8.3 傅立叶变换的性质

t n f (t ) 的 Fourier 变换． 上式可用来求
j t dt , 记忆 由 F ( ) f ( t ) e
F ( ) ( jt ) f ( t ) e j t d t ; F ( n ) ( ) ( jt )n f ( t ) e j t d t .
(2) 结合律
f1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] [ f1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ) .
(3) 分配律
f1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f1 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t ) f 3 ( t ) .
2 j 2 π[ ( 0 ) ( 0 )] . 2 0
15
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章
P198 例8.11 修改
傅 里 解 根据相似性质有 叶 G( ) [ g(t ) ] [ f (2t ) ] 变 换 1 1 / 2 , | | 4 , F 2 2 0 , | | 4 .
1
[ G ( ) ] ( jt )2 g( t ) , 有
[ f ( t )]
[ t 2 g( t ) ] G( )
π ( 1) π ( 1) .
17
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章
P200 例8.12
1 , | t | 1 , 解 设矩形脉冲函数 f ( t ) 0 , | t | 1 , 傅 里 2 sin 叶 F ( ) , 已知 f (t ) 的频谱为 变 换 2 2 由 Parserval 等式有 | F ( ) | d 2 π f ( t ) d t .
f1 ( t ) f 2 ( t )


f1 ( ) f 2 ( t ) d .
19
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
性质 (1) 交换律
P201
f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t ) .
[ f (t ) ] , G( )
[ g( t ) ] .
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 1. 线性性质 性质 设 a , b 为常数，则
直接进入基本 性质汇总？
证明 (略) 2
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 里 j t 0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t 0 ) ] e 叶 变 (2) 1[ F ( 0 )] e j 0t f ( t ) . (频移性质) 换 证明 (1)
令 x at
1 a
f ( x ) e

j

a
x
1 d x F ; a a
(2) 当 a 0 时，
同理可得
1 [ f (a t ) ] F . a a
5
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 相似性质表明， 若信号被压缩 (a 1) , 则其频谱被扩展； 变 若信号被扩展 (a 1) , 则其频谱被压缩。 换 事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 6
[ f (t ) ] j [ g( t ) ] ,
[
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式


1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
[ f ( t t 0 ) ] e j t0 F ( ) ;
1
(时移性质)
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f ( t ) . (频移性质)
1 [ f (a t ) ] F . |a | a
13
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 [ f ( n ) ( t ) ] ( j )n F ( ) ; 章 微分性质 傅 里 叶 变 积分性质 换 Parseval 等式
1
[ F ( n ) ( ) ] ( jt )n f ( t ) .
t
[
1 f (t ) d t ] F ( ) . j 1 f (t ) d t 2π
2


| F ( ) |2 d .

( 直接进入 Parseval 等式举例? )
14
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )]. 八 1 章 解 已知 [ u( t )] π ( ) , j 傅 f ( t ) u( t ) (e j 0t e j 0t ) , 里 又 叶 变 根据线性性质和频移性质有 换 1 1 [ f (t )] π ( 0 ) π ( 0 ) j ( 0 ) j ( 0 )



4 sin2
2
d 2 π 12 d t 4 π .
1
1
由于被积函数为偶函数，故有
0

sin2wenku.baidu.com
2
π d . 2
18
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 定义 设函数 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 在区间 ( , ) 上有定义， 如果 傅 里 P200 叶 定义 广义积分 f1 ( ) f 2 ( t ) d 对任何实数 t 都收敛，则 8.2 变 它在 ( , ) 上定义了一个自变量为 t 的函数，称此 换 函数为 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 的卷积，记 为 f1 ( t ) f 2 ( t ) , 即
16
§8.3 傅里叶变换的性质
f ( t ) t 2 cos t , 求 [ f ( t )]. 第 例 设 八 g(t ) cos t , 则 f ( t ) t 2 g( t ) , 章 解 令
傅 里 叶 变 换 又已知 G( ) 根据微分性质
[ cos t ] π ( 1) π ( 1) ,
20
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章
时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份
的大小不发生改变，但相位发生变化；
频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中
得到了广泛应用。 4
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 证明 (1) 当 a 0 时， 变 [ f (a t ) ] f (a t ) e j t d t 换
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅立叶变换的性质
一、基本性质 二、卷积与卷积定理 *三、利用 Matlab 实现 Fourier 变换
1
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Fourier 章 傅 里 叶 变 换 变换均存在，且 F ( )
10

§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 5. 积分性质 傅 性质 里 叶 证明 令 g( t ) t f ( t ) d t , 则 lim g( t ) 0 , | t | 变 换 由微分性质有 [ g(t ) ] j G( ) , 又 g( t ) f ( t ) , 有 即得
[ f ( t t 0 ) ] f ( t t 0 ) e j t d t
令 x t t0



f ( x ) e j x e j t0 d x
e j t0 F ( ) ;
(2) 同理，可得到频移性质。
3
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 里 j t 0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t 0 ) ] e 叶 变 (2) 1[ F ( 0 )] e j 0t f ( t ) . (频移性质) 换

傅 j t 证明 由 F ( ) f ( t ) e d t , 有 F ( ) f ( t ) e j t d t , 里 叶 1 变 右边 F ( ) F ( ) d 换 2π
1 2π



F ( )[ f ( t ) e j t d t ]d

1 f (t ) [ F ( ) e j t d ]d t 2π
f 2 ( t ) d t = 左边 .

12
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 [ a f (t ) b g(t ) ] a F ( ) bG( ) . 章 线性性质 傅 里 位移性质 叶 变 换 相似性质
j t 记忆 由 f ( t ) F ( ) e d ,
f ( t ) j F ( ) e j t d ; f ( n ) ( t ) ( j )n F ( ) e j t d .
9

§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 叶 变 换 同理，可得到像函数的导数公式
f (t ) e
j t
j f ( t ) e j t d t

jF ( ) .
8
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f (t ) ] jF ( ) . | 里 (k ) 叶 一般地，若 lim f ( t ) 0 , ( k 0, 1, 2, , n 1) , | t | 变 ( n) n 换 则 [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) .
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 在电信通讯中， 叶 变 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 换 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f (t ) ] jF ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 [ f ( t ) ] f ( t ) e j t d t