EX (s)(X (t )-X (s)+X (s)) =EX (s)(X (t )-X (s))+EX (s)X (s))
⑴ {X(t),t≥0}的一维特征函数为
(t; u) e
t ( f (u ) 1)
其中f(u)是Yn(n=1,2,…)的特征函数
⑵ 若 EY , 则mX (t ) tEYn , DX (t ) tEY
2 n 2 n
例：考虑复合泊松过程
Yt n
n 1
Xt
t0
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相 互独立的，求12时至14时有2000人来站 乘车的概率，并求这两小时内来站乘车 人数的数学期望。
P{s Tk s h | X (t ) n} h P{s Tk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} h P{ X (t ) n} P{Tk s h} P{Tk s} P{ X (t ) X ( s h) n k} h P{ X (t ) n} F ( s h) F ( s) P{ X (t ) X ( s h) n k} h P{ X (t ) n}
Y
i1
n
x1 )
0i1 i2
P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
=P(X (t1 )-X (t0 ) x1 )P(X (t2 )-X (t1 ) x2 )
平稳增量性
0 s <t ,X (t )-X (s) 的特征函数是t-s的函数.
1 ,0 t 5 (t ) 2.5 1 ,5 t 10 2
则
m(10) (t )dt
0
10
5
0
10 1 1 dt dt 4.5 0 2 2.5
P( N (10) N (0)) e4.5
4.5 9 9 e 2 1! 2
例： 两个独立泊松过程的和是非为泊松过 程？两个独立泊松过程的差是非为泊松过 程？是否是复合泊松过程？
解：设Y1 , Y2 , P(Yn 1) , Yn , 是相互独立的随机变量序列，且
1 2
1
, P(Yn 1)
1 2
2
, n 1, 2,
,且
{Yn , n 1, 2,3 }与{N1 (t ), t 0}和{N 2 (t ), t 0}相互独立，
例：考虑保险公司的全部赔偿.假设参加人寿保险者不 幸死亡的人数N(t)是具有强度为λ的泊松过程.用Yn描 述第n个死亡者（即保险值Yn是独立同分布的）.令X(t) 表示[0,t)内，保险公司必须付出的全部赔偿.令 Yn~E(a),试求[0,t)内保险公司的平均赔偿额，方差和 特征函数.
a f (u ) a ju
(u)=E[e ju (X (t )-X (s)) ]=E[E(e ju (X (t )-X (s)) N (t )-N (s)]
N (t )
= E (e
k =0
ju
l =N (s )+1
Yl
N (t )-N (s)=k )P(N (t )-N (s)=k )
= E (e
k =0
ju
Yi
PX (t h) X (t ) 2 o(h)
例设非齐次泊松过程N(t)的跳跃强度
(t )=0.5(1+ cos t )
求N(t)的均值和方差函数.
m(t )=D(t )=0.5(t +
1
sin t )
例 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时 有车发出，乘客流量为(t)(t=0为早晨 5时，t=16为晚上9时)
=EX (s)E (X (t )-X (s))+EX (s)X (s)) = sEY1 (t -s)EY1 + sEY12 +( sEY1 ) 2 = 2 st (EY1 ) 2 + sEY12
应用复合泊松过程的简单应用
例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天 内平均到达率为8的泊松过程.他们分别以概率 1/2,1/3,和1/6订阅1季度、2季度和3季度的杂志， 其选择是相互独立的.每次订阅1季度时，该负责人 可得1元手续费.令X(t)表示在[0,t)内此人所得的手 续费，试求E[X(t)],D[X(t)],以及相应的特征函数.
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
若将N(t)表示[0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随机点 所携带的某种(能)量,则总量为
X (t ) Yk
k 1
N (t )
即 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程
定理1 设 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.则
这里函数 m(t ) 0 ( )d , 则称N={N(t)：t≥0}是一个强度为λ(t)的非齐次泊松过 程. 研究非齐次泊松过程的数字特征，
t
☆可以证明 mX (t )=DX (t )=m(t )
• 称计数过程{N(t), t 0}为具有跳跃强度函 数(t)的非齐次泊松过程，如果满足 (1)N(0)=0; (2)N(t)是独立增量过程; (3) P X (t h) X (t ) 1 (t )h o(h)
假定λ = 5，ξ n 服从如下的分布密度 1 ,1000 x 2000 f ( x) 1000 其他 0, 求：（ 1）E (Yt ), D(Yt ), Y (u )
u e
a b jux
1 1 dx (e jbu e jua ) ba ju (b a)
k 0 n 1
例 设在[0, t]内事件A已经发生n次， 求第k次(k<n) 事件A发生的时间Tk的条 件概率密度函数. 解 先求条件分布 P {h Wk s h | X (t ) n} s s+h t 再对s求导。
0 Tk Tn
{s Tk s h} {Tk s h}\{Tk s} 当h充分小时，有X (s h) k
复合泊松过程
本节主要讲述复合泊松过程的有关性质及应用
非齐次泊松过程的定义及性质
本章复习及作业
§3 泊松过程推广
一.复合泊松过程的有关性质及应用
定义 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量,且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
定理2：设{X(t)，t≥0}是复合泊松过程，则{X(t)， t≥0}是平稳的独立增量过程. 证明分两步，一证其独立增量性，二证其平稳增 量性
证明：独立增量性
0 t0 <t1 <t2 ,x1,x2 R
P(X (t1 )-X (t0 ) x1 ,X (t2 )-X (t1 ) x2 ) =P(
n =i1 +1
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
n =i0 +1
x1 )P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
i2
= P (N (t1 )-N (t0 )=i1 -i0 ,
0i0 i1
例：设某设备的使用年限为10年，在前5年内平均 2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求 在使用期限内只维修过1次的概率。 解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程 是非齐次泊松过程，强度函数为
i1
n
x1,N (t1 )=i1,N (t2 )=i2 , Yn x2 )
n =i1 +1 i2
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
1 0 1 0 n =i0 +1
i1 1 0 1 0 n n =i0 +1
n
x1 ,N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1 , Yn x2 )
二.非齐次泊松过程 定义 假设随机过程N={N(t)：t≥0}是一独立增量过 程.设λ(t)：[0,+∞)→(0,+∞)是一个取正值的确定性 (可测)函数，如果
(m(t ) m( s)) k ( m(t )m ( s ) P( N (t ) N ( s) k ) e , t s 0, k N k!
0i0 i1 i2
(N (t0 )=i0 ,N (t1 )=i1 ,N (t2 )=i2 ),
X (t1 )-X (t0 ) x1 ,X (t2 )-X (t1 ) x2 )
= =
=
0i0 i1 i2
P (N (t )=i ,N (t )=i , Y
0 0 1 1 n =i0 +1 i1
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数N(t)服从参数 为(t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
E[ N (9) N (7)] mX (9) mX (7) ( s)ds 1400ds 2800
7 7 9 9
12时至14时有2000人来站乘车的概率为
令h0，则有
P{ X (t ) X ( s ) n k} fTk | X (t ) ( s | n) fTk ( s ) P{ X (t ) n} e
mY (t ) pt , DY (t ) pt
P(Y (t ) 0) P( X n 0)
n 1 N (t )
P( N (t ) k ) P( X n 0 N (t ) k )
k 0 n 1 k
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N (t )
P( N (t ) k ) P( X n 0) e pt
1, 第n个质点被记录下来 解：设X n ，n=1,2, 0，第n个质点未被记录下来
则X1 , X 2 , X 3 , 相互独立同服从参数为p的0-1分布，
, 且Y (t ) X n ,
n 1 N (t )
2 EX n p, EX n p, n 1, 2,
从而{Y (t )，t 0}是一复合Poisson过程.
P{s Tk s h | X (t ) n} P{s Tk s h, X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Tk s h, X ( s h) k , X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Tk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Tk s h}P{ X (t ) X ( s h) n k } P{ X (t ) n}
若N1 (t )表示(0, t ]内Yn取1 的个数，N2 (t )表示(0, t ]内Yn取-1的个数,
N1 ( t ) N2 ( t )
则X (t ) N1 (t ) N 2 (t )
n 1
Yn是一复合Poisson过程.
例： 设[0,t]内进入某一计数器的质点数为 N(t)，{N(t),t≥0}是一强度为λ 的泊松过程， 再设到达计数器的每一个质点被记录下来的 概率为p,Y(t)是[0,t]内记录下来的质点数. 试证{Y(t),t≥0}是一复合泊松过程，并求其均 值函数和方差函数及 P(Y(t)=0)
i =1
k
)P (N (t )-N (s )=k )
k ( ( t s )) = f k (u) e- (t -s ) =e (t -s )(f (u )-1) k! k =0
例1：求复合泊松过程的相关函数
EX (s)X (t )=EX (s)(X (t )-X (s)+X (s)) =EX (s)(X (t )-X (s))+EX (s)X (s))
⑴ {X(t),t≥0}的一维特征函数为
(t; u) e
t ( f (u ) 1)
其中f(u)是Yn(n=1,2,…)的特征函数
⑵ 若 EY , 则mX (t ) tEYn , DX (t ) tEY
2 n 2 n
例：考虑复合泊松过程
Yt n
n 1
Xt
t0
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相 互独立的，求12时至14时有2000人来站 乘车的概率，并求这两小时内来站乘车 人数的数学期望。
P{s Tk s h | X (t ) n} h P{s Tk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} h P{ X (t ) n} P{Tk s h} P{Tk s} P{ X (t ) X ( s h) n k} h P{ X (t ) n} F ( s h) F ( s) P{ X (t ) X ( s h) n k} h P{ X (t ) n}
Y
i1
n
x1 )
0i1 i2
P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
=P(X (t1 )-X (t0 ) x1 )P(X (t2 )-X (t1 ) x2 )
平稳增量性
0 s <t ,X (t )-X (s) 的特征函数是t-s的函数.
1 ,0 t 5 (t ) 2.5 1 ,5 t 10 2
则
m(10) (t )dt
0
10
5
0
10 1 1 dt dt 4.5 0 2 2.5
P( N (10) N (0)) e4.5
4.5 9 9 e 2 1! 2
例： 两个独立泊松过程的和是非为泊松过 程？两个独立泊松过程的差是非为泊松过 程？是否是复合泊松过程？
解：设Y1 , Y2 , P(Yn 1) , Yn , 是相互独立的随机变量序列，且
1 2
1
, P(Yn 1)
1 2
2
, n 1, 2,
,且
{Yn , n 1, 2,3 }与{N1 (t ), t 0}和{N 2 (t ), t 0}相互独立，
例：考虑保险公司的全部赔偿.假设参加人寿保险者不 幸死亡的人数N(t)是具有强度为λ的泊松过程.用Yn描 述第n个死亡者（即保险值Yn是独立同分布的）.令X(t) 表示[0,t)内，保险公司必须付出的全部赔偿.令 Yn~E(a),试求[0,t)内保险公司的平均赔偿额，方差和 特征函数.
a f (u ) a ju
(u)=E[e ju (X (t )-X (s)) ]=E[E(e ju (X (t )-X (s)) N (t )-N (s)]
N (t )
= E (e
k =0
ju
l =N (s )+1
Yl
N (t )-N (s)=k )P(N (t )-N (s)=k )
= E (e
k =0
ju
Yi
PX (t h) X (t ) 2 o(h)
例设非齐次泊松过程N(t)的跳跃强度
(t )=0.5(1+ cos t )
求N(t)的均值和方差函数.
m(t )=D(t )=0.5(t +
1
sin t )
例 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时 有车发出，乘客流量为(t)(t=0为早晨 5时，t=16为晚上9时)
=EX (s)E (X (t )-X (s))+EX (s)X (s)) = sEY1 (t -s)EY1 + sEY12 +( sEY1 ) 2 = 2 st (EY1 ) 2 + sEY12
应用复合泊松过程的简单应用
例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天 内平均到达率为8的泊松过程.他们分别以概率 1/2,1/3,和1/6订阅1季度、2季度和3季度的杂志， 其选择是相互独立的.每次订阅1季度时，该负责人 可得1元手续费.令X(t)表示在[0,t)内此人所得的手 续费，试求E[X(t)],D[X(t)],以及相应的特征函数.
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
若将N(t)表示[0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随机点 所携带的某种(能)量,则总量为
X (t ) Yk
k 1
N (t )
即 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程
定理1 设 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.则
这里函数 m(t ) 0 ( )d , 则称N={N(t)：t≥0}是一个强度为λ(t)的非齐次泊松过 程. 研究非齐次泊松过程的数字特征，
t
☆可以证明 mX (t )=DX (t )=m(t )
• 称计数过程{N(t), t 0}为具有跳跃强度函 数(t)的非齐次泊松过程，如果满足 (1)N(0)=0; (2)N(t)是独立增量过程; (3) P X (t h) X (t ) 1 (t )h o(h)
假定λ = 5，ξ n 服从如下的分布密度 1 ,1000 x 2000 f ( x) 1000 其他 0, 求：（ 1）E (Yt ), D(Yt ), Y (u )
u e
a b jux
1 1 dx (e jbu e jua ) ba ju (b a)
k 0 n 1
例 设在[0, t]内事件A已经发生n次， 求第k次(k<n) 事件A发生的时间Tk的条 件概率密度函数. 解 先求条件分布 P {h Wk s h | X (t ) n} s s+h t 再对s求导。
0 Tk Tn
{s Tk s h} {Tk s h}\{Tk s} 当h充分小时，有X (s h) k
复合泊松过程
本节主要讲述复合泊松过程的有关性质及应用
非齐次泊松过程的定义及性质
本章复习及作业
§3 泊松过程推广
一.复合泊松过程的有关性质及应用
定义 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量,且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
定理2：设{X(t)，t≥0}是复合泊松过程，则{X(t)， t≥0}是平稳的独立增量过程. 证明分两步，一证其独立增量性，二证其平稳增 量性
证明：独立增量性
0 t0 <t1 <t2 ,x1,x2 R
P(X (t1 )-X (t0 ) x1 ,X (t2 )-X (t1 ) x2 ) =P(
n =i1 +1
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
n =i0 +1
x1 )P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
i2
= P (N (t1 )-N (t0 )=i1 -i0 ,
0i0 i1