实数(实数的概念运算及大小比较)

实数（实数的概念、运算、及大小比较）
一. 教学内容：
第一单元实数（实数的概念、运算、及大小比较）
二. 教学目标：
1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．
（1）了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

（2）会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
（3）画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。

2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。

（1）了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

（2）了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。

（3）了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

（4）了解计算器使用的基本过程。

三. 教学重点和难点：
1. 有理数、无理数、实数、非负数概念；
2. 相反数、倒数、数的绝对值概念；
3. 在已知中，以非负数a2、|a|、（a≥0）之和为零作为条件，解决有关问题。

4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。

四. 课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：实数分类
方法（1），
方法（2）
注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数是无理数
知识点2：实数的有关概念
（1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意1：上述规定的三要素缺一个不可，2：实数与数轴上的点是一一对应的，3：数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数．）
（2）相反数
实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）．注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
（3）绝对值
注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
（4）倒数
实数a（a≠0）的倒数是（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；
注意：零没有倒数．
知识点3：平方根、算术平方根、立方根
若x2＝a，则x叫做a的平方根。

记作，而正的平方根叫做算术平方根
知识点4：零指数、负整指数幂
a0＝1（a≠0）；（a≠0）
知识点5：科学记数法、近似数、有效数字
把一个数写成a×10n（1≤a＜10，n是整数）的形式
一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字
知识点6：三种重要的非负数（绝对值、偶次方、算术平方根）
知识点7：常见的几种无理数（开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数）
知识点8：实数的运算
实数的运算法则
（1）加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。

取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。

（2）减法
（3）乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即
（4）除法
（5）乘方
（6）开方如果x2＝a且x≥0，那么；如果x3＝a，那么
在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面的．
实数的运算律：
（1）加法交换律 a＋b＝b＋a
（2）加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
（3）乘法交换律 ab＝ba．
（4）乘法结合律（ab）c＝a（bc）
（5）分配律 a（b＋c）＝ab＋ac
其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．
知识点9：实数的大小比较（常见的方法－数轴比较法；差值比较法；商值比较法；绝对值比较法）
【典型例题】
例1 判断题：
（1）两有理数的和、差、积、商是有理数；
（2）有理数与无理数的积是无理数；
（3）有理数与无理数的和、差是无理数；
（4）小数都是有理数；
（5）零是整数，是有理数，是实数，是自然数；
（6）任何数的平方是正数；
（7）实数与数轴上的点一一对应；
（8）两无理数的和是无理数。

解：（1）对（2）不对（3）对（4）不对（5）对（6）不对（7）对（8）不对
例2 选择题：
（1）如果a是实数，下列四种说法：
①和都是正数，
②，那么ａ一定是负数，
③a的倒数是，
④a和的两个数表示的点分别在原点的两侧，
其中正确的说法有（A）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
（2）下列说法中，正确的是（B）
A. |m|与－m互为相反数
B. 与互为倒数
C. 1998.8用科学记数法表示为1.9988×102
D. 0.4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50
（3）近似数1.30所表示的准确数A的范围是（C）
A. 1.25≤A＜1.35
B. 1.20＜A＜1.30
C. 1.295≤A＜1.305
D. 1.300≤A＜1.305
（4）20**年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元，136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为（B）
A. 元
B.元
C. 元
D.元
例3 填空题：
（1）下列各数中：
，0，，，1.101001，，，
，，2，.
有理数集合{ …}；正数集合{ …}；
整数集合{ …}；自然数集合{ …}；
分数集合{ …}；无理数集合{ …}；
绝对值最小的数的集合{ …}；
解：略
（2）无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数_______、_______．
（3）观察下列数表：
1 2 3 4 …第一行
2 3 4 5 …第二行
3 4 5 6 …第三行
4 5 6 7 …第四行
第第第第
一二三四
列列列列
根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___11___，第n行（n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为____2n－1_____．
（4）已知：，，，……，若
（a、b都是正整数），则a＋b的最小值是_ 19____．
例4 有条件化简：
①当1＜a＜2时，化简；
②a，b，c为三角形的三边，化简；
③如图，化简。

解：①因为1＜a＜2所以
原式＝
②因为|a＋b－c|＝a＋b－c |a－b－c|＝b＋c－a
所以原式＝a＋b－c＋b＋c－a＝2b
③
例5 无条件化简：
化简
解：步骤①找零点；②分段；③讨论。

①当m＜－2时＝－m－2＋3－m＝－2m＋1
②当－2≤m≤3时＝m＋2＋3－m＝5
③当m＞3时＝m＋2＋m－3＝2m－1
例6 阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20**20**和20**20**的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。

通过计算，比较下列①——⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号＝
①1221；②2332；③3443；
④4554；⑤5665；⑥6776；⑦7887
（2）对第（1）小题的结果进行归纳,猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系是
（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20**20**20**20**
解：（1）＜＜＞＞＞＞＞
（2）当n＜3时，n n＋1＜（n＋1）n
当n≥3时，n n＋1＞（n＋1）n
（3）20**20**＞20**20**
例7 计算：
（1）
（2）
解：（1）原式＝3－1＋4×＋
＝4＋
（2）0.3－1－（－）－2＋43－3－1＋（π－3）0＋tg230°
＝－36＋64－＋1＋＝
分析：本题运用方根的概念，零指数幂的法则，负整数指数幂的法则，特殊三角函数值，分母有理化等知识加以计算。

例8 化简：
分析：这道题隐含着a＜0是解此题的关键，而a＜0时，|a|＝－a，这一点是该题错误
的根本原因，另外，在化简时，注意计算步骤要严谨。

解：原式＝－a－a2×（－）＋（－a）＝－a
例9 若|a|＝3，，ab＜0，则a－b＝
分析：本题主要是运用绝对值的意义、二次根式成立的条件等数学知识。

解：因为|a|＝3 所以 a＝3 或a＝－3
b＝4
又因为ab＜0所a＝－3，b＝4所以a－b＝－7
拓展：此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题。

如计算：
（1）当时，＝。

（2）若互为相反数，则a20**a20**＝。

例10 已知：值
解：因为x＝所以x2＝
例11 给出下列算式：
32－12＝8＝8×1
52－32＝16＝8×2
72－52＝24＝8×3
92－72＝32＝8×4
……
观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。

解：
（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n （n取正整数）
预测：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。

同时可考查观察能力和抽象概括能力，渗透着从特殊到一般的辩证关系。

该题是通过观察给出的运算，找到反映其规律的表达式。

这是中考中的热点问题，此类问题不仅考查对知识的掌握，同时考查观察分析的能力。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题
1. 下列说法正确的是（）
A. 无限小数都是无理数
B. 无理数都是无限小数
C. 带根号的数都是无理数
D. 不带根号的数一定不是无理数。

2. 和数轴上的点一一对应的数是（）
A. 整数
B. 有理数
C. 无理数
D. 实数
3. 若2a与1－a互为相反数，则a等于（）
A. 1
B. －1
C.
D.
4. 当＝－a时，实数a在数轴上对应的点在（）
A. 原点右侧
B. 原点左侧
C. 原点或原点的右侧
D. 原点或原点的左侧
5. 代数式＋＋的所有可能的值有（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 无数个
6. 下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负；
（2）两数之积为1，那么这两数都是1或都是－1；
（3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值较大；
（4）一个实数的偶次幂是正数，那么这个实数一定大于零，
其中错误的命题的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二. 填空题
7. 0的相反数是，3－л的相反数是，的相反数是；－л的绝对值是，0的绝对值是，的倒数是
8. 把下列语句译成式子：
（1）a是负数
（2）a、b两数异号
（3）a、b互为相反数
（4）a、b互为倒数
（5）x与y的平方和是非负数
（6）c、d两数中至少有一个为零
（7）a、b两数均不为0
9. 数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为
10. 20**年底国家统计局公布我国总人口129999万人，如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为亿人。

11. 若（x－1）x＋2＝1，则x的值是。

12. 我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率π方法的人，他求出π的近似值是3.1416，如果取3.142是精确到位，它有个有效数字，分别是。

13. 我国的国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法表示为平方千米。

14. 若n为自然数时，（－1）2n＋1＋（－1）2n＝.
15. 已知：｜x|＝4，y2＝且x＞0,y＜0，则x－y＝。

16. 若a，b满足，则的值是
三. 实验、操作题
17. 数轴上作出表示，，的点。

四. 解答题
18. 已知等腰三角形一边长为ａ，一边长为ｂ，
且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。

求它的周长。

19. 若3，ｍ，5为三角形三边，化简：
20. 已知x、y是实数
【试题答案】
1. B
2. D
3. B
4. D
5. A
6. C
7. 0；；2；π；0；。

8. （1）a＜0 （2）ab＜0 （3）a＋b＝0 （4）ab＝1 （5）
（6）cd＝0 （7）ab≠0
9. 2或－4
10. 13.00
11. －2，0，2
12. 千分；4 ； 3，1，4，2
13. 9.6×106
14. 0
15.
16. －1
17. 略
18. 解：由题意得
所以第三边为6,而不能为3
所以它的周长为15
19. 解：由题意得：2＜m＜8
∴|2－m|＝m－2 |m－8|＝8－m
∴原式＝|2－m|－|m－8|＝m－2－（8－m）＝2m－10 20. 解：∵＋y2－6y＋9＝0
∴＋（y－3）2＝0
∴
∴－4a＋4＝3
∴a＝。