北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期3月模拟数学试题(pdf版含答案与评分标准)

人大附中2020-2021学年度高三3月统一练习
数学2021年3月31日
本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．集合{}|ln(1)0M x x =+≥，{}
|24x N x =<，则M N 等于（） A ．()0,2
B ．(),2-∞
C ．[)0,2
D ．(],2-∞
2．若3230123(21)x a a x a x a x -=+++，则2a =（） A ．6
B ．6-
C ．12
D ．12-
3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若218a =，580S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．222n +
B ．222n -
C ．20n -
D ．()21n n -
4．已知向量(1,2)=a ，(1,0)=b ，(3,4)=c ．若()λ+ a b c ，则实数λ=（） A ．2
B ．1
C ．
1
2
D ．
14
5．欧拉恒等式：i πe 10+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数1和0完美地结合在一起，它可由欧拉公式i e cos isin ()θθθθ=+∈R 令πθ=得到．根据欧拉公式，2i e 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 为
双曲线C 右支上一点，直线1PF 与y 轴相交于点Q ，若2PQF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( )
A
B
C ．2
D
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的轮廓都是直角梯形，俯视图为正方形，则该几何体的体积是（） A ．
4
3
B ．83
C ．4
D ．8
8．在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知函数()()
21e e x x f x x a -=-++有唯一的零点，则a 的值为（） A ．12
-
B ．
12
C ．13
D ．13
-
10．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：h ）如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要（） A ．43h
B ．46h
C ．47h
D ．49h
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案全部填写在答题卡上． 11．在某项技能测试中，甲乙两人的成绩(单位：分)
记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a 代替．已知甲乙成绩的中位数相等，那么a 的值为___________．
12．在ABC △中，若sin cos()6
b A a B π
，则B __________，sin sin A C +的最大值
为___________．
13．若存在0(0,)x ∈+∞，使得00(1)()0f x f x ++=成立，写出一个满足上述条件的函数 ()f x =___________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足
||AB =||OA OB +
的最小值为___________．
15．若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=成立，则称()f x 为“自倒函数”．给出下列命题：
①自倒函数()f x 的值域可能是R ；
②存在实数a ，使得函数sin y x a =+是自倒函数； ③若()f x 是D 内的自倒函数，则1
()
y f x =
也是D 内的自倒函数； ④若()f x ，()g x 都是D 内的自倒函数，则()()y f x g x =⋅也是D 内的自倒函数．
则所有正确命题的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）
在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，
的对边．若cos 2C b c =-=，再从条件①与②中选择一个作为已知，完成以下问题： （Ⅰ）求b c ，的值；
（Ⅱ）求角A 的大小及ABC △的面积．
条件①：sin sin C A =；条件②：
2222224a c b a b c c b +-+-=．
17．（本小题14分）
如图，已知平面ABC ⊥平面DBC ，120ABC DBC ︒∠=∠=，AB BC BD ==． （Ⅰ）连AD ，求证：AD BC ⊥； （Ⅱ）求AD 与平面BDC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD C --的余弦值．
18．（本小题14分）
某商超举办有奖促销活动，设计的抽奖活动如下：
一个不透明的箱子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，有放回地抽取3次．
方案①：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券； 方案②：若抽到红球则顾客获得120元的返金券，若抽到白球则未中奖． （Ⅰ）若顾客选择抽奖方案①，设其获得返金劵金额为X 元，求X 的分布列及期望； （Ⅱ）顾客选择哪种方案更划算？（直接写出结果）
D
C
19．（本小题14分）
已知函数()2sin f x x a x =-．
（Ⅰ）求曲线()f x 在点()0,(0)f 处的切线方程； （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()cos f x x ≤，求a 的取值范围．
20．（本小题14分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，
112DF F F ⊥
，
121||
||F F DF =12DF F ∆
． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使其在x 轴的上方与C 有两个交点，且该圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过1F ，2F ？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题15分）
已知项数为(3)k k N k *∈≥，的数列{}n a 满足120k a a a ≤<<< ，若对任意的(1)i j i j k ≤≤≤，，
j i j i a a a a +-与至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．
（Ⅰ）判断数列0，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；
（Ⅱ）设项数为10的数列{}n a 具有性质P ，1036a =，求01912a a a a ++++ ； （Ⅲ）若数列{}n a 具有性质P ，且不是等差数列，求k ．
人大附中2020-2021学年度高三3月统一练习
数学参考答案与评分标准
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

1-5．CDBCB
6-10．CCCBB
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．22
12．
π
3
13．ln y x =(答案不唯
一) 14．4
15．③
注：第12题第一空3分，第二空2分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题14分） （Ⅰ）选用条件①：
由正弦定理
sin sin a c A C =，可得c =，可得a = 2分
因为cos C =2222a b c ab +-．
将2b c -=22
……………
5分
解得64b c ==，．
……………
8分
选用条件②：
由cos C =
，则C 为锐角，sin C ……………
2分
因为222222c 1 22os 4a c b a b c ac C ab +-+⋅-=，
由余弦定理，1cos cos 4B C ==，
则B 为锐角，sin B =
．
……………
5分
由正弦定理得
sin 3sin 2
b B
c C ==， 又由2b c -=，可得64b c ==，．
……………
8分
（Ⅱ）由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为0A π<<，所以3
A π
=
． ……………
11分
所以ABC △
的面积为11sin 6422S bc A ==⨯⨯=
……………
14分
17．（本小题14分）
（Ⅰ）作AO BC ⊥于点O ，连接OD ，
因为平面ABC ⊥平面DBC ，所以AO ⊥平面DBC ．
……………
2分
又120ABC DBC ︒∠=∠=，AB BC BD ==， 所以AOB DOB ≅△△，所以90DOB ∠= ．
又OD ⊂平面DBC ，所以OA ，OC ，OD 两两垂直．
……………
4分
如图建立直角坐标系O xyz -， 设1AB BC BD ===，则12OB =
，OA OD ==．
则A ⎛ ⎝⎭
，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，D ⎫⎪⎪⎝⎭． ……………
5分
所以AD =⎝⎭ ，()0,1,0BC =
． 所以0AD BC ⋅=
． 所以AD BC ⊥．
……………
6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知22AD =⎝⎭
， 平面BDC 的一个法向量为()10,0,1n =
．
设AD 与平面BDC 所成角为α，
则111sin cos ,2n AD
n AD n AD
α⋅====⋅
． 因为090α︒≤≤︒，所以AD 与平面BDC 所成角45α=︒．
……………
10分
（Ⅲ）设平面ABD 的一个法向量为()2,,n x y z =
，
由AD =⎝⎭
，10,,2AB ⎛= ⎝⎭ 可得
220102n AD n AB y ⎧⋅==⎪⎪⎨
⎪⋅==⎪⎩ ，．
令1x =
，则()
2n = ．
所以121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅
． 由题知二面角A BD C --
为钝角，故其余弦值为 ……………
14分
18．（本小题14分）
（Ⅰ）依题意，X 取值可为20360⨯=，202801120⨯+⨯=，201802160⨯+⨯=，
803240⨯=．
……………
2分
每次摸到红球的概率为
31124=，摸到白球的概率为93124
=． ……………
3分
依题意，3
03
327(60)464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1
2
131327(120)4464P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 223
139(180)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3
3311(240)464
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭． …………… 7分
所以X 的分布列为
X 的期望1
()6012018024010564646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯
=(元) ．
……………10分
（Ⅱ）选择方案①更划算．
……………
14分
若选择方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y ，最终获得返金
券的
金额为Z 元．
依题意，1~3,4Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以13()344E Y =⨯=．
该顾客获得返金劵金额的数学期望为3
()(120)120904
E Z E Y ==⨯=(元)． 从而有()()E X E Z >，所以应选择方案①更划算．
19．（本小题14分）
（Ⅰ）因为()2sin x f x a x =-，所以()00f =，()2cos x f a x '=-．
所以()02f a '=-．
…………… 3分
所以所求切线方程为2)(y a x =-．
……………
4分
（Ⅱ）法一：设()2sin cos x a x x g x --=，则当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0g x ≤．
所以()01002g g a ππ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
≤，≤，所以a π≥．
……………
6分
因为()()2cos sin 2g x a x x x ϕ-+='=-， 其中
cos ϕ=
sin ϕ=
，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ……………
8分
又当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，
,2x πϕϕϕ⎡⎤
-∈--⎢⎥⎣⎦
，
所以()g x '在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增．
因为()020g a '=-<，302g π⎛⎫
'=> ⎪⎝⎭，
所以存在00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使()0=0g x '．
……………
11分
所以()g x 在()00,x 单调递减，在0,2x ⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递增．
……………
13分
依题意，只需()01002g g a ππ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
≤，≤，即a π≥．
所以a 的取值范围是[),+π∞．
……………
14分
法二：设()2sin cos x a x x g x --=，则当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0g x ≤．
当0x =时，()010g =-≤．
当0,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦时，设()()c si 2os s n in x x a h x
g x x x ==--．
……………
6分
则()22(2sin )sin (2cos )cos 2sin 2cos 1
sin sin x x x x x x x x x x
h x +--+=
='-．
令()2sin 2cos 1x x x x ϕ=-+，则()2cos 2cos 2sin 2sin x x x x x x x ϕ'=-+=． 所以0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增．
……………
9分
所以0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()(0)10x ϕϕ>=>，()2()0sin h x x x ϕ='>，()h x 单调递增．
……………12分
依题意，只需02h a ππ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
≤，即a π≥．
所以a 的取值范围是[),+π∞．
……………
14分
20．（本小题14分）
（Ⅰ）依题意，12
1
11212F F DF DF F F ⎧=⎪⎪⎨
⎪⋅=⎪⎩
解得，12122
F F DF ⎧=⎪
⎨=⎪⎩，
…………… 2分
所以()(
)1221,01,0 F F DF -=
=，，
． 所以1c =
，122a DF DF =+=
所以1a b ===．
所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=．
……………
5分
（Ⅱ）假设存在满足条件的圆T ．
设()()111222,,P x y P x y ，是圆T 与椭圆C 的两个交点，2100y y >>，， 11F P ，22F P 是圆T 的切线，且11F P ⊥22F P ．
由圆和椭圆的对称性，易知1221x x y y =-=，，1212PP x =．
……………
6分
由（Ⅰ）知()()121,01,0F F -，，所以()()1111
22111, 1,F P x y F P x y =+=--
，．
因为11F P ⊥22F P ，所以()22
11221110F P F P x y +=⋅=-+ ，
……………
8分
又10y >，所以111y x =+．
由椭圆方程得()22
11112
x x ++=，即211340x x +=，
解得14
3
x =-
或10x =． ……………
10分
当10x =时，12P P ，重合，此时题设要求的圆不存在．
……………
11分
当143x =-
时，11
3
y =．过1P 与11F P 垂直的直线与y 轴的交点即为圆心T ． 设()00,T y ，由111
TP F P ⊥，得101
1111
y y y x x -⋅=-+，即0111
3344133
y -⋅=---+， 解得05
3y =．
所以圆T
的半径1TP =． 综上，存在满足条件的圆，其方程为：2
2
53239x y ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭．
……………
14分
21．（本小题15分）
（Ⅰ）数列0,2,4,8不具有性质P ． ……………
2分
因为2810+=，826-=，它们均不是数列0,2,4,8中的项， 所以数列0,2,4,8不具有性质P ．
……………
4分
（Ⅱ）考虑项数为k 的具有性质P 数列{}n a ．
因为1210k k a a a a -≤<<<< ，k k a a M +∉， 所以k k a a M -∈，即0M ∈，所以10a =．
……………
5分
设2i k ≤≤，因为k i a a M +∉，所以k i a a M -∈． 又1210k k k k k k a a a a a a a a -=-<-<<-<- ，
所以112211 k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ---=-=-=-= ，
，，，．…………… 7分
将上面的式子相加得()121121k k k k k ka a a a a a a a a ---++++=++++ ． 所以1212
k
k k ka a a a a -=
++++ ． ……………
8分
第11页 共11页
故当103610k a ==，时，910121036
1802
a a a a ⨯++=
++= ． …………… 9分
（Ⅲ）一、当3k =时，
由（Ⅱ），10a =，32221a a a a a -==-，
与数列{}n a 不是等差数列矛盾，不合题意．
……………
10分
二、当4k =时，
存在数列符合题意，例如数列0,2,6,8，故k 可为4．
……………
11分
三、当5k ≥时，
由（Ⅱ），1(01)k k i i a a a i k -+-=≤≤-．(*) 当31i k ≤≤-时，11
2k i k k a a a a a --+>
+
=，所以1k i a a M -+∉，
1k i a a M --∈．
又111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<<-<-= ， 12320k k a a a a --=<<<< ，
所以111122133 k k k k k k a a a a a a a a a -------=-=-= ，，，
． 所以1(13)k k i i a a a i k ---=≤≤-．
因为5k ≥，所以111k k a a a ---=，122k k a a a ---=． 所以111k k a a a ---=，122k k a a a ---=， 所以1(11)k k i i a a a i k ---=≤≤-．(**)
由(*)(**)两式相减得，11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-． 与数列{}n a 不是等差数列矛盾，不合题意．
……………
14分
综上所述，4k =．
……………
15分。