材料力学第8章应力状态分析

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图8.1
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由以上分析可见，杆内各点应力的大小和方向不仅与该点所处位置有关，而 且还与过该点的截面方位有关。过一点所有截面上应力的集合，称为该点的 应力状态。为了解决构件在复杂受力情况下的强度问题，必须了解构件中的 危险点哪一截面的正应力最大，哪一截面的切应力最大，为此有必要研究一 点处各截面应力的变化规律，这就是一点的应力状态分析。一点的应力状态 通常用单元体来描述。
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对于构件中的某一点，当3个主应力全都不为零时，该点的应力状态称为三 向（或空间）应力状态，当有一个主应力为零时，称为二向（或平面）应力 状态，当有两个主应力为零时，称为单向应力状态。三向和二向应力状态又 称为复杂应力状态，单向应力状态则称为简单应力状态。 工程中经常遇到二向应力状态的问题，下面主要对二向应力状态进行分析研 究。
和
确定E点，E点横纵坐标
代表y截面上的正应力σy应力和切应力 y。由于 x和 y的数值相等，
,因此直线DE与坐标轴σ的交点C的横坐标为(σx+σy)/2，即C为应力
圆的圆心。于是，以C为圆心、
为半径画圆，即得所求应力圆，如
图8.6（b）所示。
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图8.6
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图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形 式)，而图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉 伸时，横截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图 8.1（b）中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的 单元体，根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力 又有切应力。
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图8.3
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运用截面法可以求出与z截面垂直的任意斜截面ac上的应力（见图8.3 （a））。设斜截面 ac 的外法线 n与x 轴的夹角为α（斜截面 ac 称为α 截面），并规定从x 轴正向逆时针转到斜截面外法线n时α角为正 （见图8.3（b）），反之为负。沿α截面将单元体截分为两个部分，保留左 下部分，α截面上的正应力和切应力分别用σα和α表示，如图8.3（c）所 示。若斜截面ac的面积为Aα，则 ab 面和bc面的面积分别为Aα cos α和 Aαsin α。考虑左下部分的平衡，列法线 n 和切线 t 方向的平衡方程如下
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8.2二向应力状态分析——解析法 8．2．1二向应力状态的斜截面应力 如图8.3（a）所示单元体为二向应力状态的一般情况，在单元体上，与 x 轴垂直的平面称为x截面，其上作用有正应力σx和切应力x；与y轴垂直的平 面称为y截面，其上作用有正应力σy和切应力y；与z轴垂直的z截面上应力为 零，该平面是主平面。切应力x 或y的角标x(或y)表示切应力作用面的法线 方向。二向应力状态也可用如图8.3（b）所示的平面单元体来表示。应力的 符号规则如前（参见2.3节），图中的σx，σy和x为正值，而y为负值。
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注意： x和 y数值上相等，以 x代替 y利用三角公式，上两式可简化为
利用式（8.1）和式（8.2）可求得二向应力状态单元体上任意斜截面上的应
力σα和 8．2．2主平面与主应力的计算
由公式（8.1）可知，斜截面上的正应力σα的数值随角度α而改变，极值正 应力的数值及与之对应的斜截面法线与 x 轴的夹角，可由公式（8.1）通过
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材料力学第8章应力状态分析
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8.1应力状态概述 在研究杆件弯曲或扭转变形时，杆件内位置不同的点具有不同的应力情况。 因此，构件中某一点的应力随几何坐标变化，是几何坐标的函数。然而，即 使对空间位置确定的某一个点而言，通过该点的截面方位不同，其应力值也 不相同。现在以直杆拉伸为例（见图8.1），A点是杆件中位置确定的一个 点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方 体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
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例8.1单元体受力如图8.4（a）所示（应力单位： MPa）。试求： （1）α=60°斜截面上的正应力和切应力； （2)主应力和主平面的方位； （3)极值切应力。
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图8.4
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解（1）计算斜截面应力 将σx=60 MPa，σy=-80 MPa，x= 35 MPa，α=60° 代 入式（8.1）和式（8.2）可得
它们分别作用在相互垂直的两个平面上。
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比较式（8.4）和式（8.6）可知
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即α1=α0±45°，说明极值切应力的作用平面与主平面成45°夹角。 另外，对任意一个斜截面α和与之垂直的截面α′=α±90°，由式（8.1） 即可求得
式（8.9）表明，对于一个单元体，两个相互垂直的平面上正应力之和为一 个常数。
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应力圆确定后，如欲求某一任意截面α上的应力，则只需将半径CD沿方位角 α的转向旋转2α至CH处，所得H点的横、纵坐标就分别代表α截面上的正应 力σα和切应力 α。兹证明如下。 将∠DCF用2α0表示，则将半径CD逆时针旋转2α后，得到的H点
在应力圆中 故
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8．2．3极值切应力
由公式（8.2）可知，斜截面上的切应力α的数值也随角度α而改变，因而
切应力也存在极值。极值切应力作用的平面可由导数 极值切应力作用的平面，则
求得。以α1表示
式（8.6）也有α1和α′1=α1+90°两个根，代入式（8.2）便可得极大和极 小切应力为
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由于这两个正应力极值，作用在主平面上，因此这两个正应力 极值即为两个主应力，式（8.5）即为平面应力状态主应力计算 式。由于平面应力状态中有一个主应力为零，因此3个主应力分 别为式（8.5）计算得到的σmax，σmin和0，按代数值大小排序 后可确定3个主应力σ1，σ2和σ3。
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8.3二向应力状态分析——图解法（应力圆） 8．3．1应力圆 由式（8.1）和式（8.2）可知，斜截面上的正应力αα和切α均为α的函数 ，说明αα和α之间存在一定函数关系，而式（8.1）和式（8.2）为其参数 方程。为了建立σα和α之间的直接关系，首先，将式（8.1）与式（8.2） 分别改写成如下形式：
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图8.2
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从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。 围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其 中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因 而存在3个主应力，这3个主应力按代数值排列分别表示为 σ1，σ2，σ3， 按代数值大小排序，它们的关系为σ1≥σ2≥σ3。3个相互垂直的主平面可 围成一个单元体，自然，该单元体各个面均为主平面，且该单元体上只有主 应力的作用，这样的单元体称为主单元体。
然后，将以上二式各自平方后相加，于是得
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上式是以αα和α为变量的方程，在以σ为横坐标轴、为纵坐标轴的直角坐 标系中, 所表示的曲线是一个圆，如图8.5所示，其圆心C的坐标为 其半径为
此圆称为应力圆或莫尔圆。也就是说，一点的应力状态可以用应力圆来表 示，过该点有无数个截面，每一个截面上的正应力σα和 切应力α，对应着 应力圆圆周上的一点的横坐标和纵坐标。换而言之，应力圆的圆周囊括了过 一点所有截面的应力状态。
综上所述，使用应力圆分析应力状态可归结为以下两点：（1) 应力圆圆周上每一个点都对应于单元体上一个面，点的纵坐标 和横坐标就是该截面的正应力和切应力；（2)应力圆上两点之 间的圆心角等于单元体上两个相应截面所夹角度的两倍，而且 圆心角的转向与截面法线间的转向相同。
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8．3．3用应力圆分析主应力、主平面和极值切应力 用应力圆可以方便地确定主应力、主平面和极值切应力。从图8.7（a）可以 看出，因为应力圆的圆心在σ轴上，所以最大正应力σmax和最小正应力σmin 所对应的点即为圆周上横坐标最大和最小的 两个点，即A和 B两点，因此主 应力的大小分别为
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（2)计算主应力和主平面方位 由式（8.4）得
解得主平面方位为 由式（8.5）得
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按主应力的排列顺序应为σ1 =68.3 MPa,σ3=-88.3 MPa(σ2=0 )。
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（3）极值切应力 由式（8.7）得到
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例（8.1）中，如要进一步确定主平面与主应力的对应关系，则需将α0或 α′0代入式（8.1），计算其中一个主平面上的主应力，从而进行判断。另 外，也可用下述结论进行判定：如约定σx为两个正应力中代数值较大的一个 ，即约定σx≥σy，则公式（8.4）确定的两个角度中，绝对值较小的一个确 定σmax所在平面。依此方法，上例中α0=-13.3°的主平面上的正应力为 σ1=68.3 MPa，那么σ′0=76.7°的主平面上的正应力为σ3=-88.3 MPa。从 而可绘制出主单元如图8.4（b）所示。图8.4（c）为极值切应力作用的单元 体，与图8.4（b）比较可知，其与主单元的方位角相差45°。
将上式与式（8.1）比较可知 采用同样的方法可以证明
σH=σα
所以命题得证。 也就是说在应力圆中，将初始半径CD按某一方向旋转2α得到半径CH，D，H 两点分别代表两个截面的应力情况，这两个截面之间夹角方向与应力圆半径 旋转方向相同，其值正好为应力圆上半径夹角的一半，即为α。
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在分析构件中一点的应力状态时，通常先用应力已知的截面来截取一个单元 体。例如，如图8.2（a）所示的悬臂梁，在横截面m—m上A，B，C这3点的应 力（见图8.1（b））可由弯曲应力公式确定。由应力沿截面高度的变化规律 （见图8.2（c））可知，A点只有正应力，B点只有切应力，C点既有正应力 又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后 两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等 的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元 体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
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图8.5
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8．3．2应力圆的绘制与应用
现以图8.6(a)所示的二向应力状态为例，说明应力圆的做法。在
坐标
系内，按选定的比例尺，量取横坐标
纵坐标
确定D点（见图8.6
（b））。D点是应力圆圆周上的一个点，它的坐标代表x截面上的正应力σx
应力和切应力 x。同样的方法，用
导数
求得。
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即
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以α0表示极值正应力作用平面的法线与x轴的夹角，从而可求得
将式(8.4)与式（8.2）比较可见，极值正应力作用的截面上切应力为零，因 此，极值正应力作用的平面即为主平面，因此式（8.4）即为主平面倾角表 达式。
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因为 tan 2α0=tan 2(α0 + 90°)，所以方程（8.4）有两个解α0和α′0 =α0+ 90°，它们确定了互相垂直的两个主平面的方位，在这两个主平面上 同时作用有正应力的极值，一个为极大值，另一个为极小值。由公式(8.4) 求出sin 2α0，cos 2α0，sin 2α′0及cos 2α′0，代入公式(8.1)中，则 正应力极大值和极小值为