第六章 捷联惯导1

，沿瞬时轴方向的单位矢量为
n
那么我们便将矢量 n 称为等效描述刚体转动的旋转矢量，简称为旋转矢量。
(a)旋转矢量与四元数
sin 1 cos 2 b rn I r 2
上式表明当我们知道描述两坐标系间的旋转矢量时，我们便可以进行矢量在两坐标系 间的坐标变换，所以在导航系统中，我们能用旋转矢量来形成更新载体姿态矩阵的新算法， 这种新算法比传统的四元数法或方向余弦法的精度高，计算量小，其性能十分优越。 （b）旋转矢量与方向余弦矩阵
记
T11 b Cn T21 T31
T12 T22 T32
T13 T23 T33
sin 1 (T23 ) tan 1 (
T13 ) T33 T21 ) T22
ab tan 1 ( ab
值得注意的是横滚角 和偏航角 ab 分别是定义在 [180 ，180 ] 和 [0 ，360 ] 之间,所 以他们都存在多值问题 ,平台航向角 ab 的真值可根据表6-1的符号来确定，计算 机程序框图如图6-1-5。
设动坐标系在起始时刻t0与参考坐标系重合，记为 OX0 Y0 Z0 ,在时刻t历经具体转动而到达
OXt Yt Z t 位置。由理论力学可知，不管具体转动如何，我们都可以等效的认为动 坐标系
在起始位置 OX0 Y0 Z0 依次三个轴转动三次而到达OXt Yt Zt 的位置，并称对应三次转动 的角度为一组欧拉角。但事实上，我们也可以等效的认为通过绕某一瞬时轴转过一定的角 度依次到达t时刻位置 OXt Yt Z t。如果记转过的角度为
T22 No
Yes
ab主 tan 1
T22 0
T21 T22
T21 0 Yes
No
No
Yes
T21 0
No
Yes
ab ab主
ab ab主 2
ab ab主
ab
3 2
ab

2
ab
图6-1-5 ab计算框图
第六章 捷联惯导
6-1捷联惯导的原理
捷联惯导系统概述
•捷联惯性技术的发展过程
•捷联惯导系统与平台惯导系统的对比
捷联惯导系统的基本力学编排方程
•捷联惯导系统的算法概述 •捷联惯导系统原理框图的说明 •姿态方程的解算 （1）姿态和航向角的计算 （2）姿态矩阵的微分方程 （3）四元数的运动学微分方程 （4）等效旋转矢量法及其微分方程 （5）位移角速率方程 （6）速度方程
则 且有：
e
q(t ) e
1 2
1 2
q(t0 )
1 n ( ) n! 2
I
2
1 ( )2 1 ( )3
2 2! 2 3! 2
又由于:
2 2 2 2 I I x y z 0 3 02 4 (02 )2 I
q
1 b q nb 2
•
（1）姿态和航向角的计算
zb y yt ( N ) yb


za

ab ab
xt
O

O
yb

ab
ya
ab
xa

xb
图6-1-3 游动方位系统平台航向角 ab 、 之间的关系 与
图6-1-4 游动方位系统导航坐标 系 n 与 b 系之间关系
其中 代入整理后可得
2 0 x2 y z2
e
1 2
1 1 1 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) 4 ( 0 ) 6 I 4! 2 6! 2 2! 2 0 1 ( 0 )3 1 ( 0 )5 0 3! 2 5! 2 2 sin 0 cos 0 I 2 0 2
•导航位置方程 （1）游动方位系与地球系之间的方向余弦矩阵 （2）载体位置计算 （3）方向余弦矩阵计算 •垂直通道阻尼
捷联惯性器件的余度技术
•单自由度陀螺仪的配置方案 （1）四陀螺仪配置方案 （2）六陀螺仪系统 •二自由度陀螺仪的配置方案
捷联惯导的数值计算方法
•数值积分法 （1）欧拉法 （2）四阶龙格－库塔法 •角速率信息的提取
即
0 sin 0 q(t ) q(t ) cos I 0 2 2 0
传统的姿态更新算法有欧拉角法、方向余弦法和四元数法。其中四元数法算法简单，计 算量小，因而在工程实际中经常采用。但在四元数法中不可避免地引入了不可交换误差， 特别是在载体处在高动态环境时，这种误差就会很大，必须采取有效措施加以克服。 七、八十年代，JOHN E.BORTZ、MILLER等人对旋转矢量进行了研究，并指出了旋 转矢量在捷联惯性导航中的应用，为设计高精度的捷联惯性导航系统提供了理论基础和思 路 下面我们分别从这几个方面来研究等效旋转矢量算法: a. 旋转矢量的概念 b. 旋转矢量及其与四元数、方向余弦、欧拉角的关系 c. 等效旋转矢量微分方程 d. 姿态算法的比较


q(t ) e
令
1 2
t1 bdt
t2
q(t0 )
0 x y z 0 t x z y t0 bdt 0 y z x 0 y x z
T22
0
0
T21
ab真
2 3 2
ab主
象限





(0 ,90 )
(0 , 90 )
(90 ,180 )

ab主 2


ab主
ab主
(180 , 270 )
b b Cn 元素是时间的函数。为求 Cn (t ) 需要解方向余弦矩阵微分方程：
b b Cn b nbCn
b b b b T b 式中， nb 为角速度 nb [nbx , nby , nbz ] 组成的反对称矩阵。
b 它们都对应九个一阶微分方程。通过求解，可得 Cn (t )
从第一章可知，四元数微分方程的表达式为 q
1 b q nb ,式中的 b 2
迭代次数 YES 导航计算 控制信息计算 结束
NO
(5)导航和控制信息的提取
图6-1-1 捷联式惯导系统流程图
加速度 计组件
b aib
误 差 补
C
n b
n aib百度文库
消除有害 加速度及 速度积分
V ep
n
位移 角速率 积分
en
n
位移角 C ij 位置 速率微 计算 分方程 姿态 计算
L, ,
是载体坐标系相对地理坐标系的旋转角速度的斜对称矩阵，其表达式为
2 P 1 X P 2Y P 3 Z 2P 1 X P 2 Z P 3Y 2 P2 Y P3 X P 1 Z 2 P3 Z P 1Y P 2 X
解微分方程，则
所谓“捷联惯导算法”是指从惯性仪表 的输出到给出需要的导航和控制信息所必须 进行的全部计算问题的计算方法。计算的内 容和要求，根据捷联式惯导的应用或功能要 求的不同有很大差别。 一般说来，有下面几个方面的基本内容。
启动
自检测
初始化
姿态矩 阵计算
(1)系统的初始化
最重要的一部分
(2)惯性仪表的误差补偿 (3)姿态矩阵的计算 (4)导航计算
载体的姿态可用航向角、俯仰角和横滚角表示。 假定开始时, oxb yb zb载体坐标轴与oxa ya za 导航坐标系完全重合。进行图6-1-4所示的三 次旋转可以到达 oxb yb zb 的位置。三次旋转方向余弦矩阵由下式得到
cos cos ab sin sin sin ab cos sin ab sin sin cos ab sin cos Cnb cos sin cos cos sin ab ab sin cos ab cos sin sin ab sin sin ab cos sin cos ab cos cos
“捷联（Strapdown）”这一术语的英文原义就是“捆绑”的意思。 因此，所谓捷联惯性系统也就是将惯性敏感元件（陀螺与加速度计）直 接“捆绑”在载体上，从而完成制导和导航任务的系统。
“阿波罗-13”宇宙飞船 V-2导弹
“海盗”火星降落器
从捷联技术的发展过程中我们已经看到捷联系统的优越性已越来越突出的显 示出来，并在许多方面已日渐代替平台系统。为什么会出现这种情况呢？为了回 答这一问题，这里从生产与使用的角度将捷联系统与平台系统做一对比。 （1）硬件和软件的复杂程度 由于捷联系统没有平台框架及相连的伺服装置，因而简化了硬件；代价是增 加了计算机的负担，需要一个比较复杂的实时程序。 （2）可靠性 捷联系统的可靠性要比平台系统高，其原因是它的机械构件少，加之容易采 用多敏感元件配置，实现余度技术。 （3）成本与可维护性 由于平台系统在机械结构上要复杂得多，而对于捷联系统只是算法复杂些， 因而从制造成本上看捷联系统的成本要比平台系统低。从市场供应的情况来看， 数字计算机的价格一直在下降，而平台系统的价格一直在上升。 此外，捷联系统比平台系统具有较长的平均故障间隔时间，加之模块设计简 化了维修，从而捷联系统的可维护性比平台系统大为提高了。
（4）初始对准精度与系统精度 决定系统精度的重要因素之一是惯导系统的初始基准建立的准确性。平台系 统的陀螺安装在台体上以后还可以相对重力加速度和地球自转轴方向任意定位， 还可以根据需要标定惯性敏感元件的误差；而捷联系统的敏感元件在载体上安装 以后就不能再标定，因此要求捷联敏感元件有较高的参数稳定性。 在系统的精度方面，由于捷联系统是靠计算机来实现“平台”作用的，所以 其算法误差比平台系统要大些。一般要求软件误差不应超过系统误差的10%。此 外，由于捷联敏感元件工作在较恶劣的动态环境（如高角速率等）中，捷联系统 往往存在着不可忽视的动态误差。 （5）参与系统综合的能力 捷联系统可以提供载体所要求的全部惯性基准信号，特别是可以直接给出载 体的角速率，而平台系统则无法直接给出。至于载体的姿态捷联系统可以很高的 速率和精度以数字形式提供，而平台系统则是通过框架间安装的同步器获得的， 而且还需要把它们分解到机体轴上。同样，加速度信息也要分解到机体轴上。这 样就会带来传递误差。因而，从姿态和加速度信息的精度和完整性上来看，捷联 系统要比平台系统优越。 捷联系统还可以采用共同的惯性元件来执行多项任务，即具有较强的参与系 统综合的能力。 综上所述可以看出，捷联系统与平台系统相比，就可靠性、体积、重量和成 本而言，前者优于后者；就精度而言，后者优于前者，由于飞船、战术导弹及飞 机的惯导系统具有中等精度与低成本的要求，所以采用捷联方案是十分适宜的。
, ,
姿态速率 微分方程
陀螺仪 组件 载体
偿
+
-

b ib

b in
C
b n
+
地球角速 ie + n 率计算 ie
e
计算机
图6-1-2 捷联式惯导系统原理
由于载体的姿态是不断改变的，因此，姿态矩阵Cbn 的元素是时间的函数。为随时定出载体 的姿态，当用四元数方法确定姿态矩阵时，应解一个四元数的运动学方程（若用方向余弦 方法时，要解一个方向余弦矩阵微分方程）即
n 若记将矢量在动坐标系上的坐标值变换到参考坐标系的姿态转换矩阵为Cb ，那么：
r C r
n n b
b
由于r为动坐标系上的任意矢量，所以比较可得：
sin 1 cos 2 C I 2
n b
因为 1 2 3 那么将式代入上式并整理得：