专题38 图形折叠中的直角三角形问题(解析版)

M
C
图例 5-1
图例 5-2
图例 5-3
【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.
①当∠CM B′=90°时，如图例 5-2 所示.
3
由折叠知：∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90° 即∠BNM+∠MN B′=180°，所以 B、N、B′三点共线，此时 B′与点 A 重合.
2、如图例 4-1，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B
落在点 B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为
．
A
B 图例 4-1
B' D EC
A
D
B'
BE
C
图例 4-2
图例 4-3
【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即 点 B′及点 E 分别为直角顶点.分两种情况考虑：
综上所述，BD 的长为 2 或 1.
【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾 股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于 直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定 理或相似三角形、三角函数性质解题.
3、如图例 5-1，在 RtABC 中，A 90 ， AB AC ， BC 2 1 ，点 M ， N 分别是边 BC ， AB 上
的动点，沿 MN 所在的直线折叠 B ，使点 B 的对应点 B' 始终落在边 AC 上.若 MB'C 为直角三角形，则
BM 的长为
．
A(B') N
A B'
N
B
M
C
B
5
在 Rt△A’BC 中，由勾股定理得，A’B= 4 3 由折叠性质得：AB= A’B= 4 3 . 综上所述，AB 的长为 4 或 4 3 .
专题 38 图形折叠中的直角三角形问题
【精典讲解】
1、如图例 3-1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合）， 过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 边于点 E，将∠B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处，当△AEF 为直 角三角形时，BD 的长为
2 1
综上所述，BM 的值为
或 1.
2
【点睛】根据题意判断出 C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.
4、 如图例 6-1，在∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，△A’BC 与 △ABC 关于 BC 所在直线对称. D、E 分别为 AC、BC 的中点，连接 DE 并延长交 A’B 所在直线于点 F，连接 A’E. 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为 .
由折叠性质可得：∠B=∠DFE=30°， BD DF 1 BF 2 2
②当∠AFE=90°时，如图例 3-3 所示.
1
由折叠性质得：∠B=∠DFE=30°， BD DF 1 BF 2 2
∴∠AFC=60°，∠FAC=30°
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∴ CF tan FAC AC 3 3 1 3
所以，BF=2， BD DF 1 BF 1 2
所以， BM 1 BC 2 1
2
2
①当∠CB′M=90°时，如图例 5-3 所示.
由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC 是等腰直角三角形
设 BM= B′M=x，B′C=x，则 MC= 2 x
因为 BC= 2 +1
所以 x+ 2 x= 2 +1
解得：x=1，即 BM=1.
①当∠EAF=90°时，如图例 3-2 所示.
∵∠B=30°，BC=3
∴ AC tan30 BC 3 3= 3 ， AB 2AC=2 3 3
∵∠EAF=90° ∴∠AFC=60°，∠CAF=30°
在 Rt△ACF 中，有： AF AC cos CAF = 3 3 =2 ， BF 2 AF 4 2
图例 6-1
图例 6-2
图例 6-3
4
【解析】分两种情况讨论. ①当∠A’FE=90°时，如图例 6-2 所示. ∵D、E 分别为 AC、BC 的中点 ∴DE 是三角形 ABC 的中位线 即 DE∥BA ∴∠A’BA=90° ∴四边形 AB A’C 为矩形 由折叠得 AC=A’C ∴四边形 AB A’C 为正方形 即 AB=AC=4. ②当∠A’EF=90°时，如图例 6-3 所示. ∵∠A’EF=∠CDE=90° ∴A’E∥CD ∴∠DCE=∠CEA’ 由折叠知：∠DCE=∠A’CE ∴∠CEA’=∠A’CE ∴A’C=A’E=4 又∵E 是 BC 中点 即 A’E 是 Rt△A’BC 的中线 ∴BC=2A’E=8
①当∠CEB′=90°时，如图例 4-2 所示.
由折叠性质得：AB=AB′，四边形 ABE B′是矩形.
所以四边形 ABE B′是正方形.
此时，BE=AB=3.
2
②当∠CB′E=90°时，如图例 4-3 所示. 由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°. ∴点 A、B′、C 共线 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC=5 由折叠得：AB= AB′=3 所以 B′C=2 设 BE=x，则 B′E=x，EC=4－x 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：EC2=B′E2+B′C2 即：（4-x）2=x2+22 解得：x=1.5. 综上所述，BE 的值为 3 或 1.5. 【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠 的性质及勾股定理的应用.
B 图例 3-1
A E
D CF 图例 3-2
A
E BD
FC 图例 3-3
【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察 及分析可知∠BED=∠DEF=60°，所以∠AEF=180－120°=60°. 即点 E 不可能为直角顶点.
分两种情况考虑：