求下列微分方程的通解
常微分方程练习题
常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。
2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。
求微分方程
1.求微分方程(x²+y²)dx-xydy=0的通解。
答:这是一阶齐次微分方程(x^2+y^2)dx-xydy=0dy/dx=(x²+y²)/(xy)dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)令u=y/x则dy=du*x+dx*udy/dx=(du/dx)*x+u代入得(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/udu/dx=1/(xu)u*du=dx/x两边积分得(1/2)u²=lnx+C将u=y/x回代(1/2)(y/x)²=(lnx)+Cy²=2x²((lnx)+C)这是该微分方程的通解~2.求微分方程y′-ytanx=secx,y(0)=0的特解。
答:属于一阶线性微分方程e^(∫ -tanxdx) = e^(ln(cosx)) = cosx(y*cosx)' = cosx*secx =1ycosx = x +C y(0)=0 C=0y =x/cosx3.求微分方程yy″+2y′²=0的通解。
解：设y'=p,则y''=pdp/dy∴p(ydp/dy-p)=0∴ydp/dy-2p=0∴dp/p=2dy/y∴y'=C1y∴y=C2e^(C1x) (C1,C2是积分常数)故通解是y=C2e^(C1x)。
4. 求微分方程y ″-5y ′+6y=xe ²x 的通解。
5. 设一平面垂直于平面z=0,并通过从点(1,-1,1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线，求此平面方程。
解：平面z=0就是xoy 平面，所求平面垂直于z=0，说明所求平面平行于z 轴(即垂直于xoy 平面)。
直线L ：y-z+1=0，x=0，是在yoz 平面内的一条直线；将其方程改写成标准形式就是：x/0=(y+1)/1=z/1，其方向数为{0，1，1}；为了求出从点M(1，-1，1)到直线L 的垂直线的方程，先 作一平面过点M(1，-1，1)且垂直于L ，那么这个平面方程应为0×(x-1)+1×(y+1)+1×(z-1)=0，即 y+z=0 (1)再求已知直线L 与平面(1)的交点N 。
华工高数第10章答案
第十章 微分方程作业20 微分方程基本概念1．写出下列条件所确定的微分方程：（1）曲线在点),(y x M 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段MQ 被y 轴平分； 解：法线方程为()1Y y X x y -=--'，法线与x 轴的交点0,Y X x y y '=⇒=+ 由已知02022x X x x y yy y x '+++'==⇒+= （2）曲线上任意点(,)M x y 处的切线与线段OM 垂直； 解：切线的斜率为y '，线段OM 的斜率为yk x= 由已知1,yy yy x x''⋅=-⇒=- （3）曲线上任意点(,)M x y 处的切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2a ．解：切线方程为()Y y y X x '-=-，M 点与原点的连线为y Y X x= 切线与x 轴即直线0Y =的交点，0,y Y X x y =⇒=-'由已知()222221,2,22y y y x a xy a xy a y y y y ⎛⎫'⋅-=⇒-=±±= ⎪''⎝⎭2.．求曲线簇12e e x x xy C C -=+ ),(21为任意常数C C 所满足的微分方程． 解：由已知，两边对自变量x 求导12e e x x y xy C C -'+=- 两边再对自变量x 求导122e e2xxy xy C C y xy xy -''''''+=+⇒+=3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件． 解：由已知，(),00dvmmg kv v dt=-=作业21 可分离变量的微分方程1．解微分方程)(2y y a y x y '+='-． 解：微分方程即2()dy y ay x a dx-=+ 分离变量2dy dxy ay x a=-+ 两边积分()()1111dx ady d ay x a ay ay ay ay ⎛⎫==- ⎪+--⎝⎭⎰⎰⎰ 从而()ln lnln ln 111ay acy acyx a c x a ay ay ay +=+=⇒+=--- 2. 求解初值问题：(1e )tan 10,x y y -'++= 0πx y ==． 解：微分方程即(1e )tan 1xdyydx-+=- 分离变量sin cos 1exydy dxy -=-+ 两边积分()1cos cos 1e 1e 1e x x x x xd e d y dx e dxy -+-=-=-=-+++⎰⎰⎰⎰从而()()ln cos ln 1ln cos 1x xy e c y c e -=-+-⇒=+由0πx y ==，()()011cos 12,cos 122xc ec c y e π=+=⇒=-=-+ 3．当0→∆x 时，α是比x ∆高阶的无穷小量，函数)(x y 在任意点处的增量21x xy y +∆=∆+α，且(0)πy =，求)1(y ． 解：由已知21y y x x ∆=∆+，从而20lim 1x dy y y dx x x ∆→∆==∆+ 分离变量21dy dx y x =+ 两边积分arctan 2ln arctan ln 1xdy dx y x c y ce y x =⇒=+⇒=+⎰⎰ 由0πx y ==，arctan0arctan ,x cec c y e πππ==⇒==4．解微分方程y y y x ln ='． 解：微分方程即ln dyxy y dx= 分离变量ln dy dxy y x=两边积分ln ln ln ln ln ln ,ln ln cx dy d y dxy x c y cx y e y y y x==⇒=+⇒==⎰⎰⎰ 5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程． 解：由已知()()23,y Y y y X x '=-=- 当00,,2,2Y dyX Y y xy y y xy y x y dx+''==-=⇒-==- 分离变量dy dxy x=- 两边积分ln ln ln dy dx cy x c y y x x=-⇒=-+⇒=⎰⎰ 由23x y ==，63,6,2c c y x=⇒== 6．设有连接)1,1()0,0(A O 和的一段向上凸的曲线弧OA ,对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程． 解：设曲线为()y f x = 由已知()()()201,00,11222xy xy y t dt xy x y y y x '+-===⇒-=⎰微分方程即222,xy y y xy y x x x x ''-⎛⎫'-=-==- ⎪⎝⎭从而()()2,2ln 2ln y dx y x x c x c x x x=-=--=-⎰ 由11x y ==，()12ln1,1,12ln c c y x x =-⇒==-，作业22 齐次方程1．解微分方程xy y y x ln ='． 解：令,yu x=则,y ux y u xu ''==+ 微分方程x y y y x ln ='，即ln ln y yy u u u xu x x ''===+()ln 1du u u xdx -=，分离变量()ln 1du dx u u x=- 两边积分()()ln 1ln 1ln 1d u du dxu u u x -==--⎰⎰⎰()1ln ln 1ln ln ,ln1,cx yu x c cx y xe x+-=+=+=2．求解初值问题(d 0(0),(1)0y x x y x y -=>=．解：令,yu x=则,y ux y u xu ''==+微分方程dy dx =，即y y u u xu x ''=+=+=+du xdx =dxx =，两边积分dx x =⎰ (2ln ln ln ,u x c y cx =+=由(1)0y =，20,1,c c y x =⇒=+=3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：（1）2d ()d yx y x=+； 解：令222,11,,11du du du u x y y u dx dx dx u u'=+⇒=+=+⇒==++⎰⎰ ()arctan ,tan u x c y x c x =+=+-（2） 51+++-='x y x y y ；解：令,x X a y Y b =+=+，则15dY Y X b a y dX Y X b a -+-+'==++++ 再令10,503,2b a b a b a -+=++=⇒=-=-，2,3x X y Y =-=-再令2111,,111u u u Y uX Xu u Xu u u u u ----''=⇒+==-=+++ 从而()22211,111u du u dX du u u u X +⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ ()()22arctan 2211ln 1arctan ln ln ,122u u u X c e cX u -++=--=+ ()()32arctan22223y x ec x y +-+⎡⎤=+++⎣⎦（3）1)2(2='+y y x ．解：令2u x y =+，则22222121u u y u u +''=+=+=，分离变量222u du dx u =+，两边积分22222u du dx u x c u +-=⇒=++⎰⎰2,2x y x c y c +=+-= 4．求曲线()y y x =，使它正交于圆心在x 轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）．解：可设在x 轴上且过原点的任何圆为()222x a y a -+=，则()22222,,220,2x y a xx y ax a x a yy y x y+-''+==-+==由已知曲线()y y x =应满足222222y y xyy x y a x y xx x'=-=-=-+--- 令,y u x =则()()2322212,,,111u du u u u dxy ux y u xu xu u u xu u -+'''==+===--+， ()()222212,ln ln 1ln ln 1u u dx du u u x c xu u +-=-+=++⎰⎰ ()22222,1,1u yy cx cx y c x y u x x ⎛⎫==+=+ ⎪+⎝⎭作业23 一阶线性微分方程1．解微分方程d sin d y y x x x x+=． 解：对照标准的一阶线性微分方程()()d ,d yP x y Q x x+= ()()()()()1sin ,,P x dx P x dx x P x Q x y e Q x e dx C x x -⎡⎤⎰⎰⇒===+⎢⎥⎣⎦⎰ 111ln ln ln sin sin sin dx dxx x x x x x x x y e e dx C e e dx C e xdx C x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰1cos sin C x xdx C x x-⎡⎤=+=⎣⎦⎰ 2．解微分方程 2d 32d yx y x x x +=++． 解：微分方程即()2d 32,d xy x x x=++ ()23221313322,23232c xy x x dx x x x c y x x x =++=+++=+++⎰ 3．解微分方程 2d (6)20d y y x y x -+=． 解：观察发现，微分方程等价为2d d 3620,,d d 2x x y y x yx y y y -+=-=- ()()()()()3,,2P y dy P y dy y P y Q y x e Q y e dy C y ---⎡⎤⎰⎰⇒===+⎢⎥⎣⎦⎰ 333ln 3ln 22dy dy y y y y y y x e e dy C e e dy C ----⎡⎤--⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2333211222y y dy C y C Cy y y ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰4．求解初值问题d tan sec d yy x x x-=，00x y ==． 解：对照标准的一阶线性微分方程()()d ,d yP x y Q x x+= ()()tan tan tan ,sec ,sec xdx xdx P x x Q x x y e x e dx C ---⎡⎤⎰⎰⇒=-==⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ ln cos ln cos sec cos x xx cy e x e dx C x-+⎡⎤=⋅+=⎣⎦⎰，由00x y ==，cos xy x=5．设曲线积分 2()d [2()]d Lyf x x xf x x y +-⎰在右半平面（)0>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且1)1(=f ，求)(x f ．解：由曲线积分在右半平面（)0>x 内与路径无关可知，()()1()2()22,()12f x x f x f x x f x fx x''=+-+= ()()1111ln ln 22221,1,12dx dx x x x x P x Q x y e e dx C e e dx C x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰⇒===⋅+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()322233y x c x f x ⎛⎫=+==⎪⎭由1)1(=f ，()2121,,333c c f x x =+⇒==+6．解微分方程2d 3d yxy xy x-=． 解：微分方程化为21d d 1d 13,3,3,d d d y x x xx x x y x y x y y x y y⎛⎫⎛⎫-=--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令1du,3,d u xu x y x=⇒+=-为一阶线性微分方程 ()()()223333223,,xx xdxxdx P x x Q x x u e x e dx C e xe dx C --⎡⎤⎡⎤⎰⎰==-=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2222233333222222113113233x x x x x u e e d x x C ee C Ce y---⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰作业24 全微分方程1． 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： （1）2222(36)d (64)d 0x xy x x y y y +++=；解：因为2222(36)(64)=12=x xy x y y xy y x∂+∂+∂∂且连续，从而该方程是全微分方程 2222322223403d 6d 64d d 3d 3d 3x x xy x x ydy y y x y x x dy y =+++=+++32234d 33x x y y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，从而3223433x x y y c +++=（2）0sin sin )cos cos (=+-'+y x y y x y x ；解：方程即()(cos cos )sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+=因为()sin sin (cos cos )=sin cos =y x y x y x x y y x∂-+∂+-+∂∂且连续，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个函数(),u x y 的全微分， 即,sin sin ,cos cos x y u u y x y u x y x ∃=-+=+()()cos sin ,cos cos cos cos y u y x x y g y u x y x x x y g y '=++=+=++ ()()10,g y g y c '⇒==从而微分方程的通解为cos sin y x x y c += （3） e d (e 2)d 0yyx x y y +-=．解：因为e (e 2)==y y y x y e y x∂∂-∂∂且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个势函数(),u x y 的全微分，可用曲线积分法求一个来。
求下列一阶常微分方程的通解
并证明当 h → 0 时，它收敛于原初值问题的准确解 y = e− x 。
3 13. 考虑由增量函数 h 1 1 ϕ( x, y, h) = f ( x, y) + g x + h, y + h f ( x, y) 2 3 3 ∂ ∂ 决定的单步方法，其中 g( x, y) = f ( x, y) + f ( x, y) f ( x, y)，研究方法的阶与收敛性。 ∂x ∂y
的局部截断误差。
5 7. 若用 Euler 法求解初值问题 y = e−t − 3y sin t, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ π/3，为保证绝对稳定 性，步长有何限制？ 8. 试分别推导二阶和三阶 RK 方法的绝对稳定区间。 9. 试证明四阶 RK 方法的绝对稳定性条件是 1 1 1 1 + hλ + (hλ)2 + (hλ)3 + (hλ)4 ≤ 1, 2 6 24 并在复平面上绘出绝对稳定域的边界。 习 题 9.5 1. 用二步 Adams 显式法解初值问题 y = − x2 y, y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 0.5，取 h = 0.1，y1 用改 进 Euler 公式。 2. 分别用数值积分法和待定系数法导出四阶 Adams 隐式公式及其局部截断误差主项。 3. 将多步法 h yn+2 + 9yn+1 − 10yn = (13 fn+1 + 9 fn ) 2 y = 0, y(0) = c,
9. 用改进 Euler 法和梯形法解初值问题 y = x2 + x − y, y(0) = 0. 取步长 h = 0.1，计算到 x = 0.5，并与准确解 y = −e− x + x2 − x + 1 相比较。 10. 用梯形法解初值问题 y = ax + b, y(0) = 0, 设步长为 h，求数值解的精确表达式，并证明数值解是准确的。 11. 用梯形法求初值问题 y = ey , 0 ≤ t < 1, y(0) = 0, 在 t = 1/2 的近似解。与精确解 y(1/2) = ln 2 进行比较。注意：步长至少取多小，所 得结果才可靠。 12. 用梯形方法求解初值问题 y + y = 0, y(0) = 1, 证明其近似解为 yn = 2−h n , 2+h
微分方程(习题及解答)0001
2第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、 、单项选择题 1.下列所给方程中，不是微分方程的是 (A) xy 2y ； (C) y y 0 ； 4 2•微分方程5y y xy (A) 1 ； (B) 2 ；3. 下列所给的函数，是微分方程 (A) y C i cosx ；(C) y cosx Csinx ；齐次微分方程2y (3)( x 2(7x(B) (D) 0的阶数是( (C) 3 ； y (B) (D) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y e x y ； (B) xy (C) y xy 1 0 ； (D) (x ). 2 2 y C ；6y)dx (x y)d y ).(D) 4 ； 0的通解的是( ). C 2 sin x ；G cosx ( ). y x ； y)dx (x 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 (A) y (C) y 、填空题 c x y e ;xy x 0 ；(B) xy (D) (x 答(B). 答(C).C 2 si nx 答(D).y)dy 0.答(A).(2y x y)dx答(D).1. 函数y 5x 2是否是微分方程 xy 2y 的解？ 答: 是.2 . 微分方程 dx dy0, y x 3 4的解是 .答:2x 2y25 .y x3x2冬C .3 . 微分方程 3x 2 5x 5y 0的通解是 . 答: y5 24 . 微分方程 xy y lny 0的通解是 答: yCxe .5 . 微分方程 1 2 x y -1 y 2的通解是 . 答: arcsin y arcsin x6. 微分方程 xy y y(ln y ln x)的通解是 . 答: _yxCxe三、解答题y)；C .xy a(y 2(x y)d y1•求下列微分方程的通解. ⑵ (1) sec xtanydx s ec ytanxdy 0 ； 解:解：dy 心y⑶ —10 ； ⑷dx解:解：2 . 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) 2x yy e ,y x 0 0 ;(2) 解:解：⑶ xdy 2ydx 0, yx 21;⑷解:解：y (y 2 x 3 o.y si nx yl ny2xtf - dt ln 2，求f (x)的非积分表达式. 答：f(x) e x ln2 .0 2§ 一阶线性微分方程、全微分方程23xy xy 的通解.可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程、单项选择题 1.方程ysinx 的通解是().1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是((A)字址dx (C)乎dx 2•微分方程(X (A) 齐次微分方程； (C) 可分离变量的微分方程；23(lnx)y ；(B)(x y)2 ；(D) y 2)dx 2xydy ).dy dx2y x 1(x(x y)dx (x y)dy 答(B).0的方程类型是 (B) 一阶线性微分方程; (D)全微分方程.( ).答(D).二、填空题1 .微分方程xy e 的通解为.答: y Cedx32 .微分方程 (x 2 y)dx xdy 0的通解为.答：x3xy 3 •方程(x y)(dx dy) dx dy 的通解为.答: x y 三、简答题C .ln(x y)1 .求下列微分方程的通解:3.方程xy . x (A)齐次方程；(C)伯努利方程；(B) 一阶线性方程；(D)可分离变量方程.答(A).xxxe(1)ycosx sin xex 竺dx解:⑶ 解:xy3x 解:⑷解:ytanx sin2x ；(5) (y 2 6x)塑 dx 2ye y(xe y 2y)dy 0 ；解:解:(a 22xy y 2)dx (x y)2dy 0 . 解: 2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1)乎 3y 8, y x 0 2 ；dx解：dy dx解:sin x ,y xx3* •设连续函数f (X )、单项选择题 y 2 y 是()• 3* .求伯努利方程— dx解：(A) y cosx (C) y sin x2.微分方程1C 1x 2 C 2x C 3 ； 2 Gx? C 2X C 3 ；2y xy 满足条件y (A) y (x 1)2；(B) y cosx G ; (D) y(B)2sin 2x .答(A) y x2的解是(2).1(C) y -(x3. 对方程y1)21 2 ；y 2，以下做法正确的是 y p 代入求解；(D)答(C).(A)令 y p(x)， (C)按可分离变量的方程求解；4. 下列函数组线性相关的 是(2 x2 x(A) e , 3e ;(C) sinx, cosx ;5. 下列方程中，二阶线性微分方程是(A) y (C) y 6. y 1, (A) y (C) y (D) yp(y), yp p 代入求解；答(B).).32y(y)0 ；2 o 2y 3x ； py qy y 2 ； C 2『2，其中C 2『2，其中2x y y 2是yC i y i C i y iG% (B) 2xe 3x ,e ；(D)2xe 2x,xe).(B) y 2yy xy (D) y 2xy2x y则其通解是().(B) yC 1y1C 2 y2 ；(0的两个解, xe ;2e x .((B)令 y(D)按伯努利方程求解. 答(A).答(D).y 1与y 线性相关; y 与y 2线性无关.7.下列函数组线性相关的 是( ).(A) e 2x , 3e 2x ； (C) si nx,、填空题 答(D).1 .微分方程 cosx； (B) (D) 3x2xy x sinx 的通解为 2x : e , e2xe , xe答(A).答:sin x C 1e xC 1x C 2. x C 2.三、简答题 1 •求下列微分方程的通解.2(1) y 1 (y)； (2) y 如)2解： 解:2 .求方程y x(y )2 0满足条件y x12，y x 1 1的特解.2 .微分方程 答:y y x 的通解为 解： § 二阶常系数线性齐次微分方程、单项选择题 1.下列函数中，不是微分方程 y y 0的解的是( ).(A) y sin x ； (B) y cosx ； (C) y e x ；(D) y sin x cosx .答(C).x 3 x2.下列微分方程中，通解是 y GeC ?e 的方程是( ).(A) y 2y 3y 0 ；(B) y 2y 5y 0 ； (C) yy 2y 0 ；(D) y 2y y 0 .答(A)3.下列微分方程中， 通解是y C 1e xC 2 x xe 的方程是().(A) y 2y y 0 ；(B) y 2yy 0 ；(C) y2y y 0 ；(D) y 2y4y 0 .答(B)4.下列微分方程中， 通解是y xe (C 1 cos2x C 2sin2x)的方程是().(A) y 2y 4y 0 ；(B) y2y 4y 0(C) y2y5y 0 ；(D)y 2y5y 0 .答(D) 5.若方程 ypyqy 0的系数满足1 p q 0 ，则方程的一个解是( ).(A) x ；(B) x e ;(C) xe(D) sin x . 答(B)6*.设 y f(x)是方程 y 2y 2y 0 的一个解，若 f(X o ) 0, f (xj 0,则 f(x)在 x x 0 处( ).(A) x 0的某邻域内单调减少;(B) X 0的某邻域内单调增加；(C)取极大值；(D)取极小值.答(C).、填空题1 •微分方程的通解为 y 4y 0的通解为. 答： y C 1 C 2e 4x .2 .微分方程y y 2y 0的通解为 答: y C 1e x C 2e 2x .3 .微分方程y4y 4y 0的通解为 答: y Ge 2x C 2xe 2x .4 .微分方程y 4y 0的通解为答: y C 1 cos2x C 2si n2x 5 .方程 y 6y 13y 0 的通解为 __________________________ . 答：y e 3x (C 1 cos2x C 2sin 2x). 三、简答题1 •求下列微分方程的通解：(1) y y 2y 0 ； (2) 4d ^ 20空 25x 0 .dt 2 dt解：解：、单项选择题 1.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ( ).(A) Ax 2;(B) Ax 2Bx ；(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C).2.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ().(A) Ax 2 ；(B) Ax 2Bx -(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C)3.微分方程y 5y6y xe 2x 的一个特解应具有形式( ).(A) Axe 2x;(B) (Ax 2x B)e(C) (Ax 2Bx C)e 2x ；(D) x(Ax B)e 2x答(B) 4.微分方程y y2 y x 2e x 的一个特解应具有形式().(A) Ax 2e x(B) (Ax 2x Bx)e解:2 •求下列方程满足初始条件的特解.(1) y 4y 3y 0,y x 0 10, y x 06⑵ y 25y 0, y x 05,y x 02.解:§ 二阶常系数线性非齐次微分方程(C) x(Ax2Bx C)e x；(D) (Ax2 Bx C)e x.答(C).5. 微分方程y 2y 3y e x sin x的一个特解应具有形式().(A) e x(AcosxBsinx)；(B) Ae x sinx ；(C) xe x (Asin x Bcosx) ；(D) Axe x sinx 答(A). 、填空题1 .微分方程y 4y 3 x x的一个特解形式为答:y*3x x4 82.微分方程y 2y x的一个特解形式为. 答:y* x(Ax B).3 .微分方程y 5y 6y xe x的一个特解形式为.答:y* (Ax B)e x.4.微分方程y 5y 6y xe3x的一个特解形式为.答:y* x(Ax B)e3x.5 .微分方程y y sin x的一个特解形式为. 答：y* Asin x .6 .微分方程y y si n x的一个特解形式为. 答：y* x(Acosx Bsin x)三、简答题1.求下列微分方程的通解•：(1) 2y y y 2e x；(2) y 5y 4y 3 2x ；解:解：⑶y 6y 9y (x 1)e2x.解:。
高等数学 第11章 微分方程习题详解
第十一章 微分方程习题详解第十一章 微分方程 习 题 11—11．判断下列方程是几阶微分方程？（1）23d tan 3sin 1;d y y t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）(76)d ()d 0;x y x x y y -++=（3）2()20;x y yy x ''''-+= （4）422()0'''''++=xy y x y ．解 微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有：（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ；（2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ；（4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ．解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x 22()5x ==右边，故25=y x 是微分方程2'=xy y 的解．（2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，故3sin 4cos =-y x x 是微分方程0''+=y y 的解．（3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入微分方程的左边，得左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边），故2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解．（4）对方程ln()=y xy 的两边关于x 求导，得 1''=+y y x y，即 ''=+xyy y xy ．再对x 求导，得2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ，即2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，故ln()=y xy 是所给微分方程的解．3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1）22-=x y C ， 05==x y ；（2）2120()e ,0==+=x x y C C x y ，01='=x y ．解 （1）将0=x ，5=y 代入微分方程，得220525=-=-C所以，所求函数为2225-=y x ．（2）222212122e 2()e (22)e '=++=++x x x y C C C x C C C x ，将00==x y，01='=x y 分别代入212()e =+x y C C x 和2122(22)e '=++x y C C C x ，得10=C ，21=C ，所以，所求函数为2e =x y x ．4．能否适当地选取常数λ，使函数e λ=x y 成为方程90''-=y y 的解．解 因为e λλ'=x y ，2e λλ''=x y ，所以为使函数e λ=x y 成为方程 90''-=y y 的解，只须满足2e 9e 0λλλ-=x x ，即2(9)e 0λλ-=x ．而e 0λ≠x ，因此必有290λ-=，即3λ=或3λ=-，从而当3λ=，或3λ=-时，函数33e ,e -==x x y y 均为方程90''-=y y 的解．5．消去下列各式中的任意常数12,,C C C ，写出相应的微分方程． （1）2;y Cx C =+ （2）()tan ;y x x C =+ （3）12e e ;x x xy C C -=+ （4）212()y C C x -=．解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．（1）由2=+y Cx C 两边对x 求导，得'=y C ，代入原关系式2y Cx C =+，得所求的微分方程为2()''+=y xy y ．（2）由tan()=+y x x C 两边对x 求导，得2tan()sec ()'=+++y x C x x C ，即 2tan()tan ()'=++++y x C x x x C ．而tan()=+yx C x，故所求的微分方程为 2⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭y y y x x x x ，化简得 22'=++xy y x y ．（3）由12e e -=+x x xy C C 两边对x 求导，得 12e e -'+=-x x y xy C C ，两边再对x 求导，得12e e -''''++=+x x y y xy C C ，可得所求的微分方程为2'''+=xy y xy ．（4）由212()-=y C C x 两边对x 求导，得122()'-⋅=y C y C ，将212()-=y C C x代，并化简得12'=-xy y C ，对上式两边再对x 求导，得22''''+=y xy y ，故第十一章 微分方程习题详解所求的微分方程为20'''+=xy y ．习 题 11—21．求下列微分方程的通解或特解：（1）ln 0;xy y y '-= （2）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （3）22();y xy y y '''-=+ （4）(1)d ()d 0;x y x y xy y ++-= （5）23yy xy x '=-，01;x y == （6）22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=，16x y=π=． 解 （1）分离变量，得11d d ln =y x y y x，两端积分，得 ln(ln )ln ln =+y x C ，即 ln =y Cx ，所以原方程的通解为 e C x y =．注 该等式中的x 与C 等本应写为||x 与||C 等，去绝对值符号时会出现±号；但这些±号可认为含于最后答案的任意常数C 中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．（2）原方程分离变量，得cos cos d d sin sin =-y xy x y x，两端积分，得 ln(sin )ln(sin )ln =-+y x C ，即 ln(sin sin )ln ⋅=y x C ，故原方程的通解为 sin sin ⋅=y x C ．（3）原方程可化成 2d (1)2d -+=yx y x ，分离变量，得 212d d 1=-+y x y x ，两端积分，得 12ln(1)-=-+-x C y， 即 12ln(1)=++y x C是原方程的通解．（4）分离变量，得d d 11=+-y x y x y x ，两边积分，得 ln(1)ln(1)ln -+=+-+y y x x C ，即 e (1)(1)y x C y x -=+- 是原方程的通解．（5）分离变量，得2d d 31=-y y x x y ，两端积分，得2211ln(31)ln 62-=+y x C ， 即 211262(31)ex y C -=．由定解条件01==x y，知16(31)-=C ，即162=C ，故所求特解为 21112662(31)2x y e-=，即223312e -=x y ．（6）将方程两边同除以2(3)sin 0+≠x y ，得22cos d d 03sin +=+x yx y x y，两端积分，得 122cos d d 3sin +=+⎰⎰x yx y C x y ，积分后得 2ln(3)ln(sin )ln ++=x y C （其中1ln =C C ），从而有2(3)sin +=x y C ，代入初始条件16=π=x y，得 4sin 26π==C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为 2(3)sin 2+=x y ，即 2arcsi 3n2y x =+． 2．一曲线过点0(2,3)M 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程． 解 设曲线的方程为()y y x =，过点(,)M x y 的切线与x 轴和y 轴的交点分别为(2,0)A x 及(0,2)B y ，则点(,)M x y 就是该切线AB 的中点．于是有22'=-yy x ，即xy y '=-，且(2)3=y ， 分离变量后，有11d d =-y x y x，积分得 ln ln ln =-y C x ，即 =C y x ．由定解条件23==x y ，有6=C ，故 6=y x为所求的曲线． 3．一粒质量为20克的子弹以速度0200v =（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度180v =（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k ），问子弹穿过木板的时间．解 依题意有2d d =-vmkv t，0200==t v ， 即 21d d -=kv t v m，两端积分，得 10.02=+=+k kt C t C v m （其中20克＝0.02千克）， 代入定解条件0200==t v ，得1200=C ，故有200100001=+v kt ．第十一章 微分方程习题详解设子弹穿过木板的时间为T 秒，则2000.1d 100001Tt kt =+⎰200ln(100001)10000=+Tkt k 1ln(100001)50=+kT k， 又已知=t T 时，180==v v 米/秒，于是20080100001=+kT ，从而，0.00015=kT ，为此有 0.1ln(1.51)500.00015=+⨯T，所以0.10.0075ln 2.5=⨯T 0.000750.00080.9162≈=（秒）， 故子弹穿过木板运动持续了0.0008=T （秒）．4．求下列齐次方程的通解或特解：（1）0;xy y '- （2）22()d d 0;x y x xy y +-= （3）332()d 3d 0;x y x xy y +-= （4）(12e )d 2e (1)d 0;x x yyxx y y++-=（5）22d d yx xy y x=-，11;x y == （6）22(3)d 2d 0y x y xy x -+=， 01x y==．解 （1）原方程变形，得'=+y y x ，令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为'+=u xu u分离变量，得1d =u x x ，两端积分得ln(ln ln +=+u x C ，即u Cx ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为2y Cx ．（2）原方程变形，得22d d +=y x y x xy，即21d d x xy y x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为 21+'+=u u xu u， 即 1d d =u u x x ，两端积分，得 211ln 2=+u x C ，将=yu x代入并整理，得原方程的通解22(2ln )=+y x x C （其中12=C C ）．（3）原方程变形，得332d d 3+=y x y x xy ，即32d 1()d 3()+=y y x x y x ， 令=y ux ，有d d d d =+y uu x x x，则原方程可进一步化为 32d 1d 3++=u u u x x u ， 即 3231d d 12u u x u x=-，两端积分，得311ln(12)ln ln 22--=-u x C ， 即 23(12)-=x u C ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为 332-=x y Cx ．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以xy为变量的函数，故令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x u u y y y，则原方程可化为 d ()(12e )2e (1)0d +++-=u u uu yu y， 整理并分离变量，得2e 11d d 2e +=-+u uu y u y， 两端积分，得ln(2e )ln ln +=-+u u y C ，第十一章 微分方程习题详解即 2e +=u C u y ．将 =xu y代入并整理，得原方程的通解为 2e +=xy y x C ．（5）原方程可化为2d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y y y x x x ． 令=yu x，有d d d d =+y u u x x x ，则原方程可进一步化为2d d +=-uu xu u x， 即 211d d -=u x u x ，两端积分，得 1ln =+x C u ，将=yu x代入，得 ln =+xx C y， 代入初始条件11==x y，得 1ln11=-=C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为1ln =+xy x．（6）原方程可写成22d 1320d -+=x x x y y y．令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x uu y y y，则原方程成为 2d 132()0d -++=uu u u yy， 分离变量，得221d d 1=-u u y u y，两端积分，得 2ln(1)ln ln -=+u y C ，即 21-=u Cy ，代入=xu y并整理，得通解 223-=x y Cy ．由初始条件01==x y，得1=-C ．于是所求特解为322=-y y x ．5．设有连结原点O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程．解 设曲线弧的方程为()=y y x ，依题意有201()d ()2-=⎰xy x x xy x x ，上式两端对x 求导，11()()()222'--=y x y x xy x x ，即得微分方程4'=-yy x， 令=yu x，有d d d d =+y u u x x x ，则微分方程可化为d 4d +=-u u xu x ，即d 4d =-u x x， 积分得4ln =-+u x C ，因=yu x，故有 (4ln )=-+y x x C ．又因曲线过点(1,1)A ，故1=C ．于是得曲线弧的方程是(14ln )=+y x x ．6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：（1）(1)d (41)d 0--++-=x y x y x y ； （2）()d (334)d 0+++-=x y x x y y ． 解 （1）原方程可写成d 1d 41-++=+-y x y x y x ， 令10410x y y x --=+-=⎧⎨⎩，解得交点为1=x ，0=y ．作坐标平移变换1=+x X ，=y Y ，有d d d d d(1)d ==+y Y Yx X X， 所以原方程可进一步化为d d 4-=+Y Y XX Y X（※） 这是齐次方程．设=Y u X ，则=Y uX ，d d d d =+Y u u X X X，于是（※）式可化为 1d d 41YY X Y X X-=⋅+， 即第十一章 微分方程习题详解d 1d 41-+=+u u u XX u ， 变量分离，得2411d d 41+=-+u u X u X， 两端积分，得2111ln(41)arctan(2)ln 22++=-+u u X C ， 即 22ln (41)arctan(2)⎡⎤++=⎣⎦X u u C 1(2)=C C ，将1==-Y y u X x 代入，得原方程的通解为 222ln 4(1)arctan1⎡⎤+-+=⎣⎦-yy x C x ． （2）原方程可写成d d 43()+=-+y x yx x y ， 该方程属于d ()d =++yf ax by c x类型，一般可令=++u ax by c ． 令=+u x y ，有d d 1d d =-y u x x，则原方程可化为 d 1d 43-=-u ux u， 即34d 2d 2-=-u u x u ，积分得 32ln 22+-=+u u x C ，将=+u x y 代入上式，得原方程的通解为32ln 2+++-=x y x y C ．习 题 11—31．求下列微分方程的通解：（1）22e -'+=x y xy x ； （2）23'-=xy y x ； （3）d tan 5d yx y x-=； （4）1ln '+=y y x x ； （5）2(6)d 2d 0-+=y x y y x ； （6）d 32d ρρθ+=． 解 （1） ()d ()d e ()e d -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰p x x p x x y q x x C ()222d 2d e e e d e d x x x xx x x x C x x C ---⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰2221e e 2x x C x --=+． （2）原方程可化为3'-=y y x x， 故通解为33d d 3321e e d ---⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰x x x x y x x C x C Cx x x ．（3）原方程可化为d cos 5cos d sin sin -=y x x y x x x， 故通解为cos cos d d sin sin 5cos e e d sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x x y x C x 25cos sin d sin 5sin x x x C C x x ⎡⎤=+=-⎢⎥⎣⎦⎰． （4）所给方程的通解为()11d d ln ln 1e ed ln d ln -⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰x xx x x x y x C x x C x1(ln )ln ln -=-+=+C xx x x C x x x． （5）方程可化为 2d 6d 2x x y y y -=，即 d 31d 2x x y y y -=-，故通解为 33d d 1e e d 2-⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰y yy y x y y C3211d 2y y C y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y C y ． （6）()3d 3d 33e 2e d e 2e d θθθθρθθ--⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰C C 33322e e e 33C C θθθ--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．2．求下列微分方程的特解： （1）d tan sec d yy x x x -=，00x y ==； （2）cos d cot 5e d x y y x x +=，24π==-x y ； （3）23d 231d y x y x x -+=，10x y ==．第十一章 微分方程习题详解解 （1）tan d tan d e sec e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x x C ()lncos lncos e sec ed -=+⎰x xx x C()1sec cos d cos x x x C x=⋅+⎰cos +=x Cx， 代入初始条件0,0==x y ，得0=C ．故所求特解为 cos =xy x． （2） cot d cot d cos e 5e e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x x x x x y x C ()cos 15esin d sin xx x C x=⋅+⎰()cos 15e sin =-+x C x， 代入初始条件,42π==-x y ，得1C =，故所求特解为cos 15e sin -=xy x， 即 cos sin 5e 1+=x y x ．（3） 332323d d ee d ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x y x C 22113ln 3ln e e d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x xx x C 222211113332e 11e d ee d 2x x x x x x C x C x x --⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎪=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭⎰⎰ 2221133311e e e 22x x x x x C Cx -⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入初始条件1,0==x y ，得12e=-C ，故所求特解为 21311e 2-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭x x y ． 3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2+x y ． 解 设曲线方程为()=y y x ，依题意有2'=+y x y ，即2'-=y y x ．从而有()d de 2e d e2ed --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰x x xxy x x C x x Ce (2e 2e )22e x x x x x C x C --=--+=--+． 由0=x ，0=y ，得2=C ．故所求曲线的方程为2(e 1)=--x y x ．4．设曲线积分2()d [2()]d +-⎰Lyf x x xf x x y 在右半平面（0>x ）内与路径无关，其中()f x 可导，且(1)1=f ，求()f x ．解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有2[2()][()]0∂-∂-=∂∂xf x x yf x x y，即 2()2()2()0'+--=f x xf x x f x ．记()=y f x ，即得微分方程及初始条件为112'+=y y x，11==x y ． 于是，)11d d22e e d -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x C x C23⎫=⎪⎭C x 代入初始条件 1,1==x y ，得13=C ，从而有 2()3=f x x5．求下列伯努利方程的通解：（1）2d ;d yx y xy x+= （2）42323;y y x y x '+=（3）4d 11(12);d 33y y x y x +=- （4）3d [(1ln )]d 0-++=x y y xy x x ． 解 （1）方程可以化为21d 11d --+=y y y x x． 令1-=z y ，则2d d d d -=-z y y x x ，即2d d d d -=-y z y x x ．代入方程，得d 11d -+=z z x x，即 d 11d -=-z z x x， 其通解为11d de (e )d ln -⎛⎫⎰⎰=-+=- ⎪⎝⎭⎰x xx x z x C Cx x x ，所以原方程的通解为1ln =-Cx x x y． （2）原方程化为41233d 23d --+=y yy x x x． 令13-=z y ，则43d 1d d 3d -=-z y y x x ，即43d d 3d d -=-y z y x x ．代入方程，得2d 233d -+=z z x x x，即2d 2d 3-=-z z x x x，第十一章 微分方程习题详解其通解为22d d 233e (e )d -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x xz x x C2433()d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x C273337⎛⎫=- ⎪⎝⎭x C x ．所以原方程的通解为 12733337-=-yCx x ．（3）原方程化为4311(12)33--'+=-y y y x ．令3-=z y ，则43-''=-z y y ，于是原方程化为21z x z '-=-，其通解为d d 21e ()e d e ()e 21d x x x x z x C x x x C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣--⎦⎰⎰ e (21)e 21e x x xx C x C -⎡⎤=--+=--+⎣⎦，所以原方程的通解为 321e -=--+x y x C ．（4）原方程化为31(1ln )'-=+y y x y x ，即3211ln --'-=+y y y x x． 令2-=z y ，则32-''=-z y y ，则原方程化为22(1ln )'+=-+z z x x，其通解为 22d de 2(1ln )e d -⎡⎤⎰⎰=-++⎢⎥⎣⎦⎰x xx x z x x C222(1ln )d x x x x C -⎡⎤=-++⎣⎦⎰233221(1ln )d 33x x x x x C x -⎡⎤=-++⋅+⎢⎥⎣⎦⎰23322(1ln )39x x x x C -⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦222(1ln )39x x x Cx -=-+++，所以原方程的通解为 2222(1ln )39--=-+++y x x x Cx ，或写成233242ln 93=--+x x x x C y ．习 题 11—41．求下列全微分方程的通解：（1）21d ()d 0;2xy x x y y ++= （2）3222(36)d (46)d 0;x xy x y x y y +++=（3）e d (e 2)d 0;y y x x y y +-= （4）(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=． 解 （1）易知，=P xy ，21()2=+Q x y ．因为∂∂==∂∂P Q x y x ，所以原给定的方程为全微分方程．而21(,)0d ()d 2x yu x y s x t t =++⎰⎰22221111()2224x y y x y y =+=+，于是，所求方程的通解为221124+=x y y C ． （2）易知，2236=+P x xy ，3246=+Q y x y ．因为12∂∂==∂∂P Qxy y x， 所以原给定的方程为全微分方程．而2320(,)3d (46)d xyu x y s s t x t t =++⎰⎰34223x y x y =++， 于是，所求方程的通解为 34223++=x y x y C ．（3）易知，e y P =，e 2y Q x y =-．因为 e y P Qy x∂∂==∂∂，原方程为全微分方程．将原方程的左端重新组合，得2(e d e d )2d d(e )y y y x x y y y x y +-=-，于是，所求方程的通解为 2e y x y C -=．（4）原方程可化为(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y x y x ++-+=，易知，sin sin P y x y =-+，cos cos Q x y x =+．因为 sin cos P Qx y y x∂∂=-+=∂∂，原方程为全微分方程．方程的左端重新组合，得(cos d sin d )(cos d sin d )0x y y y x x y y x x ++-=， d(sin )d(cos )d(sin cos )0x y y x x y y x +=+=，于是，所求方程的通解为 sin cos x y y x C +=．第十一章 微分方程习题详解2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：（1）2()d d 0;x y x x y =-+ （2）22(3)d (13)d 0y x y x xy y -+-=． 解 （1）用21x 乘方程，便得到了全微分方程 211d d 0⎛⎫+-= ⎪⎝⎭y x y x x ，将方程左端重新组合，得2d d d d 0-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭y x x y y x x x x ． 于是，通解为 -=yx C x． （2）原方程可化为232d 3d d 3d 0xy x y x y xy y -+-=，即232d d 3(d d )0xy x y y x xy y +-+=，用21y 乘方程，便得到了全微分方程 21d d 3(d d )0+-+=x x y y x x y y ， 221111d d 3d()d 3022x xy x xy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，原方程的通解为21132--=x xy C y． 3．用积分因子法解下列一阶线性方程：（1）24ln xy y x '+=； （2）tan y y x x '-=． 解 （1）将原方程写成24ln '+=xy y x x， 此方程两端乘以2d 2eμ⎰==xx x 后变成224ln '+=x y xy x x ，即 2()4ln '=x y x x ，两端积分，得2224ln d 2ln ==-+⎰x y x x x x x x C ，于是，原方程的通解为 22ln 1=-+C y x x ． （2）方程两端乘以tan d e cos μ-⎰==x xx ，则方程变为cos sin cos '-=y x y x x x ，即 (cos )cos '=y x x x ，两端积分，得cos cos d sin cos ==++⎰y x x x x x x x C ，于是，原方程的通解为 tan 1cos =++Cy x x x．习 题 11—51．求下列微分方程的通解： （1）211y x ''=+； （2）e x y x '''=； （3）(5)(4)10y y x -=．解（1）1121d arctan 1'=+=++⎰y x C x C x ， ()212121arctan d arctan ln(1)2y x C x C x x x C x C =++=-+++⎰．（2）11e d e e ''=+=-+⎰x x x y x x C x C ，1212(e e )d e 2e x x x x y x C x C x C x C '=-++=-++⎰， 2112323(e 2e )d e 3e 2x x x x C y x C x C x C x x C x C =-+++=-+++⎰． （作为最后的结果，这里12C 也可以直接写成1C ）． （3）令(4)=z y ，则有d 10d -=z z x x，可知=z Cx ，从而有 44d d =yCx x ， 再逐次积分，即得原方程的通解53212345=++++y C x C x C x C x C ．2．求下列微分方程的通解：（1）;y y x '''=+ （2）0;xy y '''+= （3）310;y y ''-= （4）()3y y y ''''=+． 解 （1）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为'-=p p x ．利用一阶线性方程的求解公式，得()d d 11e e d eed x x xxp x x C x x C --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()11e e e 1e x x x x x C x C --=--+=--+．第十一章 微分方程习题详解即11e x p x C =--+，再积分，得通解21121(1e )d e 2x x y x C x x x C C =--+=--++⎰．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为0'+=xp p ，分离变量，得d d =-p xp x，积分得 11ln ln ln =+p C x，即 1=C p x，再积分，得通解 112d ln ==+⎰C y x C x C x ．（3）令'=y p ，则d d ''=py py，且原方程化为 3d 10d -=py py， 分离变量，得 31d d =p p y y ，积分得 2121=-+p C y ，故'==y p ， 再分离变量，得d =±x ．由于||sgn()=y y y ，故上式两端积分，sgn()d =±⎰y x，即12sgn(=±+y C x C ，两边平方，得()221121-=+C y C x C ．（4）令'=y p ，则d d ''=p y py ，且原方程化为3d d =+ppp p y，即 2d (1)0d ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦p p p y ． 若0≡p ，则≡y C ．≡y C 是原方程的解，但不是通解． 若0≡p ，由于p 的连续性，必在x 的某区间有0≠p ．于是2d (1)0d -+=pp y，分离变量，得2d d 1=+py p ，积分得 1arctan =-p y C ，即()1tan =-p y C ，亦即 ()1cot d d -=y C y x ．积分得()12ln sin ln -=+y C x C ．即 ()12sin e -=x y C C ，也可写成()21arcsin e =+x y C C ．由于当20=C 时，1=y C ，故前面所得的解≡y C 也包含在这个通解之内．3．求下列初值问题的解：（1）sin ''=+y x x ，(0)1=y ，(0)2'=-y ； （2）2(1)2'''+=x y xy ，(0)1=y ，(0)3'=y ； （3）2e y y ''=，(0)0=y ，(0)0'=y ； （4）()21'''+=y y ，(0)0=y ，(0)0'=y ．解 （1）易知，211cos 2'=-+y x x C ，3121sin 6=-++y x x C x C ．由初值条件(0)2'=-y ，知1201-=-+C ，得11=-C ；由(0)1=y ，知21000=-++C ，得21=C ．故特解为31sin 16=--+y x x x ．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为2(1)2'+=x p xp ，变量分离，得212d d 1=+x p x p x，两端积分，得 21(1)'==+y p C x ．再两端积分，得 3121()3=++y C x x C ．由初值条件(0)3y '=，有213(10)=+C ，解得，13=C ，由初值条件(0)1y =，有22113(00)3=+⋅+C ，解得，21=C ，故所给初值条件的微分方程的特解为 331=++y x x ．（3）令'=y p ，则d d py py ''=，且原方程化为 2d e d y ppy=，即2d e d y p p y =，第十一章 微分方程习题详解两端积分得22111e 22yp C =+． 代入初始条件(0)0=y ，(0)0y '=，得 112C =-，从而22111e 222y p =-，即22e 1y p =-，亦即 '=y ．分离变量后积分d =±⎰x ，即d -=⎰y x ，得2arcsin(e )-=+y x C ，代入初始条件(0)0y =，得2π=2C ．于是，符合所给初值条件的特解为 e sin -π⎛⎫=⎪2⎝⎭y x ， 即 lncos lnsec =-=y x x ．（4）令'=y p ，则d d py py''=，且原方程化为 2d 1d ppp y+=， 分离变量，得2d d 1pp y p =-，两端积分，得 211ln(1)2--=+p y C ， 代入初始条件(0)0y =，(0)0y '=，得 10=C ．从而，21ln(1)2=--y p ，即'==y p再分离变量，得d =±y x d =±y y x ．两端积分，得2arch(e )=±+y x C ，代入初始条件(0)0=y ，得20=C ，从而有满足所给初始条件的特解为arch(e )=±y x ，即e ch()ch()=±=y x x ，或写成 ln ch()=y x ．4．试求''=y x 的经过点(0,1)M 且在此点与直线112=+y x 相切的积分曲线． 解 由于直线112=+y x 在(0,1)M 处的切线斜率为12，依题设知，所求积分曲线是初值问题''=y x ，01==x y ，012='=x y 的解．由''=y x ，积分得2112'=+y x C ，再积分，得 21216=++y x C x C ，代入初始条件01==x y ，012='=x y ，解得 112=C ，21=C ，于是所求积分曲线的方程为 211162=++y x x ．5．对任意的0>x ，曲线()=y f x 上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于1()d xf t t x ⎰， 且()=y f x 存在二阶导数，求()f x 的表达式．解 设曲线的方程为()=y f x ，其中()=y f x 有二阶导数，则在点(,())M x f x 处的切线方程为()()()'-=-Y f x f x X x ，令0=X ，知切线在y 轴上的截距为()()'=-Y f x xf x ，据题意，有1()d ()()'=-⎰x f t t f x xf x x ，即20()()()d '-=⎰x xf x x f x f t t ． 两端求导，得2()()2()()()''''+--=f x xf x xf x x f x f x ，即[]()()0x f x xf x '''+=，已知0>x ，故有()()0f x xf x '''+=，令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为d 0d pp xx+=， 分离变量，得11d d =-p x p x，两端积分，得 1ln ln ln =-p C x ，即1'==C y p x．第十一章 微分方程习题详解再对两端积分，得12ln =+y C x C ，即12()ln =+f x C x C ．习 题 11—61．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的． （1）e x ，e ;x - （2）23sin x ，21cos ;x - （3）cos2x ，sin 2;x （4）ln x x ，ln x ． 解 （1）因为1e x y =，2e x y -=满足：212e e exx x y y -==≠常数， 所以函数组e x ，e x -是线性无关的．（2）因为213sin y x =，221cos y x =-满足：21223sin 31cos y x y x==-， 所以函数组23sin x ，21cos -x 是线性相关的．（3）因为1cos2y x =，2sin 2y x =满足：12cos2cot 2sin 2y x x y x==≠常数， 所以函数组cos2x ，sin 2x 是线性无关的．（4）因为1ln y x x =，2ln y x =满足：12ln ln y x x x y x==≠常数， 所以函数组ln x x ，ln x 是线性无关的．2．验证1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解，并写出该方程的通解． 证明 由1cos y x ω=，得1sin y x ωω'=-，21cos y x ωω''=-； 由2sin y x ω=，得1cos y x ωω'=，21sin y x ωω''=-． 可见，2sin 0i y x ωω''+= (1,2)i =，故1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解．又因为12cot y x y ω=≠常数，故1cos y x ω=与2sin y x ω=线性无关．于是所给方程的通解为 1212cos sin y y y C x C x ωω=+=+．3．验证21e x y =及22e x y x =都是微分方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解，并写出该方程的通解．证明 由21e x y =，得212e x y x '=，221(24)e x y x ''=+； 由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，232(64)e x y x x ''=+． 因为2222221114(42)(24)e 42e (42)e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=； 22223222224(42)(64)e 4(12)e (42)e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-⋅++-=， 所以21e x y =及22e x y x =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解．又因为21y x y =≠常数，故21e x y =与22e x y x =线性无关，于是所给方程的通解为 21212()e x y y y C C x =+=+．4．若13y =，223y x =+，22e 3x y x =++都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=(()0)f x ≠的特解，当()P x ，()Q x ，()f x 都是连续函数时，求此方程的通解．解 因为221y y x -=，32e x y y -=，所以2x 及e x 都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=对应齐次方程的特解．又因为32221e xy y y y x -=≠-常数，所以21y y -与32y y -线性无关．因此，所给方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的通解为212e 3x y C x C =++．习 题 11—71．求下列微分方程的通解．（1）40;y y '''-= （2）3100;y y y '''--= （3）960;y y y '''++= （4）0;y y ''+=（5）6250;y y y '''-+= （6）(4)5360''+-=y y y ．解 （1）所给方程对应的特征方程为240r r -=，解之，得10r =，24r =，所以原方程的通解为412e x y C C =+．（2）所给方程对应的特征方程为23100r r --=解之，得15r =，22r =-，所以原方程的通解为第十一章 微分方程习题详解5212e e x x y C C -=+．（3）所给方程对应的特征方程为29610r r ++=解之，得 1213r r ==-，所以原方程的通解为1312()ex y C C x -=+．（4）所给方程对应的特征方程为210r +=，解之，得 1i r =，2i r =-，所以原方程的通解为12cos sin y C x C x =+．（5）所给方程对应的特征方程为26250r r -+=，解之，得 134i r =-，234i r =+，所以原方程的通解为312e (cos 4sin 4)x y C x C x =+．（6）所给方程对应的特征方程为425360r r +-=，解之，得 1,22r =±，3,43i r =±，所以原方程的通解为221234e e cos3sin3x x y C C C x C x -=+++．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）00430,6,10==''''-+===x x y y y y y ； （2）00440,2,0==''''++===x x y y y y y ； （3）00250,2,5=='''+===x x y y y y ； （4）004130,0,3==''''-+===x x y y y y y ．解 （1）所给方程对应的特征方程为2430r r -+=，解之，得 11r =，23r =，所以原方程的通解为312e e x x y C C =+，从而，312e 3e x x y C C '=+，代入初始条件006,10x x y y =='==，得12126,310,C C C C +=⎧⎨+=⎩ 解得124,2,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为34e 2e x x y =+．（2）所给方程对应的特征方程为24410r r ++=，解之，得 1,212r =-，所以原方程的通解为1212()ex y C C x -=+，从而，12211221211e ee 22x x x C C C x y ----'=-， 代入初始条件002,0x x y y =='==，得1122,10,2C C C =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为12(2)ex y x -=+．（3）所给方程对应的特征方程为2250r +=，解之，得 1,25i r =±，所以原方程的通解为12cos5sin5y C x C x =+，从而，125sin55cos5y C x C x '=-+，代入初始条件002,5x x y y =='==，得122,55,C C =⎧⎨=⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2cos5sin5y x x =+．（4）所给方程对应的特征方程为24130r r -+=，解之，得 1,223i r =±，所以原方程的通解为212e (cos3sin 3)x y C x C x =+，从而，21221e [(23)cos3(23)sin3]x y C C x C C x '=++-，代入初始条件000,3x x y y =='==，得1120,233,C C C =⎧⎨+=⎩ 解得120,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2e sin3x y x =．3．设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水第十一章 微分方程习题详解中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量．解 设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设在时刻t ，点A 的位置为()x x t =，此时它受到的恢复力的大小为21000||gV g R x ρ=π排水（R 是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有21000mx g R x ''=-π，其中m 是浮筒的质量．记221000g R mωπ=，则得微分方程20x x ω''+=．其对应的特征方程为220r ω+=，解得1,2i r ω=±，故12cos sin sin()x C t C t A t ωωωϕ=+=+，A 1sin C Aϕ=． 由于振动周期22T ωπ==，故ω=π，即221000g R m π=π，从中解出浮筒的质量为 21000195gR m =≈π（千克）．习 题 11—81．求下列微分方程的特解*y 的形式（不必求出待定系数）． （1）2331;y y x ''-=+ （2）;y y x '''+= （3）2e ;x y y y '''-+= （4）23e ;x y y y -'''--= （5）32e ;x y y y x '''-+= （6）22(3)e ;x y y x x '''-=+- （7）276e sin ;x y y y x '''++= （8）245e sin ;x y y y x '''-+= （9）2222e cos ;x y y y x x '''-+= （10）22e sin x y y y x x '''-+=．解 （1）2()31f x x =+属于e ()λx m P x 型（其中，2()31m P x x =+，0λ=），对应齐次方程的特征方程为230r -=．易知，0λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2y Ax Bx C =++ （这里A 、B 和C 为待定系数）．（2）()f x x =属于e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，0λ=），对应齐次方程的特征方程为20r r +=．易知，0λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()y x Ax B Ax Bx =+=+ （这里A 和B 为待定系数）．（3）()e x f x =属于e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2210r r -+=，易知，1λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*2e x y Ax = （其中A 为待定系数）．（4）()e x f x -=属于e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为2230r r --=，易知，1λ=-是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*e x y Ax -= （其中A 为待定系数）．（5）()e x f x x =属于e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2320r r -+=，易知，1λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+ （其中A 和B 为待定系数）．（6）2()(3)e x f x x x =+-是e ()λx m P x 型（其中，2()3m P x x x =+-，1λ=），对应齐次方程的特征方程为220r r -=，易知，1λ=是不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2()e x y Ax Bx C =++ （其中A 、B 和C 为待定系数）．（7）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2760r r ++=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e (cos sin )x y A x B x =+ （其中A 、B 为待定系数）．（8）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2450r r -+=，易知，i 2i λω+=+是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [cos sin )]x y x A x B x =+ （其中A 和B 为待定系数）．（9）由2()2e cos xf x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()2l P x x =，()0n P x =），对应齐次方程的特征方程为2220r r -+=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [()cos ()sin )]x y Ax B x Cx D x =+++ （其中A 、B 、C 和D 为待定系数）．（10）()e sin x f x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中1λ=，1ω=，()0l P x =，()n P x x =）．对应齐次方程的特征方程为2220r r -+=，易知，i 1i λω±=±是特征方程的根，所以应设其特解为[]*e ()cos ()sin )x y x Ax B x Cx D x =+++（其中A 、B 、C 和D 为待定系数）．2．求下列各微分方程的通解．（1）22e ;x y y y '''+-= （2）323e ;x y y y x -'''++= （3）369(1)e ;x y y y x '''-+=+ （4）e cos ''+=+x y y x ．解 （1）()2e x f x =是e ()λx m P x 型（其中，()2m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方第十一章 微分方程习题详解程为2210r r +-=，解得 112r =，21r =-，故对应齐次方程的通解为 1212e e x x Y C C -=+．因为1λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*e x y A =，代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=．消去e x ，有1A =，即 *e x y =，故原方程的通解为1*212e e e x x x y Y y C C -=+=++．（2）()3e x f x x -=是e ()λx m P x 型（其中，()3m P x x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为 2320r r ++=，解得 11r =-，22r =-，故对应齐次方程的通解为212e e x x Y C C --=+．因为1λ=-是特征方程的单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx --=+=+，代入原方程并消去e x -，得2(2)3Ax A B x ++=．比较系数，得32A =，3B =-，即 *233e 2x y x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故原方程的通解为 *22123e e 3e 2x x x y Y y C C x x ---⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭．（3）3()(1)e x f x x =+是e ()λx m P x 型（其中，()1m P x x =+，3λ=），对应齐次方程的特征方程为 2690r r -+=，解得 1,23r =，故对应齐次方程的通解为312()e x Y C C x =+．因为3λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*23323()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+，代入原方程并消去e x ，得621Ax B x +=+．比较系数，得16A =，12B =，即 *32311e 62x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原方程的通解为*33231211()e e 62x x y Y y C C x x x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭．（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为210r +=，解得1,2i r =±，故对应齐次方程的通解为。
第12章 微分方程 习题 12- (3)
1 = − sin x + Ce x . y (2)
方程化为
y
−
1 2
y′ −
4 2 y = x, x
6
1
令z=
1 y2
, 方程化为 z′ − 2 x z= , 2 x
求解此线性方程, 得
z=e ∫ x dx
2
x − ∫ dx 1 [ ∫ e x dx + C ] = x 2 ( ln x + C ) , 2 2
解此方程, 得
1 − ln 1 − 2u 3 = ln x + C , 2
3
x3 − 2 y 3 = Cx . (8)
方程化为
dy y y = + tan , x dx x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du = u + tan u , dx dx , x
解此方程, 得
− ln 1 − u 2 + ln C = ln x , y 2 = x( x − C ) . (5)
方程化为
2
dy 1 y y = [2 − ( ) 2 ] , x dx 2 x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du u = (2 − u 2 ) , dx 2 2du dx , − 3 = x u
(4)
(1) 方程化为
( xy )′ = y ln xy ,
令 u = xy , 方程化为
u ln u , x du dx = , u ln u x u′ =
求解此微分方程, 得
ln ln u = ln x + ln C , xy = eCx . (2)
求下列微分方程的通解
习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰. (2)xy '+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅++⎰=⎰-])23([1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=⎰⎰x Cx x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰-⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx x x x x=cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x .(5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x xy x xy .)1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰---)(sin 11])1(1cos [112222C x x C dx x x xx +-=+-⋅--=⎰.(6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ )2(33C d e e +=⎰-θθθ θθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dxdy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )4(22C dx e x e x x +⋅=⎰- 2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.(8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e ye x dy y y dy y y +⎰⋅⎰=⎰- )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰ y C y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(-+=-x y dxdy x ; 解 原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅-⎰=⎰--- ⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdy x y .解 原方程变形为y x y dy dx 213-=-. ])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy y y y +⋅-=⎰ 32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =-, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰- )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x y --=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰- )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2;解 )8(33C dx e e y dx dx +⎰⋅⎰=⎰- x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰. 由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=. (5)13232=-+y x x dx dy , y |x =1=0. 解 )1(32323232C dx e e y dx x x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y . 解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+⎰⎰=⎰⎰-- =e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt dv m21-=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k e v t m k t m k dt m kdt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰-- )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +-=-.由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k t m k +-=- 即 )1(222121t m k e k m k t k k v ---=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.解 由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dt di 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰. 因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L ])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x ,或 1)(21)(=+'x f xx f . 因此 xC x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy -=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce y x sin 1-=. (2)23xy xy dxdy =-; 解 原方程可变形为x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰- 31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解 原方程可变形为)21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce y x .(4)5xy y dxdy =-; 解 原方程可变形为x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=⎰-- )4(44C dx xe e x +-=⎰- x Ce x 441-++-=, 原方程的通解为x Ce x y 44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解 原方程可变形为 )ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--. ])ln 1(2[222C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x ++-=⎰x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解 令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =-, 即21u du dx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy ; 解 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu . 两边积分得 1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1).(3)xy '+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1;解 原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x .令u =y +sin x -1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u =21. 两边积分得 C x u +=-1.将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即C x x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 .解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得 du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得 u uu C x ln 121ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy xy y x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).。
微分方程习题(附答案)
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
第7章微分方程
习题7-1 可分离变量的微分方程1求下列微分方程的通解：（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ；（3）()()0x yx x y y ee dx e e dy ++-++=2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）e yy y x y x =='=2,ln sin π；（2）.1,022==+=x yydx xdy3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.习 题 7-2 齐次方程1、求下列齐次方程的通解 （1）022=---'x y y y x（2）0cos 3)cos 3sin2(=-+dy xyx dx x y y x y x2. 求齐次方程1|,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 满足所给初始条件的特解习 题 7-3 一阶线性微分方程1、求下列微分方程的通解 （1）x e y dxdy-=+（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y2、求微分方程0|,sec tan 0==-=x y x x y dxdy满足所给初始条件的特解。
3、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2。
4、用适当的变量代换将微分方程2)(y x dxdy+=化为可分离变量的方程，然后求出通解。
习 题 7-4 可降阶的高阶微分方程1、求下列微分方程的通解 （1）211x y +=''（2）0='+''y y x（3）022='+''y y y2、求微分方程1|,0|,0002-='=='-''==x x y y y a y 满足所给初始条件的特解。
求下列一阶常微分方程的通解
7. 用以下四阶 RK 方法
yn+1
=
yn
+
h 8
(K1
+
3K2
+
3K3
+
K4),
K1 = f (xn, yn),
K2 K3
= =
f (xn f (xn
+ +
h 23 3
,hy, nyn+−h33hKK1)1,
+
hK2),
K4 = f (xn + h, yn + hK1 − hK2 + hK3).
2
5. 试推导向后 Euler 法的局部截断误差主项，并证明其收敛性。
6. 用向后 Euler 法求解
y = 1 + (t − y)2, 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1.
取步长 h = 0.1，将所得结果与准确解 y = t + 1/(1 − t) 进行比较。注意：需要采用适 当的方法求解非线性方程。
3. 试证明：对于初值问题 y = −y + t + 1, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ 1，无论步长 h 取何值，用改 进的 Euler 法和中点法计算所得数值结果都相同。
4. 求改进 Euler 法的绝对稳定域和绝对稳定区间。
5. 求显式中点公式 的绝对稳定区间。
yn+1 = yn + h f (xn + h/2, yn + h f (xn, yn)/2)
求解初值问题
y = 3y/(1 + x), y(0) = 1,
取步长 h = 0.1 求 y(1)，并与精确解比较。
8. 求隐式中点公式 的局部截断误差。
微积分习题讲解与答案
习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d(2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y yd d 11⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得⎰⎰⎰=++-x y yy d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C x y =++4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。
求下列一阶常微分方程通解
习题9.11.求下列一阶常微分方程的通解：(1)y =x 2+x −y ;(2)dy dx =3y 1+x ;(3)dy dx =y −2x y ;(4)dy dx =2x −3y x +2y .2.求解下列一阶常微分方程初值问题：(1)y =|x |+y ,y (−1)=1;(2)dy dx =1x +cos y,y (0)=0.3.求解差分方程y n +1=(1+h )y n +2−h (n ≥0),y 0=1,其中h 为正的常数。
4.求解二阶差分方程y n +1=y n +y n −1,y 0=y 1=1.5.试利用解的存在唯一性定理说明y =sin x 不可能是微分方程y =p (x )arctan y ,x ∈[0,1]的解，其中p (x )是区间[0,1]上的连续函数。
6.试确定下列函数的利普希茨常数：(1)f (x )=(x 3−2)2717x 2+4;(2)f (x ,y )=x −y 2,|y |≤10.7.试证明初值问题y =sin y ,y (x 0)=s 在包含x 0的任意区间内有唯一解。
习题9.21.用Euler 法解初值问题y =x 2+10y ,y (0)=0.取步长h =0.1,0.05,0.025,0.001，分别计算y (0.3)的近似值，并通过求误差观察收敛性。
2.利用常微分方程初值问题的数值方法可以求定积分的近似值。
例如求 10e x 2dx .众所周知，e x 2的原函数是无法用初等函数表示出来的，因此定积分 10e x 2dx 的精确值没法通过Newton-Leibnitz 公式求出。
将定积分 10e x 2dx 看成变上限积分函数y (x )= x 0e t 2dt 在点x =1的函数值，而函数y (x )满足微分方程y =e x 2和初始条件y (0)=0.故可用初值问题的数值方法求定积分的近似值。
试用Euler 法计算定积分 10e x 2dx 的近似值，并指出这种方法相当于哪一种数值积分方法。
微积分课后习题参考答案第六章
第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。
2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。
高等数学微分方程习题(最新整理)
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
指出下列微分方程的阶
长过程．
习题 9—2
1. 求下列微分方程的通解．
（1） xy′ − y ln y = 0 ；
（2） y′ − xy′ = k( y 2 + y′) ；
（3） cos x sin ydx + sin x cos ydy = 0 ；
4. 能否适当地选取常数 λ ，使函数 y = eλx 成为方程 y′′ − 9 y = 0 的解．
5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
（1）曲线在点 M (x, y) 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方．
（2）曲线在点 P(x, y) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分．
y′ x=0 = 10 ；
（2） y′′ + 2 y′ + y = 0 ， y x=0 = 4 , y′ x=0 = 2 ；
（3） y′′ + 5 y = 0 ， y x=0 = 2 , y′ x=0 = 5 ；
（4） y′′ + 4 y′ + 13y = 0 ， y x=0 = 0 , y′ x=0 = 3 ；
．
三、选择题（每题 3 分，共 15 分）．
（1）方程 x3dx − ydy = 0 的通解是（ ）．
（A） x 4 − y 2 = C ； 42
(B) y 4 − x 2 = C ； 42
(C) x3 − y + C = 0 ；
(D) y = x ．
(2) 有解的微分方程，其解的个数为（ ）． （A）一个 ； （B）两个； (C) 与阶数相同； （D）前三者都不对．
微分方程习题课(1)-10
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
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一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 贝努里方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 自变量 代换因变量 因变量 代换某组合式 某组合式
y − y′x = x 1 y′ − y = −1 即 x 定解条件为 y x=1 =1.
思考: 思考 能否根据草图列方程?
y
M(x, y)
x tanα = xy′
o
机动
x
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x
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第七章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
机动
思考 若问题改为求解 y x=0 = 0 ,
则求解过程中得 问开方时正负号如何确定 正负号如何确定? 正负号如何确定
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例7.
且满足方程
f (x) = sin x − ∫
求 f (x) .
x (x − t) f (t) dt 0
x x f (t) dt + t 0 0
通解
2 − y3
1 − y3 e = ex + C 3
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′ = x2 − y2 + y (2) xy
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程.
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第一章 绪 论
例1-1 求下列微分方程2
3x dx
dy =的通解，并分别求满足下列条件的特解。
（1）通过点)1,2(； （2）与直线x y =相切； （3）与直线13+-=x y 正交。
解 直接积分得方程的通解为C x y +=3。
（1）将代入通解中1,2==y x 得7-=C ，则通过点)1,2(解为73-=x y 。
（2）与直线x y =相切的解满足在切点处斜率相同，有132=x ，即得3
1±
=x ，切
点坐标为)3
1,
3
1(
和)3
1,31(-
-。
同（1）的解法，与直线x y =相切的解为
3
323
+
=x y 和3
32
3-
=x y 。
（3）与直线13+-=x y 正交的解在正交点处斜率满足3
132
=x ，即得3
1±
=x ，正交
点坐标为)0,31
(和)2,3
1(-。
同（1）的解法所求方程的解为27
553
+=x y 和27
13
-=x y 。
评注：求方程满足某条件的特解，关键要找到所求积分曲线经过的某一特定点的坐标，代入通解中确定出任意常数即可得特解。
例1-2 求与曲线族x
Ce y =正交的曲线族。
解 因为曲线族x
Ce y =满足的微分方程为y y ='，所以与曲线族x
Ce y =正交的曲线族满足的微分方程为y
y 1-
='，解之得C x y +-=22
，这就是所求曲线族方程。
评注：首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程，其次借助于正交性得到所求曲线族满足的微分方程，再求解此微分方程。
有时直接给出一个微分方程，要求求得与此微分方程的积分曲线族正交（或夹角为某一固定值）的曲线族。
例1-3 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。
解 设所求的曲线为)(x y y =，过曲线上任一点),(y x 的法线方程为
y x X y Y +-'
-
=)(1，
它与y x ,轴的交点分别为),
0(),0,(y y x x y y +'
+'，由题可得
⎪⎩
⎪
⎨
⎧+'=+'=y y x y x y y x 22， 故这条曲线满足方程
⎪⎩
⎪
⎨
⎧'='
=y x y y y x ，即y x dx dy =， 解之得 C x y =-22，这就是所求曲线方程。
评注：根据题目的具体已知条件和基本的数学公式及定理建立等式关系，注意切线与法线的特点及其关系，从而列出微分方程，经常会用到曲线)(x f y =在一点),(y x 的斜率表
达式
dx
dy 、过该点的切线的横截距y y x '
-
和纵截距y x y '-及过该点的法线的横截距x
y y +'和纵截距
y y x +'
等表达式。
例1-4质量为m 的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离s （向下为正）随时间而改变。
在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离s 应满足的微分方程。
解 设在时刻t 物体下落的距离为)(t s ，则按牛顿第二定律
mg dt
s d m =22
（g 为重力加速度），
g dt
s d =2
2
，
212
2
1)(C t C gt
t s ++=。
评注： 这是根据实际意义建立相应的微分方程模型来解决问题的，关键要掌握方程中各个变量的具体物理意义，例如，
a dt
s d a dt dv v dt ds ===22
,
,
等等，再结合物理学中的基本定
律和定理来建立方程。