幂等矩阵的性质研究

滨州学院
毕业设计（论文）
题目幂等矩阵的性质研究
系（院）数学系
专业数学与应用数学
班级2010级1班
学生姓名崔世玉
学号1014070124
指导教师田学刚
职称讲师
二〇一四年六月十日
独创声明
本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

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作者签名：
二〇一四年月日
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（保密论文在解密后遵守此规定）
作者签名：
二〇一四年月日
幂等矩阵的性质研究
摘要
幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。

关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩
Research on the properties of idempotent matrix
Abstract
Idempotent matrix is a very special class of matrices, which having important applications not only in matrix theory, but also in many other fields .The main content of the paper is to investigate the properties of idempotent matrix and its application.Firstly, the properties of idempotent matrix are analyzed and promoted.By using the category talk and the idempotent matrix idempotency of linear combinations.In some conditions three idempotent matrices the necessary and sufficient conditions in which the linear combination is also idempotent are given.The last research idempotent matrix of the linear combination of reversibility, gives its reversible specific features.In this paper, the research content to enrich the idempotent matrix related conclusions, which is helpful for the application of matrix in other areas.
Key words: idempotent matrix; linear combination; invertible matrix; rank matrix
目录
第一章幂等矩阵的概述 (1)
1.1研究背景 (1)
1.2基本概念介绍 (2)
第二章幂等矩阵的性质 (4)
2.1幂等矩阵的主要性质 (4)
2.2幂等矩阵的等价命题 (7)
第三章幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)
3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)
3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性 (14)
第四章幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)
4.1 幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)
4.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题 (18)
小结 (20)
参考文献 (21)
谢辞 (22)
第一章幂等矩阵的概述
1.1研究背景
幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵.幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用.近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域.幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础.广义逆的思想可追溯到1903年(E.) i. Fred Holm的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。

1904年，D. Hilbert broadly 在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。

而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H. Moore在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.当时人们对此似乎很少注意。

这一概念在以后30年中没有多大发展.曾远荣在1933年，F.J. Murray 和J. von Neumann在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。

T.N.E. Greville, C.R. Rao和其他人也作出了重要的贡献.1955年，Penrose证明了存在唯一的+
=A
X满足前述性质①～④，并以此作为+A的定
义.1956年，R. Colorado证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+
A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。

幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[2]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。

本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明.然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。

再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。

然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质并对幂等矩阵进行深入研究。

1.2 幂等矩阵的概念 定义1.1]3[ 若n n C A ⨯∈有性质A A =2, 则称A 为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:
引理1.1 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则与A 相似的任意n 阶方阵是幂等矩阵. 证明 设A B ~(即矩阵B 与矩阵A 相似),则,可逆n n C P ⨯∈∃使得
B AP P =-1且 P A P AP P AP P B 21112---=⋅=,
又 A A =2,所以
B AP P P A P B ===--1212，
所以B 是幂等矩阵.
定理1.1也可以表述为: 若A 是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵T , AT T 1-也 为幂等矩阵.
引理1.2 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则A 的转置T A , A 的伴随矩阵*A 及A E - 都是幂等矩阵.
证明 ()()T T T A A A ==22, 即T A 为幂等矩阵;
对*A , 先证明对任意两个幂等矩阵B A 、, 有关系式()***A B AB =.
由binet Cauchy -公式有:
()()=j i AB ,*
矩阵AB 的第i 行第j 列的代数余子式 所以,
()()()2
*****2
*A A A AA A A ====， 对A E -, 有
()A E A A E A A E A E -=+-=+-=-22222
. 引理1.3 若A 是幂等矩阵, A 的k 次幂仍是幂等矩阵.
证明 可用数学归纳法证明. 当1=k 时, 显然成立.假设当n k =时, 命题成立, 现考虑1+n 情形:
()1222221+++=⋅=⋅==n n n n n A A A A A A A ，
即当1+=n k 时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意N k ∈命题都成立.
第二章 幂等矩阵的性质
2.1 幂等矩阵的主要性质
性质2.1 0矩阵和单位矩阵E 都是幂等矩阵.
证明 由0和E 的定义可知命题成立.
性质2.2 幂等矩阵A 满足: ()()0=-=-A A E A E A .
证明 ()02=-=-=-A A A A A E A ,
()02=-=-=-A A A A A A E .
性质2.3 若矩阵B A ,均为幂等矩阵, 且BA AB =, 则AB 与T T B A 也是幂等矩阵.
证明 ()AB B A B AB A B BA A AB AB AB ==⋅⋅=⋅⋅=⋅=222
, 同理, T T B A 也是幂等矩阵.
性质2.4 若幂等矩阵A 可逆, 则E A =.
证明 因为A A =2.
所以
E A A A A A =⋅=⋅=--121.
性质2.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.
证明 设A 是幂等矩阵, 即A A =2, 再设A 的特征值为λ, 则λλ=2
(由特征值的性质), 故10或=λ.
由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.
性质2.6 幂等矩阵可对角化.
证明 设A 是幂等矩阵, λm 为A 的最小多项式, 由性质2.5知: λλ=m 或1-λ或()1-λλ,
最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而A 可对角化. 另]1[证明 当E A 或0=(即n r A 或0=)时, 显然成立.
当n r A <<0时, A 的特征值全为0, 1. A 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=-x A E 的解空间的维数()A E r n --. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组0)(=--x A E 的解空间的维数A r n -.由幂等矩阵的性质有
[])(A E r n --[]n n n r r n r n A A E A =-=--=-+-22)(
故A 可对角化, 设t r A =, 则由幂等矩阵的性质得()r r n A E =--, 因此A 的相
似标准型为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡000r
E . 性质2.7 若A 是幂等矩阵, 则()1,0≠∈∀a R a , aE A +是可逆矩阵.
证明 因为A A =2，
所以
()()[]()()E a a E a a A A E a A aE A 1112+-=+--=+-+,
又因为
A A =21,0≠a ,
所以
()()()[]E E a A a a aE A =⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-+-+111, 故aE A +可逆, 且
()()[]E a a A a a aE A 1)
1(11+-+-=+-. 性质2.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即()()A rank A tr =.
证明 设()X r A rank ,,λ=分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: X AX X A AX X 22λλλ====,
从而有()01=-λλ. 由此可推得结果. 性质2.9 若A 满足()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵.
证明 设0=Ax 的基础解系为r ξξξ,,,21 (其实它们都是特征值0的特征向量), 再设()0=-x E A 的基础解系为t r r r +++ξξξ,,,21 (它们都是特征值为1的特征向
量), 且n t r =+, 设矩阵(可逆)()n r r T ξξξξξ,,,,,,121 +=满足
B E AT T t =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-0001
, 而B 是幂等矩阵, 故1
-=TBT A 也是幂等矩阵.
例2.1 设B A 、都是幂等矩阵, 且BA AB =, 证明AB B A -+是幂等矩阵.
证明 由题意可知B B A A ==2
2,, 且BA AB =, 于是:
()()2
222
AB ABB ABA BAB B BA AAB AB A AB B A +---++-+=-+
ABAB AB ABA BAB B BA AB AB A +---++-+= AB AB AB BA B BA A +---++= AB B A -+=.
例2.2 设B A ，
为n 阶幂等矩阵, 且BA AB =, ()0,≠∈∀ab R b a . 证明 (1) 若()E bB aA =+2
则0==BA AB 或1±=+b a .
(2) 若()E bB aA =-2
则0==BA AB 或1±=-b a .
证明 (1) ()E bB aA =+2
, 由题设知
BA AB B B A A ===,,22,
则有
()B b abAB A a B b abBA abAB A a bB aA 2
2
2
2
2
2
2
2++=+++=+.
对上式两边同乘于B A ，
得 AB AB b abAB AB a =++222.
移项得
()
()[]
01122
2
2=-+=-++AB b a AB b ab a .
从而有()012
==+AB b a 或, 即0==BA AB 或1±=-b a .
同理可证)2(.
例2.3 设A 是n 阶实对称阵, 且A A =2, 证明∃正交矩阵T ,使得
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=-00
01r
E AT T . 证明 设ξ是属于λ的特征向量, 那么
λξξ=A ,()ξλξλλξξ22===A A A ，
又A A =2,λξξ=2
A , 从而()
02=-ξλλ,但0≠λ，所以λλ=2
，故1=λ或0，
(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故A 的特征值不是0就是1.
故∃正交矩阵T ,使得⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=-00
01r
E AT T (T 可由特征向量构造, 将A 转化为
()A Im x x Ax ∈⇔=.
（1）⇔（5） “⇒” 因为A A =2
，所以()0=-A E A .
故A E -的列向量都满足0=Ax . 从而
()()A Ker A E Im ⊆-,
又()A Ker α∈∀, 有
()()()A E Im A E A E A A -∈⇒-=-+⇒=ααααα0.
由α的任意性可知
()()A Ker A E Imf ⊇-.
综上, ()()A Ker A E Im =-.
“⇐” 对n R ∈∀α有()()()A Ker A E Im αA E =-∈-,即()()A Ker A E ∈-α. 于是有
()[]()
002=-⇒=-ααA A A E A .
由α的任意性得A A A A ==-2
20，即.
同理可证⇔=A A 2()()A E Ker A Im -=.
（1）⇔（6） 若()()A E Im A Im x -⋂∈, 即()z A E Ay x -==对某两个z y 、成立, 则
()02=-==z A E A y A x ,
故
()(){}0A E Im A Im =-⋂.
同理可证后面一个式子，从而（4）成立. 反之, 若（6）成立, 则对任一x , 有
()x A E Ax x -+=是x 的唯一分解.
但又有唯一分解
()
x A E x A x 22-+=,
又
()()
()A E Im x A E ，A Im x A 22-∈-∈，
于是对任何x 成立着x A Ax 2
=, 从而A A =2
.
（6）⇔（7） 注意到()x A E Ax x -+=对任何x 成立, 故总有()()n
R A E Im A Im =-⊕, 故(vi)与(vii)等价.
（7）⇔（8） ()()n R A E Im A Im =-⊕总是成立的. 由维数公式知
()[]()[]()n A E A A E A A E A =-+=-⋂+-+dim dim dim dim .
由性质2.8可知, 若A A =2, 则trA r A =.
另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵()0≠P P . 设11Q P A =,22Q P A E =-均为满秩分解, 则有
[]E Q Q P P =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2121,,且[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2121,Q Q P P ，均为方阵. 从而
[]E Q Q P P =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2121,， 由此可知
r E P Q =11, 021=P Q , 012=P Q , r n E P Q -=22.
于是可证明
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00
0,2121r
E P P A Q Q . 从此式还可以看出, 1P 与2P 的列向量分别是A 的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若21A A A =是满秩分解, 则A A =2当且仅当E A A =12. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:
定理2.2]4[ 设非零列向量()T
n αααα，，， 21=, 则n 阶矩阵T E A αα-=为幂
等矩阵⇔12
2221=+++=n T ααααα .
证明 “⇒”因为A A =2
, 所以
()()T
T
T
E E E αα
αααα-=--,
即
()
T T T T E E αααααααα-=+-2,
从而()
01=-T T αααα,因为α, 0≠T
α, 因此, 12
2
22
1=+++=n T
ααααα . “⇐”因为
122221=+++=n T ααααα ,
所以
()
A E E A T T T T =-=+-=αααααααα22.
推论2.1 令T E A αα-=, 其中: ()T
n αααα，，
， 21=为非零列向量. 若122221=+++=n T ααααα , 则n 阶方阵A 不可逆.
证明 设A 可逆, 则由幂等矩阵的性质可知E A =, 当12
2
22
1=+++n ααα 时, 由定理2.2可知A 为幂等矩阵, 即A A =2,但T E A αα-=, 所以T E E αα-=, 得0=T αα, 与12
2
22
1=+++n ααα 矛盾, 所以A 不可逆. 定理2.3]5[ 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则
B A +为幂等矩阵⇔0=+BA AB .
证明 因为
()BA AB B A B BA AB A B A +++=+++=+222,
所以
0=+⇔+BA AB B A 为幂等矩阵.
定理2.4 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 且BA AB =,则AB 为幂等矩阵. 证明 由题意可得 ()AB AABB ABAB AB ===2
, 即AB 为幂等矩阵.
定理2.5 若A 为幂等矩阵, 且E A ≠, 则A 不可逆.
证明 设A A =2,则有()0=-E A A . 若A 可逆, 则
1-∃A ,t s .E A A AA ==--1
1
在()0=-E A A 的两边同时乘以1-A , 得0=-E A ,即E A =. 与题设矛盾, 故A 不可逆.
定理2.6 若A 是幂等矩阵, 且E A ≠, 则矩阵方程0=Ax 有非零解.
证明 由定理2.5可知, A 不可逆, 即0=A . 故矩阵方程0=Ax 有非零解.
定理2.7 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则
B A -是幂等矩阵⇔B BA AB ==.
证明 “⇒”因为B A -是幂等矩阵, 所以
()BA AB B A B BA AB A B A B A --+=+--=-=-222,
将BA AB B +=2两边分别左乘和右乘B 得:
BBA BAB B +=22, 即BA BAB B +=2. （2.1） BAB AB B +=222, 即BAB AB B +=2. （2.2） 两式相减可得BA AB =, 从而B BA AB ==.
“⇐” ()B A B B B A B BA AB A B A -=+--=+--=-2
22
.
第三章 幂等矩阵线性组合的幂等性
3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性
设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵，对于非零复数1l ，2l ，3l 我们将讨论
332211T l T l T l T ++= （3.1）
是幂等矩阵的一些充分条件.
首先，我将给出以下2个引理。

引理3.1 设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵并且1l ，2l ，3l 是非零复数，那么（3.1）是幂等矩阵当且仅当
+-+-+-3323222
21121)()()(T l l T l l T l l 0222323231312121=++T T l l T T l l T T l l （3.2）
我们定义m m ⨯矩阵），，（321l l l ∆如下：
），，（321l l l ∆=+-+-+-332322221121)()()(T l l T l l T l l
323231312121222T T l l T T l l T T l l ++.
引理3.2 设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵并且1l ，2l ，3l 是非零复数，那么（3.1）是幂等矩阵当且仅当
，
，，，n i t l l l t l l l i i i i i i 10)1)((321321==-++++μλμλ 其中i i i t ，，μλ分别是1T ，2T ，3T 的特征值.
下面给出（3.1）是幂等矩阵的一些充分条件.
定理3.1 设1T ，2T ，3T 是3个不同的非零的两两相互可交换的m m ⨯幂等矩阵并且1l ，2l ，3l 是非零复数.如果下列情形之一成立，则（3.1）是幂等矩阵.
（1），，，21
3212211===l l l 并且）（3211T T T T +=，）（3122T T T T +=，）（2133T T T T +=； （2）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠===-=3,21
21
2121，并且）（3211T T T T +=， ）（3122T T T T +=，）
（2133T T T T +=； （3）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠===-=3,21112， 并且；k j k i j i i T T T T T T T ===
（4）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠==-=-=3,21211，
并且
j i k j i T T T T T =-+2
）（； （5）），且，，，（，，k j i k j i l l l k j i ≠≠===-=3,21111，
并且0))((=--k i j i T T T T ；
（6），，，111321===l l l 并且0323121=++T T T T T T .
证明 通过引理1知道（3.1）是幂等矩阵当且仅当），，（321l l l ∆=0. 如果（1）成立，我们有
），，（21
2121∆=）
（32312132141222T T T T T T T T T +++--- =[(41)13121T T T T T -++)(23221T T T T T -++)](33231T T T T T -+ =0.
所以在（1）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（2）成立，我们有
），，（212121-∆=）
（323121321412223T T T T T T T T T +---- =(3[41-)13121T T T T T -++)(23221T T T T T -++)](33231T T T T T -+ =0.
同理，，），，（0212121=-∆02121
21=-∆）
，，（. 所以在（2）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（3）成立，我们有
）（1,1,2-∆=1111323121124462446T T T T T T T T T T T +--+--=0. 同理，）（1,2,1-∆=0，）（2,1,1-∆=0. 所以在（3）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（4）成立，我们有
），（2,11--∆=323121321442222T T T T T T T T T --+++ =0])[(2212321=--+T T T T T .
同理，0121=--∆），，
（，0112=--∆），，（. 所以在（4）成立下，T 是幂等矩阵. 如果（5）成立，我们有
）（1,1,1-∆=32312112222T T T T T T T +-- =))((23121T T T T -+=0.
同理，01,1,1=-∆）（
，01,1,1=-∆）（. 所以在（5）成立下，T 是幂等矩阵.
如果（6）成立，我们有
）（1,1,1∆=323121222T T T T T T ++=）（3231212T T T T T T ++=0， 所以在（6）成立下，T 是幂等矩阵. 证明完毕.
3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性
定义3.1 任意矩阵m m L T ⨯∈，如果T T =3，则称T 为立方幂等矩阵. 定理3.2 设非零矩阵m m L T T T ⨯∈321，满足)3,2,1(=≠±≠j i j i T T j i ，，，
0321=T T T 且3=r ，令T 是321T T T ，， 的线性组合，即i i i T l T ∑==3
1
，22j i j i T T T T =且矩阵
T 是立方幂等矩阵的充要条件是
（1）（321l l l ）=（111） （2）（32
1l l l ）=（111---）
证明 （1）必要性
因为矩阵T 是立方幂等矩阵，所以
=3T 3
332211）
（T l T l T l ++=T l T l T l 321++ （3.3） 又
i j j i T T T T =，0321=T T T ，
所以（3.3）等价于
()
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---32133
323
2
131T T T l l l l l l +(
)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡3223212213223
212213T T T T T T l l l l l l +
(
)
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡2322312212322
312
2
13T T T T T T l l l l l l =0 （3.4）
由22j i j i T T T T =)3,2,1(=≠j i j i ，，可得
()
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---32133
32
3
2131T T T l l l l l l +(
)23232
22
313212212213l l l l l l l l l l l l +++⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡322321221T T T T T T =0.
因为)321(，，=i T i 是非零矩阵，）
（3,2,1=i l i 是非零复数，所以 （32
1l l l ）=（111）或（321l l l ）=（111---）.
（2）充分性 因为
（32
1l l l ）=（111）
， 所以
3T = =()111⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡321T T T +3()111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322321221T T T T T T +3()111⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡232231221T T T T T T +6321T T T , ()111
31l l -⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡321T T T +(
)
132
121l l ⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡322321221T T T T T T +()1311l l ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡232231221T T T T T T =0
当i j j i T T T T =，0321=T T T 时， =3T 321T T T ++=T .同理可证（2）的充分性.
第四章 幂等矩阵线性组合的可逆性
4.1 幂等矩阵线性组合的可逆性
在本节中, 我们讨论两幂等矩阵线性组合bB aA P +=的可逆性.
引理4.1]6[ 设矩阵A 是n n ⨯阶方阵, 则A 可逆(){}0=⇔A Ker .
定理 4.1 设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 即B B A A ==22,. 若存在两个非零复数b a ,, 且0≠+b a 使得bB aA +可逆, 则对所有的复数d c ,, 满足0≠+d c , 则线性组合dB cA +都是可逆的.
证明 设0,0,0,≠+≠≠∈d c d c C d c 且，.
对 ()dB cA Ker x +∈∀, 有()0=+x dB cA .
于是
dBx cAx -=. （4.1）
将上式两边依次左乘B A ,, 可得:
dBx cBAx dABx cAx -=-=,. (4.2)
由(4.1)、(4.2)可得
BAx Ax ABx Bx ==,. (4.3)
又
()22222
B b abBA abAB A a bB aA +++=+,
所以 ()Bx b abBAx abABx Ax a x bB aA 222+++=+.
将BAx Ax ABx Bx ==,代入上式可得
所以
()Bx b abBAx abABx Ax a x bB aA 222
+++=+ ()()()()x bB aA b a Bx b a b Ax b a a ++=+++=.
由于bB aA +可逆,将上式两边同时左乘()1
-+bB aA 得 ()()bBx aAx x bB aA x b a +=+=+. (4.4)
再左乘A 得:
bABx aAx bBx aAx +=+.
即ABx Ax =. 代入dABx cAx -=可得
()aABx Ax Ax d c ==⇒=+00.
注意到(4.3)式有0=Bx , 因此由(4.4)式可得
()00,
0=⇒≠+=+x b a x b a 但. 因此(){}0=+dB cA Ker . 由引理1知dB cA +是可逆的.
在定理4.1中令1==d c , 立即可以得到: 推论4.1设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 即B B A A ==2
2,. 若B A +可逆, 则C b a ∈∀,, 满足0≠+b a , 线性组合bB aA +都是可逆的.
定理4.2设矩阵B A ,均是幂等矩阵, C b a ∈∀,, 下列命题等价:
（1） B A -可逆.
（2）bB aA +及AB E -是可逆的.
证明 (1)⇒(2) 对()bB aA Ker x +∈∀
由定理4.1的证明过程知 BAx Ax ABx Bx ==,.
从而
()()022222=+--=+--=-x B BAx ABx x A x B BA AB A x B A
又 B A -可逆, 所以0=x .
即
(){}0=+bB aA Ker .
由引理4.1知 bB aA +可逆.
同样地, 对
()bB aA Ker x +∈∀()ABx x x AB E =⇒=-⇒0.
两边同时左乘A , 得
Bx BAx x ABx Ax =⇒==.
所以
()02=+--=-Bx BAx ABx Ax x B A .
又 B A -可逆, 所以0=x .
所以
(){}0=-AB E Ker .
由引理4.1知E AB -可逆.
（2）⇒（1） 对()B A Ker x -∈∀, 有()Bx Ax x B A ==-即,0
从而有
Bx BAx ABx Ax ==,.
所以
()()()x bBAB aAB bB aA x AB E bB aA +-+=-+
0=-=bBAx bBx .
推出0=x .
又bB aA +及AB E -是可逆的. 知(){}0=-B A Ker .
由引理4.1知B A -可逆. 定理证毕.
在定理4.2中令1==b a , 立即可以得到:
推论4.2设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 下列两个命题等价:
（1）B A -可逆.
（2）B A +及AB E -可逆.
4.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题
引理 4.2 设n M B A ∈,，满足B B A A t t ==,,Z t t ∈≥,1,则A 相似于B 的充要条件为A 等价于B .
引理4.3 设n M D ∈是一可对角化的矩阵族.则D 是可换族等价于D 是同时可对角化族.
定理 4 设F T T T ∈321,,,321,,c c c 为非零数，则当321T T T ++可逆时，在下述几种情况下，线性组合332211T c T c T c ++是可逆的：
（1）3,2,1,,,0=≠=j i j i T T j i ，且321,,c c c 为任意非零复数；
（2）021=T T ,031=T T ,且032≠+c c ；
（3）321T T T =,132T T T =,且0321≠++c c c ,k j i c c c ≠+,3,2,1,,=k j i ；
（4）321T T T =+,且0))((3231≠++c c c c ；
（5）33221T T T T T =+,且032≠+c c ；
（6）3121T T T T ±=,且03≠c ；
（7）)(3211T T T T +=,且0))()((133221≠+++c c c c c c ；
证明 对于幂等可换的矩阵321,,T T T ,存在可逆矩阵S ,使得321,,T T T 同时可对角化：
S T S 11-=Λ,S T S 21-=Γ,S T S 31-=∆,
且∆ΓΛ,,的对角元分别为321,,T T T 的特征值，其重数计算在内，从而可得到
11-Λ=S S T ,12-Γ=S S T ,13-∆=S S T （4.5）
进而1321)(-∆+Γ+Λ=++S S T T T .于是当矩阵321T T T ++可逆时，既有
≠0321T T T ++=1)(-∆+Γ+ΛS S =S ⋅1)(-⋅∆+Γ+ΛS =)(∆+Γ+Λ=∏=++n i i i i 1)(δμλ，
其中i i i δμλ,,分别为矩阵∆ΓΛ,,的对角元.另一方面三次幂等矩阵的特征值只有1,1,0-.
因此
(1)当3,2,1,,,0=≠=j i j i T T j i 时，由等式(4.5)可知，0,0,0=∆Λ=Γ∆=ΛΓ,于 是每行对应的数对),,(i i i δμλ只可能为(O ，0，1)，(O ，1，O)，(1，0，O)，(O ，0，一 1)，(O ，一 1，O)， (一 1，0，O)．所以对任意非零数321,,c c c ，矩阵 332211T c T c T c ++都是可逆的 ；
(2)当021=T T ，031=T T 时，即0,0=Γ∆=ΛΓ,对应的数对),,(i i i δμλ最多有以下可能:(0，0，一 1)，(O ，一 1，O)，(一 1，0，O)，(0，0，1)，(O ，1，O)，(1，0，O)，(0，1，1)，(O ，一 1，一 1).此时只要非零数321,,c c c 满足032≠+c c ，矩阵332211T c T c T c ++即是可逆的；
同理可证(3)(4)(5)(6)(7).
证毕.
小结
幂等矩阵是一种特殊的矩阵，它在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，且具有较好的性质和实际应用，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用；在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决.
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.本文首先对幂等矩阵的一些基本概念的介绍，接着对幂等矩阵的相关性质和等价命题进行归纳总结并做简单的推广.最后本文研究了幂等矩阵的幂等性和线性组合的可逆性有关的性质.
方法的运用在于灵活，很多方法都是相通的.一种方法本身的价值是有限的，更有意义的是讲方法进行推广，以解决更多的问题.通过研究幂等矩阵，不仅是我掌握了很多方法，更重要的是培养了我的数学思维，让我对幂等矩阵有了更深刻的认识.我认为这是最宝贵的收获.
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[10] Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An adjoint matrix of real idempotent matrix [J]. of Math. Research & Exposition, 1997, 17(3): 335-339.
谢辞
经过近两个月的努力，本论文终于在我的指导老师田老师的悉心指导下完成了，在写论文的过程中，从论文的选题，查找资料，拟定提纲，确定论文以来，尽管我遇到了很多的困难，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了。

从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。

如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感，但更多的是怀着一颗感恩的心，谢谢老师给我的悉心指导，谢谢各位前辈写出的论文，让我的思路豁然开朗，谢谢各位同学的鼓励，在我迷茫的时候，告诉我放轻松，有一个好的心态才能写出更好的论文，还要感谢我的家人和朋友，他们的关心和支持是我最大的财富和动力。

最后，我要特别感谢田老师。

是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业论文的撰写，在此表示衷心的感激。

老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。

他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢老师耐心的辅导。

最后的最后，衷心地感谢在百忙中评阅论文的各位老师、专家、教授！。