平面解析几何(解析版)

专题05 平面解析几何

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B

两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2

212

x y +=

B ．22

132x y += C ．22

143

x y +=

D ．22

154

x y += 【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233

n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．

在12AF F △中，由余弦定理得2

2

14422243n n n n +-⋅⋅⋅

=

，解得n =

2

2

2

24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．

法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122

2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n

⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,

，得

223611n n +=，解得2

n =

．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p

p

+

=的一个焦点，则p =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

【答案】D

【解析】因为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以2

3()2

p p p -=，解得8p =，故选D ．

【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以

OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为

A B

C ．2

D 【答案】A

【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，

又||PQ OF c ==Q ，||,2

c

PA PA ∴

=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =

，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭

，

又P 点在圆2

2

2

x y a +=上，222

44

c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．

e ∴=A ．

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．

4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：22

42

x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为

坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为

A ．

4

B ．

2

C ．

D ．【答案】A

【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=

Q ，

又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =

上，则2P P b y x a =⋅==

11

22PFO P S OF y ∴=

⋅==

△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素

养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．

5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22

22 1x y a b

+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则

A ．a 2=2b 2

B ．3a 2=4b 2

C ．a =2b

D ．3a =4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.

6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②

D ．①②③

【答案】C

【解析】由2

2

1x y x y +=+得，2

2

1y x y x -=-，2

222

||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪

⎝

⎭厔， 所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22

:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，