2-3 1.2排列组合

排列组合（1）
分类计数原理（加法原理）：做一件事，完成它可以有n 类办法，第一类办法中有m 1种不同的方法，第二办法中有m 2种不同的方法……，第n 办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m 3+…m n 种不同的方法. 分步计数原理（乘法原理）：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一 步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，.那么完成这件事共有N=m 1⨯m 2⨯m 3⨯…⨯m n 种不同的方法.
排列
1.定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．
排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．
此定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“有一定顺序”．当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同或元素部分相同或元素相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．另外，定义规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．
2．排列数即为不同排列的个数，就是所有排列的总数，用符号m n A 表示．公式的两种表示形式为：
①(1)(2)
(1)m n A n n n n m =---+；
②!()!m n n A n m =-． 3．全排列!12)2)(1(n n n n A n n =⋅--=
规定 0!=1
【同步习题】
1、8名学生站成两排，前排4人，后排4人，则不同站法种数为（ ）
A. 442A
B. 424()A
C. 88A
D. 8812
A 2、有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有（ ）
A. 88A
B. 48A
C. 4444A A
D. 44
2A 3、A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果A 必须站在B 的左边（A 、B 可以不相邻），则不同排法有（ ）
A. 24种
B. 60种
C. 90种
D. 120种
4、6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为（ ）
A. 66A
B. 333A
C. 3333A A
D. 4!3!⋅
5、某科研所从4种不同蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，共有不同种植方法_______种。

6、有4位男生、3位女生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）分成两排照相，前排3人，后排4人。

（2）七个人排成一列，四个男生必须排一起。

（3）七个人排成一列，且女生不能相邻。

7、用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数。

（1）这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？
（2）这些四位数中大于6500的有多少个？
8、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同送书方法？
（2）有5种不同的书，从中买3本送给3名同学，每人一本，共有不同送书方法多少种？
9、某信号兵用红、黄、绿三面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号。

10、用1，2，3，4，5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为___________.
11、（1）用1，2，3，4，5这5个数字，可组成不同的三位偶数_________个；
（2）用0，1，2，3，4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶数__________个。

12、星期一共排六节不同的课，若第一节排数学或第六节排体育，问有多少种不同的课程排法？
13、6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有（ ）种。

A. 720
B. 360
C. 240
D. 120
14、5名男生与2名女生排成一排照相，如果其中男生甲在正中间，两女生相邻的排法有_________种？
15、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？
16、4名男生和4名女生站成一排（1）男生不相邻的站法有多少种？（2）女生不相邻的站法有多少种？
（3）男、女生相间的站法有多少种？（可不必计算出数值）
17、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种。

A. 4545A A
B. 343345A A A
C. 145345A A A
D. 2452
45A A A 18、7名学生站成一排，求下列情形下各有多少不同排法：（1）甲不在排头；（2）甲不在排头，乙不在排尾；
（3）甲、乙不相邻且不在两头；（4）甲、乙之间隔一人。

19、三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为____________.
20、用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个比1325大的四位数？
21、8个人排成一队，A,B,C 三人互不相邻，D,E 两人也互不相邻的排法共有多少种？
22、3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种（ ）
A. 144
B. 90
C. 260
D. 120
23、六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为（ ）
A. 44A
B. 36A
C. 46A
D. 33A
24、用数字1，2，3，4，5这五个数字可以组成比20000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数（ ）
A. 96个
B. 78个
C. 72个
D. 64个
25、6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）
A. 720
B. 360
C. 240
D. 120
26、5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A. 18
B. 36
C. 48
D. 60
27、A,B,C,D,E 五人站成一排，如果A,B 必须相邻，且B 在A 的右边，那么不同排法的种数有（ ）
A. 60
B. 48
C. 36
D. 24
28、用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A. 36
B. 30
C. 40
D. 60
29、上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（ ）
A. 24
B. 22
C. 20
D. 12
30、用0，1，2，，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有______个。

31、6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能站在一起的排法种数为（ ）
A. 720
B. 144
C. 576
D. 684
32、由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）
A. 56个
B. 57个
C. 58个
D. 60个
33、用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有（ ）
A. 300个
B. 464个
C. 600个
D. 720个
34、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）
A. 108种
B. 186种
C. 216种
D. 270种
35、在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有___________个。

36、7个人排一排，甲不在排头、乙不在排尾、丙不在正中间的排法有__________种？ 37、6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定。

排列与组合（2）
1．定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 组合与排列的区别在于：虽然都是从n 个不同的元素中取出m 个不同元素，但是排列是要考虑“一定顺序排成一列”，而组合是“合成一组”即元素之间无前后顺序可言．因此两个组合只要它们的元素相同就是同一个组合，而不必考虑元素之间的顺序．
2．组合数即是符合条件的所有组合的个数，用符号m n C 表示．组合数公式有两种表示形式：
①(1)(2)(1)!m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+==； ②!!()!m n n C m n m =-． 3.组合数的性质：
①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11k k n n kC nC --=；④01n C =．
【同步习题】
1、包括A,B,C,三人在内的七个人站成一排，其中A,B,C 顺序一定（从左到右依次为A,B,C ）的排法有_________种。

2、一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：
（1）这位教练从这17名队员中可以形成多少种上场学员方案？？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么有多少种不同方案？
3、计算232889C C C ++=（ ）
A. 120
B. 240
C. 60
D. 480
4、有两条平行直线,a b ，直线a 上有4个点，直线b 上有5个点，现在要以这些点为顶点作三角形，这样的三角形一共有（ ）
A. 70个
B. 80个
C. 82个
D. 84个
5、已知7234610x x x C A ---=，则x 的值为（ ）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
6、身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是（ ）
A. 5040
B. 36
C. 18
D. 20
7、以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A. 6个
B. 12个
C. 18个
D. 30个
8、平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆（ ）A. 220个 B. 210个 C. 200个 D. 1320个
9、已知集合{1,2,3,4,5,6},{1,2}A B ==，若集合M 满足B M A ⊂⊂≠≠，则不同集合M 的个数为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
10、平面内有12个点，任意三点不共线，以这些点为顶点的三角形共有________个。

11、现有1分、2分、5分硬币各一枚，能组成不同币值_________种。

12、判断下列语句是排列问题还是组合问题。

（1）从A,B,C,D 四个风景点选出两个进行游览；（2）从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两人担任班长和团支部书记____________.
13、从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段为边可构成钝角三角形的概率为____________.
15、将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（ ）
A. 252种
B. 112种
C. 20种
D. 56种
16、6人站成一排，若调换其中的三个人的位置，有多少种不同的换法（ ）
A. 40
B. 60
C. 120
D. 240
17、从15个人中选出一男一女，选法有56种，则其中男人的个数是_________.
18、从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213
B A =，则这组学生共有__________人。

19、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗，2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是_______________.
20、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法共有（ ）种。

A. 140 B. 80 C. 70 D. 35
21、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有__________种。

22、某班共有50名学生，从中选3人参加书法比赛。

（1）班长必须参加的选法有多少种？（2）班长不能参加的选法有多少种？（3）正副班长只能一个人参加的选法有多少种？（4）正副班长都参加的选法有多少种？
23、高一、高二、高三三个年级共30个班，每个年级10个班，每班一个球队。

现举行篮球比赛。

首先每个年级中各队进行单循环比赛，然后将各年级的前3名集中起来进行第二轮比赛，在第二轮比赛中，除了在第一轮中已经赛过的两队外，每队要和其他队赛一场，那么先后比赛多少场？
24、某毛巾厂生产的毛巾，每100条毛巾中有次品5条，在抽样检查时，抽3条进行检验。

（1）共有多少种抽法？（2）恰有一条次品的抽法有多少种？（3）至少有一条次品的抽法有多少种？
（4）最多有一条次品的抽法有多少种？
25、从8名男医生、7名女医生中选出5名医生组成一个医疗队，其中至少有2名男医生和2名女医生的选法共有（ ）
A. 3003 种
B. 2156种
C. 6468种
D. 1178种
26、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A. 210个
B. 300个
C. 464个
D. 600个
27、在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）
A. 12694C C
B. 12699C C
C. 3310094C C -
D. 33
10094A A - 28、从编号为1，2，3，4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有（ ）
A. 24种
B. 18种
C. 12种
D. 96种
30、一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有_______种。

31、50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有_________种。

32、3名飞行员和6名空中小姐分别上3架不同型号的直升飞机，每机1名飞行员和2名空中小姐，则上机的方法共有___________种。

33、从8台甲型和6台乙型电脑中，任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电脑各一台，则不同的选法有____种。

34、一个小组有10名同学，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有1名女生的选法有多少种？
35、有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？
（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人的3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本。

36、把0，1，2，3，4，5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百万上排成三位数，这样的三位数有（）
A. 40
B. 120
C. 360
D. 720
37、从1，2，3，…，9这九个数字中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）
A. 5
9
B.
4
9
C.
11
21
D.
10
21
38、有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞。

现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法_________种。

39、10个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个不同的盒子，要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数，共有多少种放法？
40、用五种不同的颜色将图中A,B,C,D,E五个平面区域染色，要求每个区域只染一
种颜色，且相邻的区域不能染相同的颜色，求不同的染色方法数。

41、兵乓球队的10名队员中有3名主力队员，现派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名选手只能排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？
排列与组合（3）
1、有6本不同的书。

（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法.
2、将含甲、乙在内的9人平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）
A. 70
B. 140
C. 280
D. 840
3、一条街道上共有10盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上10点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种？
4、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）
A. 300种
B. 240种
C. 144种
D. 96种
5、某车间有11个工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2位老师傅既能当钳工又能当车工。

现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？
6、A,B,C三台不同型号的数控车床和甲、乙、丙、丁四名操作员。

其中甲、乙会操作这三种车床，丙不能操作车床C，丁只会操作车床A，今从四人选三个人分别去操作以上车床，不同的选派方案共有________种。

7、某池塘内有A,B,C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人。

今有3个成人和2个儿童分别乘这些船只，若每船必须坐人，且为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘坐，则他们分乘这些船只的方法有______种。

8、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各只需一人承担。

若从10个人中选出4人承担这三项任务，则不同的选法有（）
A. 1260人
B. 2025人
C. 2520人
D. 5040人
9、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）
A. 36种
B. 33种
C. 30种
D. 39种
10、某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是________种。

11、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
12、有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。

（1）共有多少种方法？（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内放两个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
14、在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋。

现在从这7人中各选1人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
15、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法有（ ）
A. 50种
B. 100种
C. 1275种
D. 2500种
16、从男生7人和女生5人中选出4人进行兵乓球混双比赛，则不同的种数为（ ）
A. 420
B. 210
C. 840
D. 105
17、在五张卡片上分别写有2，3，4，5，6这5个数字，其中6可以当9使用，从中任取3张，组成三位数，这样的三位数个数为（ ）
A. 60
B. 70
C. 96
D. 136
18、4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空，则不同放法种数为（ ）
A. 1334A A
B. 2343C A
C. 3242C A
D. 1344C C
19、某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 2264A C
B. 226412
A C C. 2264A A D. 262A 20、七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法数为__________。

21、一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰好有五个连续空位的坐法种数为_________.
22、有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有_________种不同的分配方案。

23、6名儿童，其中3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2名会唱歌1名会跳舞的儿童去参加文艺演出，问有多少种不同选法？
24、空间有10个点，其中5点在同一直线上，其余再无三点共线，也无四点共面，以这些点为顶点可构成多少个不同的三棱锥。

25、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的小方格内，每格内，每格涂一种颜色，相邻两格不同色，如果颜色可以重复使用，共有多少种不同的涂色法？
26、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或两头位置；（2）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
（3）全体排成一行，男、女各自相邻；（4）全体排成一行，男、女各不相邻；
（5）全体排成一行，其中甲、乙、丙三位同学按自左至右的顺序保持不变。