北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期3月模拟数学试题(pdf版含答案与评分标准)

人大附中2020-2021学年度高三3月统一练习

数学2021年3月31日

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．

一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项．

1．集合{}|ln(1)0M x x =+≥，{}

|24x N x =<，则M N 等于（） A ．()0,2

B ．(),2-∞

C ．[)0,2

D ．(],2-∞

2．若3230123(21)x a a x a x a x -=+++，则2a =（） A ．6

B ．6-

C ．12

D ．12-

3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若218a =，580S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．222n +

B ．222n -

C ．20n -

D ．()21n n -

4．已知向量(1,2)=a ，(1,0)=b ，(3,4)=c ．若()λ+ a b c ，则实数λ=（） A ．2

B ．1

C ．

1

2

D ．

14

5．欧拉恒等式：i πe 10+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数1和0完美地结合在一起，它可由欧拉公式i e cos isin ()θθθθ=+∈R 令πθ=得到．根据欧拉公式，2i e 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

6．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 为

双曲线C 右支上一点，直线1PF 与y 轴相交于点Q ，若2PQF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( )

A

B

C ．2

D

7．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的轮廓都是直角梯形，俯视图为正方形，则该几何体的体积是（） A ．

4

3

B ．83

C ．4

D ．8

8．在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．已知函数()()

21e e x x f x x a -=-++有唯一的零点，则a 的值为（） A ．12

-

B ．

12

C ．13

D ．13

-

10．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：h ）如下：

则完成这三件原料的描金工作最少需要（） A ．43h

B ．46h

C ．47h

D ．49h

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案全部填写在答题卡上． 11．在某项技能测试中，甲乙两人的成绩(单位：分)

记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a 代替．已知甲乙成绩的中位数相等，那么a 的值为___________．

12．在ABC △中，若sin cos()6

b A a B π

，则B __________，sin sin A C +的最大值

为___________．

13．若存在0(0,)x ∈+∞，使得00(1)()0f x f x ++=成立，写出一个满足上述条件的函数 ()f x =___________．

14．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足

||AB =||OA OB +

的最小值为___________．

15．若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=成立，则称()f x 为“自倒函数”．给出下列命题：

①自倒函数()f x 的值域可能是R ；

②存在实数a ，使得函数sin y x a =+是自倒函数； ③若()f x 是D 内的自倒函数，则1

()

y f x =

也是D 内的自倒函数； ④若()f x ，()g x 都是D 内的自倒函数，则()()y f x g x =⋅也是D 内的自倒函数．

则所有正确命题的序号是___________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）

在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，

的对边．若cos 2C b c =-=，再从条件①与②中选择一个作为已知，完成以下问题： （Ⅰ）求b c ，的值；

（Ⅱ）求角A 的大小及ABC △的面积．

条件①：sin sin C A =；条件②：

2222224a c b a b c c b +-+-=．

17．（本小题14分）

如图，已知平面ABC ⊥平面DBC ，120ABC DBC ︒∠=∠=，AB BC BD ==． （Ⅰ）连AD ，求证：AD BC ⊥； （Ⅱ）求AD 与平面BDC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD C --的余弦值．

18．（本小题14分）

某商超举办有奖促销活动，设计的抽奖活动如下：

一个不透明的箱子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，有放回地抽取3次．

方案①：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券； 方案②：若抽到红球则顾客获得120元的返金券，若抽到白球则未中奖． （Ⅰ）若顾客选择抽奖方案①，设其获得返金劵金额为X 元，求X 的分布列及期望； （Ⅱ）顾客选择哪种方案更划算？（直接写出结果）

D

C