二次函数的应用

二次函数的应用

【问题探索】

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

答案：设降价x 元时利润最大，则每星期可多卖18x 件，实际卖出（300+18x)件，销售额为 (60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润

)18300(40)18300)(60(x x x y +-+-=

)200(600060182

≤≤++-=x x x 当352=-

=a b x 时，605060003

56035182=+⨯+⨯=）（最大y 【新课引入】

提问：

1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？

2、由上给出引例：

引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？

对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。

答案:如图，水平面所在的直线为x 轴，以甲学生身体所在的垂线为y 轴，建立直角坐标系。

Θ甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，

距地面均为1米

∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（4,1）

学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米

∴点C 的坐标为（1,1.5）。

设抛物线为12

++=bx ax y ，

把B （4,1）和C （1,1.5）代入上式的，11416=++b a ，5.11=++b a 解得：61-

=a ，32=b ，所以抛物线为13

2

612++-=x x y ； 又Θ学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，

∴当5.2=x 时，625.113

2

612=++-

=x x y 学生丁的身高为1.625米。

总结：1、要解决这个实际问题，关键是如何建立直角坐标系；

2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；

3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；

4、用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。

【总结归纳】

一、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。

（1）求解析式的一般方法：

①已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式)0(2

≠++=a c bx ax y ；

②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式

2()(0)y a x h k a =-+≠；

③已知图象与x 轴的两个交点的横坐标为x 1、x 2， 通常选择交点式

)0)()((21≠--=a x x x x a y （不能做结果，要化成一般式或顶点式）。

（2）求交点坐标的一般方法：

①求与x 轴的交点坐标，当0=y 代入解析式即可；求与y 轴的交点坐标，当0=x 代入解析式即可。

②两个函数图象的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。

二、二次函数常用来解决最优化问题

对于二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y ，即a b ac a b x a y 44)2(22-++=，当a

b x 2-=时，函数有最值a

b a

c y 442-=。最值问题也可以通过配方解决，即将2

(0)

y ax bx c a =++≠配方成2

()(0)y a x h k a =-+≠，当h x =时，函数有最值k y =。

三、二次函数的实际应用包括以下方面：

（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。

（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。

四、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。

从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：

【精选例题】

（一）利用二次函数求最值——销售问题

例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价

格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解析：设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化．我们先来确定y 随x 变化的函数式．涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出（300－10x ）件，销售额为( 60＋x )( 300－10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x )。

根据题意得：)10100(40)10300)(60(x x x y ---+=

6000100102++-=x x y 其中，0≤x ≤30.

配方得，6250)5(102

+--=x y

当5=x 时，商品定价为6560=+x 元，才能获得最大利润，最大利润为6250。

例2、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可

以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x 元．求：

（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式． （2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 解析：（1）1060x

y -

=， （2）z ＝)200)(1060(x x +-＝－101

x 2+40x+12000

(3)W=)200)(1060(x x +-－20)1060(x -＝－10

1

（x-210）2+15210。

当x ＝210时，W 有最大值。最大值为15210。

前思后想：

1、以上两题与实际生活联系起来，这是运用二次函数及性质解决实际问题．解答这类问题，关键是要通过分析题意，运用二次函数及性质知识建立数学模型；

2、把费用用关于未知数的代数式表达出来，把实际问题转化到数学模型上来。

3、解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程。 牛刀小试：

1、某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元出售时，每天可销售100件．现在他想采取提高售出价的办法来增加利润，已知这种商品每件提价1元时，日销售量就减少10件．问：他的想法能否实现？如果能，他把价格定为多少元时，才能使每天的获利最大？每天的最大利润是多少？如果不能，请说明理由．

2、有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.