复习课《求数列的前n项和》教学设计

《求数列的前n 项和》教学设计

教学目标：

1、 理解并掌握常见数列的通项公式及前n 项和的求法；

2、 提高学生观察问题及分析解决问题的能力.

教学重点：灵活应用数列常见通项公式及前n 项和的求法. 教学难点：利用相关求和方法灵活解决对应的求和问题.

教学过程：

一、 问题情境

（1） 回顾：求数列的前n 项和有哪些方法？ （2） 提问：解决前n 项和的关键是什么？

关键：抓通项公式，先观察，能化简先化简！！

二、 建构数学

1、 公式法

（1）设n 是大于2的正整数，则3＋5＋7＋…＋（2n －1）＝ ． （2）1－2＋4－8＋…＋(－2)n ＝ ． 注意项数！！

2、分组求和法（+公式法）

数列：112，214，318，…，(n ＋1

2

n )，… 的前n 项和是 ．

适用于：通项公式为{}n n a b ±，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列。

3、错位相减法（乘公比）

数列{2n －1

2

n }的前n 项和是 ．

适用于：通项公式为{}n n a b ∙，其中{}n a 为等差数列， {}n b 为等比数列。 注意项数以及化简！！

4、裂项相消法

11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n×(n ＋2)

＝ ． 关键：把数列的通项公式拆分成两项之差，正负相消剩下若干项，其中头尾所剩项数一致！

特别适用于：数列1n n c a a +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭，其中n a 为公差0d ≠的等差数列，即

1111n n n n c c a a d a a ++⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

变：数列{}

n a 中， n a =求{}n a 的前n 项和n S = ．

5、倒序相加法(首末项相加为定值) 已知()

f x =

()()()546f f f -+-+⋅⋅⋅+= ． 类比等差数列求和公式的推导的思想方法：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。

6、奇偶并项法

（1）数列{}n a ，111

,12

n n a a a -+=

=，则21S = ． 在对递推公式无法构造的情况下，可采取观察法，通过算出前几项归纳出通项公式。 （2）2

2

2

2

2

2

123499100-+-+⋅⋅⋅+-= ．

每组奇数项和偶数项规律一致时，可将奇数项与偶数项捆绑在一起进行求和。

7、观察分析法

（1）数列{}n a ，111

1,1

n n a a a +==-

+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则 2015S =________.

在对递推公式无法构造的情况下，可采取观察法，通过算出前几项归纳出所求数列具有周期性。

（2）数列{}n a ，111,4n n a a a n +=+=，则数列{}21n a -的前n 项和为 ________. 在对递推公式无法构造的情况下，可采取观察法，通过算出前几项归纳出所求数列的通项公式（为等差数列）。

（3）数列{}n a ，111,4n n n a a a +=⋅=，则数列{}n a 的前2n 项和为________. 在对递推公式无法构造的情况下，可采取观察法，通过算出前几项归纳出所求数列的通项公式（为等比数列）。 本题：奇偶项分别成等比数列！！

（4）等差数列

{}

n a ，112,2a d ==-，则1220a a a ++⋅⋅⋅+=

________.

关键：能由已知数列的性质推测出所求和数列为等差或等比数列。

（5）数列{}

n a 的通项公式为13n n a -=，则数列

{}1n n a a +⋅=

________.

关键：能由已知数列的性质推测出所求和数列为等差或等比数列。

（6）数列{}n a 的通项公式为12n a n =++⋅⋅⋅+，对任意*

n N ∈，

12111

n

m a a a ++⋅⋅⋅+<恒成立，则m 的取值范围为________.

三、 课后作业

见《课后评测》练习

四、 课堂小结

求数列的前n 项和有哪些方法？ 1、公式法

2、分组求和法（+公式法）

适用于：通项公式为{}n n a b ±，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列。 3、错位相减法（乘公比）

适用于：通项公式为{}n n a b ∙，其中{}n a 为等差数列， {}n b 为等比数列。 4、裂项相消法

特别适用于：数列1n n c a a +⎧

⎫

⎨

⎬⎩⎭

，其中n a 为公差0d ≠的等差数列，即

1111n n n n c c a a d a a ++⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

5、倒序相加法(首末项相加为定值)

类比等差数列求和公式的推导的思想方法：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。 6、奇偶并项法

每组奇数项和偶数项规律一致时，可将奇数项与偶数项捆绑在一起进行求和。 7、观察分析法

在对递推公式无法构造的情况下，可采取观察法，通过算出前几项归纳出所求数列为周期性数列或等差数列或等比数列。