应用光学第二章例题

第二章 例 题
例题2.1 凸平透镜r 1=100mm ，r 2=∞，d=300mm ，n=1.5，当物体在-∞时候，
1）求高斯像面的位置；
2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位置；
3）当入射高度为h=10mm ，问光线的像方截距是多少？和高斯像面相比相差多少？说明什么问题？
解：
1）根据近轴光线光路计算公式可以求出高斯像面的位置。

将1111,' 1.5,1,100l n n r mm =-∞===代入单个折射球面成像公式'''n n n n l l r
--=，可以求得1'300l mm =。

又由题意d=300mm ，发现此时所成的像在凸平透镜的第二面上。

2）由光路可逆原理知道，若在平面上刻十字，其共轭像应在物方 -∞处。

3）当入射高度为h=10mm 时，光路如下图所示：
此时利用物在无限远时，L =−∞时， 公式sin sin 'sin '''sin ''(1)sin 'h I r n I I n U U I I I L r U ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=+-⎪⎪=+⎪⎩
中的第一和第四式求解得： ※ 光线经过第一面折射时，11110sin 0.1100h I r =
==，所以1 5.739o I =。

又11111sin 'sin 0.10.06667' 1.5
n I I n ==⨯=，所以1'arcsin 0.06667 3.822o I ==，1111''(0 5.739 3.822) 1.9172o o U U I I =+-=+-=，
1111sin '0.0667'11001299.374sin '0.0334547I L r mm U ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

※ 光线再经过第二个面折射，21'0.626L L d mm =-=-，21' 1.9172o I U -==，则2222sin 'sin 1.5sin1.91720.05018'o n I I n ==-=-，2' 2.87647o I =-。

2222'' 1.9172 1.9172 2.87647 2.87647o o o o U U I I =+-=-+=。

由三角关系知道：21tan '0.626tan1.91720.02095o x L U mm ==-=-，20.02095'0.4169tan 2.87647
o L mm =-=-。

即此时像与高斯像面的距离为-0.4169mm 。

说明：正透镜，负球差！
例题2 一个玻璃棒（n=1.5）长500mm ，两端为半球面，半径分别是50mm 和-100mm ，物体高1mm ，垂直于左端球面顶点之前200mm 处的轴线上，试求：
1）物体经过整个玻璃棒后成像的位置；
2）整个玻璃棒的垂轴放大率是多少？
解：由题目所给条件，解决这一问题可以采用近轴光学基本公式
''
'
''
'
n n n n
l l r
y nl
y n l
β
-
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪==
⎪⎩
，以及转面公式
2121
','
l l d y y
=-=。

1）首先计算物体经过第一球面所成像的位置和垂轴放大率，有：
1111
111
''
'
n n n n
l l r
-
-=，代入1111
1,' 1.5,200,50
n n n l mm r mm
====-=，求得像的位
置：
1
'300
l mm
=。

垂轴放大倍率：11
1
11
'1300
1
' 1.5(200)
n l
n l
β
⨯
===-
⨯-。

接着将第一球面所成的像作为第二球面的物，根据转面公式可求出第
二面的物距
21
'300500200
l l d mm
=-=-=-。

又已知
222
1.5,'1,100
n n n r mm
====-，代入2222
222
''
'
n n n n
l l r
-
-=，得2
'400
l mm
=-，即经过玻璃棒成像后，所成像位于第二球面前方400mm
处。

垂轴放大倍率：22
2
22
' 1.5(400)
3
'1(200)
n l
n l
β
⨯-
===
⨯-。

2）整个玻璃棒的垂轴放大率应为第一球面和第二球面放大率的乘
积：
12
(1)33
βββ
==-⨯=-。

注意：不可以拿整个系统的垂轴放大倍率来判断成像的虚实。

例题3 凹面反射镜半径为（-400）mm ，物体放在何处能成放大两倍的实像?放在何处能成放大两倍的虚像？ 解：已知近轴光基本公式''''''n n n n l l r y nl y n l β-⎧-=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
，又单个球面的反射情况可以看作'n n =-条件下的折射，代入以上条件后，原近轴光基本公式变为112'''''l l r y nl l y n l l β⎧+=⎪⎪⎨⎪===-⎪⎩。

此时，总结有物像关系如下： ※0,'0,'l l l l ββ<⎧⎨>⎩与异号，物像分列球面两侧，虚实相同
折射时：与同号，物像位于球面同侧，虚实相反；
0,'0,'l l l l ββ<⎧⎨>⎩
与同号，物像位于球面同侧，虚实相同反射时：与异号，物像分列球面两侧，虚实相反。

※ 理清上述关系以后：
1）实物成2倍放大实像。

有'2l l
β=-=-，即'2l l =。

所以有：
1123002400l mm l l +=⇒=-- 即将物体放在凹面镜的球面顶点左侧300mm 处，能在顶点左侧600mm 处成放大实像。

2）实物成放大2倍虚像。

有'2l l
β==-，即'2l l =-。

所以有：
1121002400l mm l l +=⇒=--- 即将物体放在球面顶点O 左侧100mm 处，此时像在顶点O 右侧200mm 处。