二次型配方法技巧
二次型配方法技巧
1.矩阵行列式法
将二次型写成矩阵形式，然后求出这个矩阵的行列式，根据矩阵行列式的符号即可判断二次型的正负性。
2.配方法
配方法一般是通过将二次型转化成某种标准形式来判断其正负性，可以采用以下方法：
(1)完成平方项公式
如将ax^2+2bxy+cy^2配成(rx+sy)^2+t(xy)的形式。这个方法的前提条件是要先知道二次型的系数。
(2)配方法法则
当二次型的阶数比较高时，可以采用配方法法则进行计算。这个方法主要是用来处理高阶项，例如将ax_n^2+2bx_{n-1}x_n+cx_{n-1}^2配成(\alpha
x_n+\beta x_{n-1})^2+\gamma x_{n-1}^2的形式。
(3)正交矩阵变换法
利用正交矩阵变换将二次型配成标准式。具体方法是根据角度公式，将
x_1,x_2,\cdots,x_n表示成\cos\theta_1,\cos\theta_2,\cdots,\cos\theta_n的
形式，然后利用正交矩阵进行变换，最终可以将二次型配成标准形式，即\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\cdots+\lambda_nx_n^2。
二次型的标准型
§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为： 定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为
????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C '，可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形，令 ??? ? ??=G O O C 12,
二次型配方法技巧
二次型配方法技巧 1. 了解二次型的定义：二次型是一个关于n个变量的二次多项式表达式。 2. 熟悉二次型的标准形式：二次型可以通过合同变换转化为标准形式，即只有平方 项和零次项，没有交叉项。 3. 使用合同变换进行化简：合同变换是一种可以改变二次型的平方项系数和常数项 的技巧。 4. 理解二次型的矩阵表示：将二次型表示为一个对称矩阵的形式可以简化计算和分析。 5. 利用矩阵特征值分析二次型的性质：二次型的矩阵表示的特征值和特征向量可以 提供关于二次型的有用信息。 6. 使用特征值分解进行对角化：特征值分解是将对称矩阵对角化的一种方法，可以 简化二次型的计算。 7. 利用二次型的正定性或负定性分析问题：正定二次型的性质可以提供最小值，而 负定二次型的性质可以提供最大值。 8. 使用配方法求取二次型的最值：配方法是一种将二次型转化为平方项的和的技巧，可以简化最值计算。 9. 利用配方法实现二次型的化简：配方法可以将二次型化为一系列完全平方的和， 从而简化计算。 10. 了解二次型的相关概念：相关概念如秩、正交等可以帮助理解和分析二次型的性质。 11. 使用二次型的正交对角化技巧：正交对角化可以将二次型转化为只有对角线上有 非零项的形式，从而简化计算。 12. 利用二次型的秩分析问题的解空间：二次型的秩可以提供有关解空间的信息，例 如是否存在非零解等。 13. 考虑二次型的约束条件：二次型的约束条件可以提供额外的限制条件，从而限制 解的范围。 14. 利用拉格朗日乘子法求解二次型最值问题：拉格朗日乘子法是一种用于处理带约 束条件的最值问题的技巧。
15. 考虑二次型的线性变换：通过线性变换，可以改变二次型的项的系数和平方项之间的关系，从而简化计算。 16. 使用线性变换进行坐标变换：线性变换可以实现坐标系的变换，从而改变二次型的标准形式。 17. 考虑二次型的对称性：二次型的对称性可以提供关于对称轴、顶点等的有用信息。 18. 使用二次型的谱分解进行矩阵分析：谱分解可以将对称矩阵分解为特定形式的矩阵，从而简化计算。 19. 利用二次型的最值性质优化问题：二次型的最值性质可以帮助处理优化问题，例如最小二乘法等。 20. 考虑二次型的变量变换：通过变量变换，可以改变二次型的变量之间的关系，从而简化计算。 21. 使用变量变换进行特征值分析：变量变换可以改变二次型的特征值和特征向量，从而提供有关二次型性质的信息。 22. 考虑二次型的零空间：二次型的零空间可以提供关于平面、直线等的有用信息。 23. 利用零空间实现二次型的降维：零空间可以将二次型的维度降低，从而简化计算和分析。 24. 考虑二次型的投影性质：二次型的投影性质可以提供关于优化问题的有用信息。 25. 使用投影性质进行线性规划问题求解：投影性质可以帮助处理线性规划问题，例如凸优化等。 26. 考虑二次型的正交分解：正交分解可以将二次型分解为正交矩阵相乘的形式，从而简化计算和分析。 27. 利用正交分解进行二次型的最值计算：正交分解可以将二次型的最值计算化简为各个正交分量的最值计算。 28. 考虑二次型的限制条件和约束条件：二次型的限制条件和约束条件可以限制解的范围，从而简化计算。 29. 使用限制条件和约束条件进行线性规划问题求解：限制条件和约束条件可以帮助处理线性规划问题，例如最优化等。 30. 考虑二次型的对称子空间：二次型的对称子空间可以提供关于对称轴、对称面等的有用信息。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵
化二次型为实用标准形地几种方法
化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方． 关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法
reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method
二次型
第六章 二次型 §1. 二次型的定义 二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式： =),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++ n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2 n nn x a ++ 称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。 令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i n j j i ij x x a 11 把上式的系数排成一个n 阶方阵： ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()T n x x x X ,,,21 =。 定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。 这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。 例1：设2 3322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为： ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=420221011A 例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：
第二节 化二次型为标准型
第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已
二次型配方法技巧
二次型配方法技巧 二次型配方法是线性代数中的重要方法之一，用于将一个给定的二次型转化为标准型或规范型。在解决问题时，常常需要对二次型进行变换使问题更易于处理，而二次型配方法就能帮助我们达到这个目的。下面我将介绍一些二次型配方法的技巧。 1. 使用正交变换：正交变换是指使坐标轴与相应特征值方向相互垂直的变换。通过正交变换可以将一个对称矩阵对角化，从而将二次型转化为标准型。常用的正交变换方法有正交相似对角化、Gauss 雅克比消元法等。这些方法通过逐步进行标准正交变换，最终将二次型转化为标准型。 2. 利用配方法定理：对于一个对称矩阵，利用配方法定理可以将二次型转化为特征值的线性组合。利用配方法定理的关键在于求出特征值和特征向量，然后利用特征值的线性组合表示二次型。 3. 利用合同变换：合同变换是指通过左右乘以相同的非奇异矩阵来变换二次型。通过合同变换可以将二次型转化为规范型。合同变换可以通过左右乘以适当的矩阵，将二次型化为规范型。规范型表示二次型在合同变换下具有某种特殊的形式。 4. 引入特殊线性组合：有时候，通过引入特殊的线性组合可以将二次型转化为简化形式。例如，可以通过将二次型中的平方项分解为两个线性项的乘积，引入新的变量，从而将二次型转化为规范型。这种方法在一些特殊的问题中很常见，
可以极大地简化计算。 5. 利用配方法的性质：二次型配方法有一些重要的性质，如可逆性、范围、同伦、分析性等。可以利用这些性质来确定二次型的配方法，并结合具体问题选择适当的方法。 二次型配方法是解决线性代数中二次型问题的重要工具，运用得当可以将问题简化，提高解题效率。在实际问题中，如力学、物理、经济等领域，二次型配方法也得到广泛应用。 总之，二次型配方法是一种重要的线性代数工具，通过利用变换可以将二次型转化为标准型或规范型。在解决问题时，我们可以根据具体情况选择合适的配方法，并利用相应的技巧进行计算。通过二次型配方法，我们能够更加方便地处理和分析问题，为解决实际问题提供了有力的工具。
2015考研强化班绝密资料 第七讲 二次型
第七讲二次型 概念复习 一.基本概念 1.二次型 n个变量x1,x2,…,x n的二次型是x1,x2,…,x n的一个函数,一个齐二次多项式函数. 例如3元的二次型的一般形式为 f(x1,x2,x3)= a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3. 实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,x n的变化范围也限定为实数,则称为实二次型. 标准二次型交叉项的系数都为0的二次型. 规范二次型形如x12+…+x p2-x p+12…-x p+q2的二次型.(p+q n) 2．二次型的矩阵 二次型可以用矩阵乘积的形式表示，例如 f(x1,x2,x3)= a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3. a11 a12 a13 x1 =(x1,x2,x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3 要求中间的矩阵是实对称矩阵，它是唯一的，称为二次型的矩阵.并把它的秩称为二次型的秩, 如果二次型f(x1,x2,…,x n)的矩阵为A,并记 X=(x1,x2,…,x n)T, 则 f(x1,x2,…,x n)= X T AX. 标准二次型的矩阵为对角矩阵. 规范二次型的矩阵为规范对角矩阵. E p 0 0 0 -E q 0 . 0 0 0 3.可逆线性变量替换和实对称矩阵的合同关系 对二次型f(x1,x2,…,x n)引进新的变量y1,y2,…,y n,并且把x1,x2,…,x n表示为它们的齐一次线性函数 x1=c11y1+c12y2+…+c1n y n, x2=c21y1+c22y2+…+c2n y n, ………… x n=c n1y1+c n2y2+…+c nn y n, 代入f(x1,x2,…,x n)得到y1,y2,…,y n的二次型g(y1,y2,…,y n). 把上述过程称为对二次型f(x1,x2,…,x n)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c11 c12 (1) C= c21 c22 (2) ……… c n1 c n2… c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换. 变换式可用矩阵乘积写出:
化二次型为标准型的方法解读
化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪ =++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线 性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型 线性替换 矩阵 标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的 一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其 余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例 1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。 解：原二次型中含有i x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对2x 配平方，消去23x x 项。此过程为 化二次型为标准形几种方法的比较及技巧 化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念，涉及到矩阵的变换和对称矩阵的特征分解。在实际问题中，我们经常需要将二次型化为标准形来进行进一步的分析和求解。本文将比较几种常见的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握化二次型为标准形的过程。 一、使用正交变换 一种常见的方法是利用正交变换将二次型化为标准形。正交变换是指线性变换保持向量的长度和直角的性质，可以用正交矩阵来表示。对于一个n阶实对称矩阵A，可以找到一个n阶正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。这个对角矩阵的对角线上的元素就是二次型的所有特征值，而P的列向量就是A的所有特征向量。 通过正交变换，可以将二次型A(x)化为标准形： A(x) = x^T Ax = (Px)^T (Px) 这个过程是通过矩阵P的特征分解来实现的，可以利用各种线性代数工具和软件来进行计算和求解。这种方法的优点是可以准确地求得二次型的特征值和特征向量，较为直观和简单，但是需要进行矩阵的特征分解和计算，对于大规模的问题可能比较耗时和复杂。 二、使用配方法 另一种常见的方法是使用配方法将二次型化为标准形。配方法是通过添加和减去一些适当的常数项，将二次型化为平方的和的形式。具体来说，对于一个n元二次型： A(x) = a_11x_1^2 + a_22x_2^2 + ... + a_nnx_n^2 + 2a_12x_1x_2 + ... + 2a_n-1n x_n-1x_n 可以通过一系列的配方法将它化为标准形： A(x) = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2 其中y_i = x_i + b_i，k_i和b_i是适当的常数。 这个过程可以通过利用二次型的配方法来实现，通过选取适当的参数k_i和b_i，将二次型化为标准形。这种方法的优点是较为直接和可控，可以使用一些简单的代数技巧和变换来进行求解，适用于规模较小的问题。但是在具体的应用中需要一定的经验和技巧，需要根据具体的二次型来选择合适的配方法。 三、使用特征值分解 二次型化为标准型配方法 二次型化为标准型配 引言 二次型是高中数学中一个重要的概念。在解决二次型相关问题时，将二次型化为标准型是一种常见的做法。本文将介绍几种常见的方法，以帮助读者更好地理解和解决相关问题。 方法一：配方法 1.将二次型的主对角线元素用系数代替，将非主对角线上的元素用 变量代替。 2.解方程组，求出变量的值。 3.将求得的变量值代入二次型，化简得到标准型。 4.通过配方法，我们可以快速地将任意的二次型化为标准型。 方法二：特征值分解 1.根据二次型的矩阵A，求出其特征值和对应的特征向量。 2.构造特征向量矩阵P，其中列向量为特征向量。 3.构造对角矩阵D，其中对角线上的元素为特征值。 4.利用特征值分解的公式，将二次型化为标准型: Q(x)=X T AX= X T PDP T X。 5.通过特征值分解，我们可以将二次型化为对角型，进而化为标准 型。 方法三：正交对角化 1.根据二次型的矩阵A，求出正交矩阵P。 2.构造对角矩阵D，其中对角线上的元素为A的特征值。 3.利用正交对角化公式，将二次型化为标准型: Q(x)=X T AX= X T PDP T X。 4.通过正交对角化，我们可以将二次型化为标准型，并且矩阵P是 正交矩阵，具有简洁的性质。 方法四：配方法与正交对角化相结合 1.首先，将二次型用配方法化为标准型。 2.根据标准型的矩阵B，求出正交矩阵P。 3.构造对角矩阵D，其中对角线上的元素为B的特征值。 4.利用配方法和正交对角化公式，最终将二次型化为标准型。 结论 通过配方法、特征值分解、正交对角化以及它们的组合使用，我们可以将任意的二次型化为标准型，进而更好地解决相关问题。熟练 用配方法化二次型为标准型技巧 配方法是一种常用的数值求解二次型的方法,可以将二次型化为标准型,从而使求解更加容易。以下是一种化二次型为标准型的技巧: 假设有二次型 $A cdot y^T + B cdot y + C = 0$,其中 $y$ 是一个 $n times 1$ 的列向量,$A,B,C$ 是 $n times n$ 的方阵。我们可以使用以下公式将二次型化为标准型: $$A cdot y^T + B cdot y + C = begin{bmatrix} A & B B^T & C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} y y^T end{bmatrix}^T + begin{bmatrix} 0 0 end{bmatrix}$$ 其中,$y$ 的列向量部分被表示为 $y_i$ 的系数矩阵 $A$ 乘以$y$ 的旋转矩阵 $B$ 的和 $C$ 乘以 $y$ 的旋转矩阵 $B^T$ 的乘积。 接下来,我们可以使用配方法将标准型转化为二次型。具体来说,我们可以使用一个 $n times n$ 的方阵 $P$,其中 $P_{ii} = 1$ 且$P_{ij} = 0$ 只有在 $i eq j$ 的情况下才有意义,然后将 $A$ 和 $B$ 的列向量部分分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$,得到: $$y_i = P_{ij} y_j$$ 其中,$P_{ij}$ 表示 $P$ 乘以 $A$ 和 $B$ 的列向量部分在 $i$ 和 $j$ 方向上的对应系数。 最后,将 $y$ 的列向量部分和常数项 $C$ 分别乘以 $P$ 的系 数矩阵 $A$ 和 $B$ 的转置,即可得到化二次型为标准型的技巧。 第六节 用配方法化二次型成标准形 例1 化二次型23 32223121212224x x x x x x x x x f -+++-=为标准形,并求所用的变换矩阵. 23 32223121212224x x x x x x x x x f -+++-=）（解 23 3222322322232122)44)2(x x x x x x x x x x x -+++--+-=（ 23 32222321363)2(x x x x x x x -+-+-= 2322321)(3)2(x x x x x --+-= ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3332232112x y x x y x x x y 令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=33 32232112y x y y x y y y x 即 就把 f 化成标准形,32221y y f -= 所用线性变换矩阵为⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=100110121C 例2 化二次型3231213x x x x x x f ++= 解 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33 212211y x y y x y y x 代入，再配方可得 322231213y y y y y y f --+= 3222232314 9)23(y y y y y y ---+ = 23232322314 9)41)21(()23(y y y y y y --+-+= 232322312)2 1()23(y y y y y -+-+= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112123y z y y z y y z 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧= -=-=333223112123z y z z y z z y 即 .2232221z z z f --=就有 第五章 二次型 一些需要理解的概念和方法 一. 二次型的表示 2121 121 111 (,,...,)2 ()n n ii i ij i j i i j n n ii i ij ji i j i i j n n n ij i j i j T f x x x a x a x x a x a a x x a x x X AX =≤<≤=≤<≤===+=+ +==∑∑∑∑∑∑ 从上述的表达式中, 可以看出, 二次型中, j i x x 的系数是ij ji ij a a a 2=+. 例如: 设⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321321987654321),,(),,(x x x x x x x x x f , 则该二次型关于32x x 的系数是6+7=13. 所以可以直接写出该二次型如下: 23 32223121213219145106),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=. 二. 任意二次型经过非退化线性替换可以化成标准形, 有两种方法达到该目的. 这是因为一个二次型经过非退化的线性替换后仍是一个二次型。 事实上，令X=CY ，则 f (X )=X T AX =(CY )T A (CY )=Y T (C T AC )Y = Y T BY , B=C T AC , A 与B 合同. 1. 配方法 2. 矩阵的合同变换 T A C AC E C ⎛⎫⎛⎫−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 合同, 对A 作合同变换，E 只与A 作同样的列变换。此时, C T AC 是一个对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为C ， 即经过X=CY ，原二次型化为标准形。 于是一个秩为r 对称矩阵可以写出r 个秩为1 的对称矩阵之和: 因为.0,001111≠++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=i rr r r T d E d E d d d AC C 其中 , 所以 1111111)()(----++=C E C d C E C d A rr T r T . 上式右端的每一项中, 因为1-C 和(1-C )T 均可逆, 而R(E ii )=1, 可逆矩阵乘以一个矩阵不会改变这个矩阵的秩, 所以1)()(11==--ii ii T E R C E C R . 正交变换法和配方法化二次型标准形（总17页） 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21 year.March 正交变换法和配方法化二次型标准形 的优劣研究 二次型的研究起源于解析儿何，在平面解析儿何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程.从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程.这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用. 本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论.总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处. 关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法 Abstract Quadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying lin ear variable, a quadratic multinomial only con tains the square of variables ・ This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications・Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square・ Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation化二次型为标准形的方法
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
二次型化为标准型配方法
用配方法化二次型为标准型技巧
第六节 用配方法化二次型成标准形
第五章 二次型 总结 - itstzceducn
正交变换法和配方法化二次型标准形