解析几何第二章

注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t→时的交点。
例6
化方程
y2(2a-x)=x3
例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 |OM|=R 解： x2+y2=R2 普通方程 例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。 y 解：方程可表为|MA|-|MB|=4 化为普通方程为 xy=2 (x+y2) xy=2 故曲线为 o
x
矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢 称为变向量，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的向量函数，记为r=r(t) (atb). 矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则向量函数可 表示为 r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb). （1）
x y z Ax By Cz D 0
2 2 2
2 2 2
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
A B C A2 B 2 C 2 4 D x y z 2 2 2 4
2 2 2 A B C 4 D 0 时, 当
y O x
CP ia cos( ) ja sin( ) 2 2 (a sin )i (a cos ) j
例4 已知大圆的半径为a，小圆的半径为b， 若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动， 动圆上某一定点P的轨迹。
a 4b,
参数方程为
x a cos 3 y a sin
其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。
向量式参数方程
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).
表示的径矢r(t) 若取(atb)的一切可能值，由（1） 的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某 一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1） 为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。 坐标式参数方程 曲线 的参数方程常可以写成下列形式：
是球面方程.
曲面的参数方程
双参数向量函数
在两个变数
u, v
的变动区域内定义的函数 r r ( u, v )
或 r (u, v ) x(u, v )e1 y(u, v )e2 z(u, v )e3
称为双参数向量函数， v ), y(u, v ), z(u, v ) 其中 x( u, 是变向量 r r ( u, v ) 的分量， 它们都是变数 u, v 的函数。
z M S o x y

曲面的向量式参数方程
定义：若取 u, v(a u b, c v d ) 的一切可能值， 由（2）表示的向径 r ( u, v ) 的终点 M 总在一个曲面上，
反之，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为 终点的向径，而这向径可由 u, v(a u b, c v d ) 的值通过（2）完全决定， 则称（2）式为曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数。
(a>0) 为参数方程。
解：设y=tx，代入可得参数方程
2at 2 x 2 1 t 3 2 at y 1 t2
( t )
注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如
x e t t lg t 2 y t sin t arcsin t
此即为中心在原点，半径为r的球面的 向量式参数方程。
所以
中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为
x r cos cos y r cos sin z r sin

2
( 5)
(4),(5)中的 , 为参数，其取值范围分别是



2
与
x x(t ) (a t b) y y(t ) 称为曲线的坐标式参数方程。
O
y
A
P(x(t),y(t))
r(t) r(b)
r(a)
B
x
例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 y 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点,经过一段时间的滚 动,圆与直线的切点移 P a C 到 A 点，圆心的位置移 θ a r x 到C点，这时有 O r=OP=OA+AC+CP 设θ=(CP,CA),于是向量CP对x轴所成的有向角为
曲面的坐标式参数方程 因为径矢 r ( u, v ) 的分量为 x(u, v ), y(u, v ), z(u, v )
所以曲面的参数方程也常写成
x x ( u, v ) y y ( u, v ) z z ( u, v )
( 3)
表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。
注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。
曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看
z F (x,y,z) = 0 S o x y
成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
z
M
Q
θ
R
P
y
QP ( r cos sin ) j OQ ( r cos cos )i

PM ( r sin )k

r OM OQ QP PM
z
M
Q
θ
R
P
y
x
r ( r cos cos )i ( r cos sin ) j ( r sin )k (4) 与 2 2
2
a
b
解得
在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取 2 2 2 b ( b a t ) 2a 2bt 从而 y 2 x 2 2 2 b a 2t 2 b a t
在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为
2a 2bu x 2 2 2 b a u ( u ) 2 2 2 y b(b a u ) 2 2 2 b a u
例1 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 解：设 M ( x , y , z )是球面上任一点，
M 在 xoy 坐标面上的射影为 P ， 而 P 在 x 轴上的射影为 Q ,又设在 坐标面上的有向角 ( i , OP ) , OP 与 OM 的交角 POM ， 则 x r OM OQ QP PM
z M S o
(2)
x
y
当 u, v 取遍变动区域的一切 值时，向径
OM r (u, v ) x( u, v )e1 y( u, v )e2 z( u, v )e3
的终点 M x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) 所画的轨迹一般为一张曲面。
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解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R 2
3
x y 例5 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。 2 1 2 a b
法一 法二
x a cos y b sin ( )
2 2
2
2
设y=tx+b,代入原方程得 x ( tx b) 1 2 2
2a bt x 0, x 2 b a 2t 2
此即为圆柱面的向量式参数方程。
P
r ( r cos )i ( r sin ) j uk (6)
其坐标式参数方程为
x R cos y R sin z u
z
r M
(7)
Q
x
o o
y
P
(6),(7)中的 u , 为参数，其取值范围分别是
解：如图,有 r OM OQ QP PM
例2 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。
z

OQ ( R cos )i QP ( R sin ) j PM uk
所以 （ 6）
r M Q
x o o y
r ( r cos )i ( r sin ) j uk (6)
由
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
得上、下半球面的方程分别是：
由上述方程可得球面的一般式方程为：
u 与
球坐标系与柱坐标系
M r OM
总可以看成在以 O为 球 心 ， 以 OM 为 半 径 的 球 上

空间中的任意一点,总可 以看成是球面上的一个 点,只是不同的点所在的 球面其半径不相同 将球面方程中的半径变为 一个变量,则半径的改变, 以及角度的改变就可以确 定空间中的任意一点
(i , CP ) ( ) 2
则
︵ 又因为 |OA|=AP=aθ， 所以 OA=aθi, AC=aj 从而点P的向量式参数方程为 r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜θ ＜+） x a( sin ) 其坐标式参数方程为 ( ) y a(1 cos ) 这种曲线称为旋轮线或摆线。
例2 求两坐标面 xoz和 yoz 所成二面角的平分 面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面 xoz和 yoz 有等距离 的点的轨迹，因此 M ( x , y , z )在平分面上的充要条件是
| y || x |,
即 x y 0 与 x y 0
例 3 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,


x 12 y 22 z 32

x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
解析几何
第二章 轨迹与方程
平面曲线的方程
曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
例 1 已知 A(1,2,3) ， B ( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.