浅谈解析几何中减少计算量的常用方法

浅谈解析几何中减少计算量的常用方法
圆锥曲线是解析几何中非常重要的一块内容，是提高学生的数形结合能力、运算求解能力、数据处理能力的重要载体之一。

同学们在学习圆锥曲线时都有这样的感觉：解题思路比较容易形成，但复杂的运算却让人望而生畏，如何采用合理的方法减少运算量成为能否顺利解题的关键。

事实上，如果我们能够充分利用图形的几何性质、曲线的定义和韦达定理等，就能减少计算量。

举例如下:
一、巧用定义
例1：P 是双曲线116
922=-y x 右支上一点，M 、N 分别是圆()4522=++y x 和()1522=+-y x 上的点，则PN PM -最大值为 ( )
A 6.
B 7.
C 8.
D 9.
解：双曲线的两个焦点分别是)0,5(),0,5(21--F F ,则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线且P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时
()()91221=--+=-PF PF PN PM .选D
点评：本题存在三个动点P 、M 、N ，如果设出三点的坐标求解将非常困难，这里结合圆的性质，利用双曲线的定义轻松得出结论。

二、利用几何性质
例2：已知点P （5,0）和圆1622=+y x ，过P 作直线l 与圆交于A,B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程。

解：∵点M 是弦AB 的中点，∴︒=∠90CMP ,∴点M 是在以OP 为直径的圆周上，此圆的圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25，半径为25，所以其方程为2
222525⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 。

同时，点M 在圆1622=+y x 的内部，∴162
2<+y x ，即,5165022<+=≤y x x 所以所求的轨迹方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-51602525222x y x 。

点评：此题挖掘利用几何条件︒=∠90CMP 即点M 是在以OP 为直径的圆周上，若利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

三、设而不求
例3:(2011·湖南)如图，椭圆C 1：12222=+b
y a x (a>b>0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2
－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)设C
2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交
于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E.①证明：MD ⊥ME ；
②略。

(1)解 易求的C 1，C 2的方程分别为14
22
=+y x ，y ＝x 2－1. (2)①证明 由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l
的方程为y ＝kx ，由⎩⎨⎧-==12x y kx
y ,得x 2
－kx －1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以
k MA ·k MB ＝11
11)()1)(1(1122212121221212211-=-++-=+++=++=+⋅+k k x x x x k x x k x x kx kx x y x y 。

故MA ⊥MB.即MD ⊥ME.
点评：通过设相关点，利用韦达定理，把它们转化消去，避免直接求解各个未知量，达到简化运算的目的。

四、合理转化
例4：已知圆25)2()1(:22=-+-y x C 及直线)(47)1()12(:R m m y m x m l ∈+=+++。

证明：不论m 为何值，直线l 与圆C 恒相交。

证明：直线l 的方程可整理为：()0724=-++-+m y x y x 。

令⎩
⎨⎧=-+=-+07204y x y x ，解得x=3,y=1, 所以直线恒过定点（3,1）。

又()(),255211322<=-+-所以点（3,1）在圆内，故直线l
与圆C 恒相交。

点评：本题若用判别式或圆心到直线的距离小于圆的半径，计算较复杂，但将其转化为直线过圆内定点问题，则简化了计算。

五、巧用对称
例5： 设AB 为过椭圆116
252
2=+y x 的中心的弦，F 1为左焦点，求△ABF 1的面积的最大值。

解：设F 2为椭圆的右焦点，连接AF 2、BF 2，由椭圆的对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形， 1232
12121211≤=⋅==∴∆A A F ABF ABF y y F F S S 点评：圆锥曲线都具有对称性，在解决圆锥曲线问题时，如果能够挖掘潜在的对称性，可以减少计算量，简明、快捷地解决问题。

六、利用向量转化
例6：已知定点A(4,2),O 为原点，P 是线段OA 的垂直平分线上的一点，若∠OPA 为锐角，求点P 的横坐标的取值范围。

解：三点不共线。

、、且的夹角，为向量O P A OPA PA PO OPA ,0cos ,>∠∴∠ 即0>⋅PA PO ,OA 的垂直平分线的方程为：y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
设P(a,5-2a),则()()015205,32,4,52,2>+-=⋅--=--=a a PA PO a a PA a a PO 由，解得：a<1或a>3。

∴P 点的横坐标的取值范围为()()+∞⋃∞-,31,。

点评：利用利用向量可以使几何问题迅速转化为数量关系，思路清晰，过程简捷，运用向量数量积的定义处理有关长度、角度等问题时可以减少计算量。

圆锥曲线是高中数学的重要内容，在高考中无论是客观题还是主观题中都会考到，教师在教学的过程中，应通过不同曲线的教学，让学生能从直观入手，归纳总结出不同曲线的几何性质和一些常用的方法，通过代数运算或结合几何性质来简洁地解决相应的问题。