第十四章 动能定理

作用下沿曲线运动。
M
力F在无限小位移dr中可
视为常力，经过的一小段
弧长ds可视为直线，dr可视
为沿点M的切线。
M1
ds
dr M 2
() F
在一无限小位移中力作的 功称为元功，以δW记之
W F cosds
写成以下矢量点乘形式：
W
F
dr
力在全路程上作的功等于元功之和
s
W 0 F cosds
W
M
2
F
dr
M1
当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。
×
取固结于地面的直角坐标系为
质点运动的参考系。
M
i，j，k 为三坐标轴的单位矢量
F Xi yj zk
M1
dr
dxi
dyj
dzk
ds
dr M 2
() F
W
F
dr
得到作用力F在质点从M1到M2的 运动过程中所作的功
W12
dri
Fi
drc
Fi
dric
C
刚体无F限i 小dr转ic 角F为i cdoψs， 转M动iC位 d移dric⊥MiC，大小为MiC·dψ
Mc (Fi )d
×
力系全部力所作元功之和为：
W Wi
Fi
drc
Mc (F)d
FR
rc
Mc
d
d
drC
Fi
Mi C
其中F´R为力系主矢，MC为力系对质心的主矩。
当刚体质心C由C1移到C2，同时由φ1转到φ2时。
力系作功：
W12
c2 c1
FR
drc
2 1
M c d
平面运动刚体上力系的功：就等于力系向质心简化所得 的力和力偶作功之和。
×
§ 14-2 质点和质点系的动能
m mi 全部质量
zc1 zc2 质心始末位置高度差
质心下降，重力作正功；
质心上移，重力作负功。
重力作功仍与质心的运动轨迹形状无关。
×
2. 弹性力的功
F A0
设物体受弹性力;
作用点A的轨迹为曲 线A1 A2。
dr r
A dr
r2
在弹性范围内，
弹性力的大小满足： 1
A1
来自百度文库r1
r0
O
l0
A2 2
×
§14-1 力 的 功
设质点M在大小和方向都不变的力F作用下，沿直线走过 一段路程S，力F在这段路程内所积累的效应用力的功来量度， 以W记之，并定义为：
W Fscos
θ 为力F与直线位移方向的夹角。
功是代数量 功的国际单位符号为J（焦耳）
M
F
s
量纲为: dimW ML2T 2
×
设质点M在任意变力F
第十四章 动能定理
沈阳建筑大学 侯祥林
第十四章 动能定理
第十四章引言 §14-1 力 的 功
§14-2 质点和质点系的动能 § 14-3 动能定理 §14-4 功率.功率方程.机械效率
动能定理例题 功率方程例题
§14-5 势力场.势能.机械能守恒定律 机械能守恒定律例题
§14-6 普遍定理的综合应用举例
点A由A1到A2时， 弹性力作功为
dr r
A dr
r2
1
A1
r1
r0
O
l0
A2 2
W
A2
F
dr
A1
A2 A1
k
(r
l0
)r0
dr
r0
dr
r r
dr
1 2r
d (r r)
1 2r
d (r 2 )
dr
W12
r2 r1
k(r
l0 )dr
k 2
[(r1
l0 )2
(r1
l0 )2 ]
综合应用例题
第十四章 动能定理
能量转换与功之间的关系是自然界中各种运动形式的普遍 规律，在机械运动中则表现为动能定理。
不同于动量定理和动量矩定理; 动能定理: 从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题， 有时是更为方便和有效的。同时，它可以建立机械运动与其 他运动形式之间的联系。 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念; 推导动能定理和机械能守恒定律; 将综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂 的动力学问题。
F k
力的方向指向自然位置（弹簧未变形时端点的位置A0） 以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。
令沿矢径方向的单位矢量为r0，弹簧的自然长度为l0。
则弹性力
F k(r l0 )r0
×
F k(r l0 )r0
F
A0
弹簧伸长时r＞ l0 ， 力F与r0的方向相反； 弹簧被压缩时 r＜ l0 ， 力F与r0的方向一致。
重力作功为：
W12
z2 z1
mgdz
mg
(
z1
z2
)
×
对于质点系，设质点i的质量mi； 运动始末高度差：（z i 1-z i 2）； 全部重力作功之和为：
W12 mi g(zi1 zi2 )
由质心坐标公式
z M1
z1
mi g
O
M2
z2
y
mzc mi zi
x
W12 mg(zc1 zc2 )
M2 (Xdx Ydy Zdz)
M1
称为功的解析表达式。
×
几种常见力所作的功 1. 重力的功
质点由M1运动到M2。 重力P=mg 投影为：
X 0,Y 0, Z mg
z M1
z1 mg
M2
O
z2
y
x
W12
M2 (Xdx Ydy Zdz)
M1
重力作功：
与开始和末了位置（z1-z2）有关； 与运动轨迹的形状无关。
W
F
dr
F
ds
(F
R)d
M z F R
z F
O1
A F
r
O
W M zd
×
W M zd
力F 在刚体从角φ1到φ2转动过程中 作的功为：
W12
2 1
M zd
z F
O1
A F
r
O
如果作用在刚体上是力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算， 其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在z轴上的投影。
W12
k 2
(12
2 2
)
弹性力作功的普遍公式
×
W12
k 2
(12
2 2
)
F A0
轨迹A1 A2是空间任意曲线。 弹性力作功只与弹簧始末
dr r
A dr
r2
的变形量有关； 与力作用点A轨迹形状无关
1
A1
r1
r0
O
l0
A2 2
δ1＞δ 2时，弹性力作用正功；
δ1＜δ 2时，弹性力作负功。
F
弹簧变形由δ1→δ2
×
4．平面运动刚体上力系的功
设平面运动刚体上受有多个力作用。
取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi
作用点Mi的位移为： dri drc dric
drc：质心的无限小位移；
driC
Fi
d
dric：点MI绕质心C的微小转动位移
drC
Mi
力Fi在点Mi位移上所作元功为
Wi
Fi
再由δ2 →δ3 ；
使δ1 - δ 2 = δ 2 –δ3，
O
1 2
两段相同位移弹性力作功也是不相等的。
×
3
3. 定轴转动刚体上作用力的功
设力F与力作用点A处的轨迹切线之间的夹角为θ
则力F在切线上的投影为：
F F cos
刚体绕定轴转动时，由转角与弧长s的关系：
ds Rd
R为点A到轴的垂距。
力F的元功为：