空间向量的坐标运算PPT课件

3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在平面
内，则有 n m 0
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垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则r r r r
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
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uuur
uuur
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
则O（0，0，0）；A（2，0，0）； B（1，1，0）；
S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）； O
y
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
C
A
B
(1).cos SA,OB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
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例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
解:∵ Au(u1ur,2,3) 、B(2,0u,u-ur1) 、C(3,-2,0)
∴
AB (1,2,4), AC (2,4,3)
r
设平面 的法向量是 n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
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在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
B(3cosα，3sinα，1)，则| |的取值范围是 ( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]
解析：∵ ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| |∈[1,5].
答案：B
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r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
பைடு நூலகம்
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
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问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r n (4, 3, 6)
r
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
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1．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
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2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ，
|AB|＝
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3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
直线l
与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
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例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
B1C1 (0,1,0),
2
2
求平面ABC的单位法向量为 (1，- 2，2） 3 33
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六、夹角：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
rr
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
), cos
ab rr
；
2
ab r r
B1
C1
AB1 (1,0,1), AC (1,1,0)
A
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
则n AB1 0, n AC 0
X1+z1=0
x
所以 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1
B C
故n=(1,-1,-1)
cos n, B1C1
n B1C1 n B1C1
010 1 3
3 3
故所20求20/4直/2 线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为
3 3
D1 D
y
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如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z
单位法向量。
r 解：设平面的法向量为n （x，y，z），
r uuur r uuur 则n AB，n AC
（x，y，z）g(2, 2,1) 0，（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
r n
2y z 0
5y 3z 0
(1 , 1,1),
r |n
, 取z
| 3
1，得
x y
1 2 1
r uuur r uuur
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
解得z=0且rx=2y,令y=1,则x=2
∴平面 的一个法向量是 n (2,1,0)
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问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
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