华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理

垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦

（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条

弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长

圆中处理问题的思路

①找圆心，连半径，转移边；

②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．

补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容

①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；

③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．

➢ 精讲精练 一选择题：

1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的

是（ ） A ．CM =DM

B ．CB ︵=BD ︵

C ．∠AC

D =∠ADC

D ．OM =MD

2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD 为10，截面圆圆心A 到水面的距离AE 为6，则水面宽CD 的长为（ ）

A ．16

B ．10

C ．8

D ．6

第2题图第3题图

3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（）

A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE 4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（）

A．70°B．35°C．30°D．20°

二填空题

1、如图，⊙A的弦CD垂直平分半径AB，若CD=6，则⊙A的半径为_________．

2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测

得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm．

A B

C D

R

O

第/2题图 第3题图

3. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为

__________．

4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙

O 的半径为2，AB

=，则∠BCD =_______．

A

D

B O E C

5. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，

ED =3，则⊙O 的半径是__________．

7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵

），点O 是这段弧的圆心且∠AOB =90°，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．

B

D C O

A

8、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．

E

A

C

D B O

9、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知

AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．

C

D B

O

A

D

O

E

B

C A

第/9题图 第10题图

10、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________

11、如图，CD 是圆A 的弦，CD 长为8，B 是圆上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，则EF=________________

11、（中位线）如图，定长弦DF 在以BC 为直径的圆A 上滑动（D,F 不与点B,C 重合）G 是弦DF 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E,连接EG ,若DF=3,BC=8，则EG 的最大值是_________________

12、如图，将半径为4厘米的圆A折叠后，圆弧BC恰好经过圆心，则折痕BC 的长是__________________

三、解答题

⊙的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，1、（分类讨论）已知O

求AB，CD之间的距离．

2、（垂径定理+中位线）如图，BC是圆A的直径，弦BD=5,AE⊥CD于点E，求AE的长

3、（垂径定理+30°所对的直角边等于斜边的一半）如图，∠PAC=30°，在射线

AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，求线段EF 的长

P

F

E C B O

D

A

4、（垂径定理+等积式）如图，∠A=90°，以AB 为半径的圆A 与BC 相交于点D ，若AB=3,AC=4,求CD 的长

5、如图，已知BC 为圆A 的直径，弦EF 交BC 于点D ，∠CDF=30°，AD=4，DE=35，求弦EF 及圆A 的半径长