幂等矩阵的性质研究

滨州学院

毕业设计（论文）

题目幂等矩阵的性质研究

系（院）数学系

专业数学与应用数学

班级2010级1班

学生姓名崔世玉

学号1014070124

指导教师田学刚

职称讲师

二〇一四年六月十日

独创声明

本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：

二〇一四年月日

毕业设计（论文）使用授权声明

本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。

本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。

（保密论文在解密后遵守此规定）

作者签名：

二〇一四年月日

幂等矩阵的性质研究

摘要

幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。

关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩

Research on the properties of idempotent matrix

Abstract

Idempotent matrix is a very special class of matrices, which having important applications not only in matrix theory, but also in many other fields .The main content of the paper is to investigate the properties of idempotent matrix and its application.Firstly, the properties of idempotent matrix are analyzed and promoted.By using the category talk and the idempotent matrix idempotency of linear combinations.In some conditions three idempotent matrices the necessary and sufficient conditions in which the linear combination is also idempotent are given.The last research idempotent matrix of the linear combination of reversibility, gives its reversible specific features.In this paper, the research content to enrich the idempotent matrix related conclusions, which is helpful for the application of matrix in other areas.

Key words: idempotent matrix; linear combination; invertible matrix; rank matrix

目录

第一章幂等矩阵的概述 (1)

1.1研究背景 (1)

1.2基本概念介绍 (2)

第二章幂等矩阵的性质 (4)

2.1幂等矩阵的主要性质 (4)

2.2幂等矩阵的等价命题 (7)

第三章幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)

3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性 (12)

3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性 (14)

第四章幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)

4.1 幂等矩阵线性组合的可逆性 (16)

4.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题 (18)

小结 (20)

参考文献 (21)

谢辞 (22)

第一章幂等矩阵的概述

1.1研究背景

幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵.幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用.近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域.幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础.广义逆的思想可追溯到1903年(E.) i. Fred Holm的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D. Hilbert broadly 在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H. Moore在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展.曾远荣在1933年，F.J. Murray 和J. von Neumann在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E. Greville, C.R. Rao和其他人也作出了重要的贡献.1955年，Penrose证明了存在唯一的+

=A

X满足前述性质①～④，并以此作为+A的定

义.1956年，R. Colorado证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+

A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[2]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明.然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质并对幂等矩阵进行深入研究。