抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明

抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明

关于抽象函数图像的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设()y f x =是定义在R 上的函数，则函数()y f a x =+与函数2()y c f b x =--的图像关于点,2b a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称。 证明：设点(,)A m n 是()y f a x =+图像上任一点，即()f a m n +=，点A 关于点,2b a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭

的对称点为(,2)A b a m c n '--- 2[()]2()2c f b b a m c f a m c n ----=-+=-

∴点A '在2()y c f b x =--的图像上。

反过来，同样可以证明，函数2()y c f b x =--图像上任一点关于点,2b a c -⎛⎫

⎪⎝⎭

的对称点在函数()y f a x =+图像上。 故函数()y f a x =+与函数2()y c f b x =--的图像关于点,2b a c -⎛⎫

⎪⎝⎭

对称。 说明：可以从图像变换的角度去理解此命题。 二、设()y f x =是定义在R 上的函数，若()2()f a x c f b x +=--，则函数()y f x =的图像关于点,2a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 证明：设点(,)A m n 是()y f x =图像上任一点，则()f m n =，点A 关于点,2a b c +⎛⎫

⎪⎝⎭的对称点为(,2)A a b m c n '+--。

()2[()]2()2f a b m c f b b m c f m c n +-=---=-=-

∴点A '在()y f x =的图像上，故()y f x =的图像关于点,2a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称。 说明：（1）当0a b c ===时，奇函数图像关于点(0,0)对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。

三、设()y f x =是定义在R 上的函数，则函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=对称。 证明：设点(,)A m n 是()y f a x =+图像上任一点，即()f a m n +=，点A 关于直线2

b a x -=的对称点为(,)A b a m n '--。 [()]()f b b a m f a m n ---=+=

∴点A '在()y f b x =-的图像上

反过来，同样可以证明，函数()y f b x =-图像上任一点关于2

b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+的图像上，故函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=对称。 说明：可以从图像变换的角度去理解此命题。 易知，函数2a b y f x +⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭与2a b y f x +⎛⎫=-+ ⎪⎝

⎭的图像关于直线0x =对称，由2a b y f x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像平移得到()22b a a b y f x f a x ⎡-+⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦的图像，由2a b y f x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像平移得到()22b a a b y f x f b x ⎡-+⎤⎛⎫=--+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

的图像，它们的平移方向和长度是相同的，故函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=对称。 四、设()y f x =是定义在R 上的函数，若()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图像关于直线2

a b x +=对称。 证明：设点(,)A m n 是()y f x =图像上任一点，即()f m n =，点A 关于直线2a b

x +=

的对称点为(,)A a b m n '+-。

()[()]()f a b m f b b m f m n +-=--==

∴点A '也在()y f x =的图像上，故()y f x =的图像关于直线2a b x +=对称。