_解决一类椭圆切线有关的轨迹问题的策略探究——以2014年高考数学广东卷文_理科第20题为例

解 题 研 究

J I E T I Y A N J I U

解决一类椭圆切线有关的轨迹问题的策略探究

—以 2014 年高考数学广东卷文 / 理科第 20 题为例

赵银仓 （广 省 莞市 莞中学）

摘要：从不同 面 的两条切 相交 生的

交点 迹 展开分析， 找适 学生思 的表征方式，突破 的障碍， 化解决的策略，以提高学生分析 与解决 的能力及思 能力.

关键词： 切 ； 迹 ；策略探究

2014 年高考数学广东卷文 / 理科第 20 题：已知椭

圆 C ： x 2 + y 2

= 1（a > b > 0）的一个焦点为（姨5 ，0），

a 2

b 2

离心率为 姨5

.

3

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）若动点 P （x 0，y 0）为椭圆 C 外一点，且点 P

到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.

立二者的方程，减元化 一元二次方程利用判 式 0 来

化. 因此 用恰当的方式表示切 的方程，在已知切 点 P 的情况下， 其斜率是常用策略.

解法 1：当过点 P （x 0 y 0

， ）的两条切线斜率存在时， ） 则切线方程可统一设为 y - y 0 = k （x - x 0 .

x 2 y 2

2 2

联立椭圆方程 + = 1，消去 y ，得（4 + 9k ）x +

9 4 （ （ 2

）

- 36 = 0.

18k y 0

- kx 0）x + 9 y 0

- kx 0

判别式

2 2

2

（

2

2

= 18 k （y 0

）

）［（

）

-

- kx

- 36 4 + 9k y 0

- kx 0

4］= 0，

化简，得（y 0 - kx 0）2 - 9k 2 - 4 = 0，即（x 20 - 9）k 2 - 2x 0y 0k + y 20 - 4 = 0.

y 2

- 4 依题意，得 k 1·k 2 =

= -1，

x 20 - 9

这是关于椭圆的两条切线相交产生的交点轨迹问 即 x 02 + y 02 = 13.

题，绝大多数学生不能有效地表征问题，找不到合理

当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图象

的解决途径，或有一点思路却无法实施解题计划. 下 （ 略） 得 P 是直线 x = -3，x = 3，y = 2，y = -2 的

面从不同层面对问题展开分析，寻找适应学生思维状 四个交点，都满足 x 02 + y 02 = 13， 况的表征方式，突破问题的障碍，优化解题策略，提

故点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 13.

升思维能力.

解法 2：同解法 1，由判别式 = 0，得（y 0 - kx 0） -

2

一、策略探究

9k 2 - 4 = 0.

姨 k 姨 k 2 ，

- - 4 = 0 容易得到椭圆 C 的标准方程为 x 2 + y 2 = 1，难点 0

2

2

0. 在于第（）问的解决策略探究 9 4

即（y 0k + x 0） - 9 - 4k =

.

以上二式相加，可得 x 02 + y 02 = 13.

2

下同解法 1，略.

策略 ：引入斜率表示切线方程，用判别式来确

1

定位置关系.

【评析】引入斜率作为参数，可方便地表示出切线 分析：解决 曲 与直 相切 的通法是

方程，判别式为 0 揭示二者相切的本质. 解法 1 基于

收稿日期：2014—09—15

作者简介：赵银仓 （1963—），男，中学高 教 ，主要从事高中数学教育及教学研究．

2015 年第 1—2 期

107

解题研究

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对两条切线具有相同的性质，它们的斜率适合同一个方程这一隐性条件的挖掘；而解法2 则应用了类比推理，在得到两个方程的情况下，结合方程组的特点整体消参. 两种解法异曲同工，运用设参，消参，化简这一思维策略.

策略 2：联立两条切线方程，采用整体消参策略.

分析：的著特点“点 P 到 C 的两条切

相互垂直”，可化“点P 为椭圆 C 的两条相互垂直切的交点”，引入其中一条切的斜率参数来表示两条切的方程，立方程求解.

解法 3：由解法 1 知，= 0，

（kx0 - y0）2 - 4 - 9k2 = 0.

所以 kx0 - y0 = ±姨4 + 9k2 .

因为过点 P（x ，y）的切线方程为 y - y = k（x - x），

0000 即 y - kx = y0 - kx0，

所以一条切线方程为 y = kx ±姨4 + 9k2，

即 y - kx = ±姨4 + 9k2 .

同理，另一条切线方程为 y = - k 1

x ±姨4 +

k 9

2，

即 x + ky = ±姨4k2 + 9 .

以上二式平方相加，得

（1 + k2）（x2 + y2）=（1 + k2）（4 + 9），

即 x2 + y2 = 13.

下同解法 1，略.

【评析】联立两条切线的方程就可用斜率表示点P 的坐标，即得动点P 的参数方程. 事实上，观察两条切线方程的结构特征，就能整体消掉斜率求得普通方程，即用交迹法来求动点的轨迹方程.

策略 3：以切点坐标为参数，运用导数突破难点.

分析：比抛物，可通数求得其上一点

的切的斜率，因而先研究用数来表示上任一点的切的斜率.

引理：过椭圆x

2 +

y

2= 1 上的任一点 M（x1，y1） a2 b2

作椭圆的切线，则该切线方程为 b2x1x + a2y1y = a2b2.

引理的证明可从如下二个角度来思考.

思路 1：用通法证明，通过联立方程让判别式为0 来推理论证.

当切线的斜率 k 存在时，设过点 M（x1，y1）的切线方程为 y - y = k（x - x），

1 1

联立椭圆方程

x2 y2 2 2 2 2

+ = 1，消去 y，得（b + a k）x +

a2 b2

2 ） 2 2 2 2

（）- a b = 0.

2a k（y1 - kx1 x + a y1 - kx1

2 2 2 2 2

= 0.

整理得（x1 - a）k - 2x1y1k + y1 - b

2 （ 2 2 2

当 x1≠±a 时，经验证））（-

1 =（2x1y1 - 4 x1 - a y1

2 2 2 2 2 2 2

0.

b）= 4（b x1 + a y1 - a b）=

解得 k = x1y1 .

x12 - a2

又因为x12 + y12 = 1，

a2 b2

可得 a2 - x12 = a2y12 .

b2

2

所以 k = - b x1 .

2

a y1

所以过点 M 的切线方程为 y - y1 = - b2x1 ），

a y1

即 b2x1x + a2y1y = a2b2.

当 x1 = ±a 时，y1 = 0，此时斜率不存在，切线方程为 x = ±a 也适合.

综上，过点 M 的切线方程为 b2x1x + a2y1y = a2b2.

思路2：用导数的几何意义证明，即导数表示在

该点处曲线的斜率. 不过要注意在椭圆方程中将 y 理解为 x 的隐函数，方可求导.

由椭圆的方程

x2

+

y2

= 1，得

1

y2 = 1 -

1

x2.

a2 b2 b2 a2 两边分别看成关于 x 的函数，求导，b

2

2 y·y′ = - a

2

2 x，

即y′ = -

b

2

x

（y1≠0）.

a2y

以下同思路 1，略.

解法 4：过点 P 引椭圆 C 的两条切线，设切点分

），（，）

别为 A（x1，y1 B x2 y2 .

则切线 PA 的方程为 4x1x + 9y1y = 36，

切线 PB 的方程为 4x2x + 9y2y = 36.

，），

因为切线 PA，PB 都过点 P（x0 y0

所以 4x0x1 + 9y0y1 = 36，4x0x2 + 9y0y2 = 36.

又因为x12 + y12 = 1，x22 + y22 = 1，

4

9 9 4

≠

≠4x0

x + 9y0y = 36，

所以（，），（，）都是方程组 2 2

y

≠

4

≠ 9