最全线性规划题型总结

线性规划题型总结

1.

“截距”型考题

在线性约束条件下， 求形如z =ax • by （a,b ・R ）的线性目标函数的最值问题， 通常转化为求 直线在y 轴上的截距 的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得 掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差

最大值为（

）

A — B1 C- D 3

答案：D

目标函数z=x+y 结果可行域的A 点时，目标函数取得最 大值，

由｛厂;可得A （0,3）,目标函数z=x+y 的最大值为：3.

2. （2017?新课标川）若x,y 满足约束条件x4y-2<0 , [y>0

则z=3x - 4y 的最小值为

答案：-1.

解：由z=3x - 4y ，得y=：x -丰，作出不等式对应的可 行域（阴影部分），

平移直线y=^x -手，由平移可知当直线y^x -手，

4 4 4 4 经过点B （ 1, 1）时，直线y=^x -号的截距最大，此 时z 取得最小值，

将B 的坐标代入z=3x - 4y=3 - 4=- 1, 即目标函数z=3x - 4y 的最小值为-1.

:

1

X..

乂

1. （2017?天津）设变量x , y 满足约束条件

v+2y-2^0

,则目标函数z=x+y 的

解：变量x ,y 满足约束条件 x+2y-2^0

KO

的可行域如

图: -3 -4 -5

4

3.（2017?浙江）若x 、y 满足约束条件x+y-3>0 ,则z=x+2y 的取值范围是（

A. [0 , 6]

B. [0 , 4]

C. [6 , +x)

D. [4 , +^ 答案：D. 解：x 、y 满足约束条件《 ,表示的可行域如图: 目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值, :打解得C （2,1）， 目标函数的最小值为：4 1 7

目标函数的范围是［4 , +x 4. （ 2016?河南二模）已知x , y € R,且满足 A. 10 B. 8 C. 6 D. 3 答案：C. 解：作出不等式组 由 z=|x+2y| , 平移直线y=- 十， 1 x -

2

由图象可知当直线 y=- ，则z=|x+2y|的最大值为（ ，对应的平面区域如图：（阴影部分） 许经过点A 时, 值， 此时z 最大. 即 A （- 2,- 2）, 代入目标函数z=|x+2y|得z=2X 2+2=6。 5. （2016?湖南模拟）设变量 x 、y 满足约束 条件 ，则z=32x -y 的最大值为（ A. 答案：D. 解：约束条件对应的平面区域如图： 令2x - y=t ，变形得y=2x - t ，根据t 的几何 意义，由约束条件知t 过A 时在y 轴的截距最 C. 3 D. 9 3 4 5

z 取得最大

八

y 5

八

A -3

-4

产河得到交点A

（丄，所以t 最小为 1x1-

1

[x+2y=l 3 3

3

3 3

大，使t 最小，由

;过C 时直线

t 最大，由 解得C （ 1, 0）,所以 y=2x - t 在y 轴截距最小, 0=2,所以疋占2］, 2 . “距离”型考题 在线性约束条件下，求形如 求点（a , b ）到阴影部分的某个点的距离的平方 2

z= (x-a ) + ( y-b )

6. (2016? 山东）若变量x , y 满足 t 的最大值为2X 1 -

2

的线性目标函数的最值问题，通常转化为 的取值• * - 3y^9 ，则x 2+y 2

的最大值是（ A. 4 B. 答案：C. 9C. 10 D. 12 解：由约束条件 作出可行域如图, ••• A (0, - 3), C (0, 2), ••• |OA| > |OC| , \+y=2 - 3尸9 ••• 1计二(E (-1)

巧 2

• x?+y2的最大值是10. 联立,

，解得 B (3, - 1). =10,

7. （2016? 垂足称为点 ［雄-2<0 s-3y+a>0 影构成的线段记为 AB 贝则］AB|=（ ） A. 2 .二 B . 4 C. 3 匚 D . 6 答案：C 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 部分）,

浙江）在平面上，过点 P 作直线I P 在直线I 上的投影，由区域 中的点在直线x+y - 2=0上的投

区域内的点在直线 x+y - 2=0上的投影构成线段 Q ，即 SAB 而 R Q' =RQ u - 3艸4二 0 i=2

x+y=0

，即 Q (- 1 , 1),

（阴影 y=l

K =2

y=~ 2

则 |AB|=|QR|= -1-2 '亠 1-2

」=.心3 一 ■:,

，即 R( 2, - 2),

& （2016?安徽模拟） 如果实数x, y 满足

2K - y>0

，则 z=x 2+y 2- 2x 的最小值是(

)

A. 3 B . C

. 4 D.- 2 答案： 解：由 设 m= （x - 1） 2+y 2, 则m 的几何意义是区域内的点到点 D （1, 离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知D 到AC 的距离为最小值， I1W-4I 3

B. 2 2 z=x +y - 2x= 2 2

/ 、 2 2 (X - 1) +y - 1, 此时d= 贝U m=d= (―^=) 2

V2 」-仁一 - 二 贝V z=m — 1 3. “斜率”型考题 z= 土边 的线性目标函数的最值问题，通常转化为 求过点（a , x — a 阴影部分的某个点的直线斜率 的取值• 在线性约束条件下，求形如

b ) 9.

（2016?唐山一模）若x , y 满足不等式组

y-2>0 x-y+l>0 x-by- 5<0 A. B. 1 C. 2 D. 3

2 答案：C 解：由题意作平面区域如下， —的几何意义是阴影内的点（x , y ）与原点的连 线的斜率，结合图象可知， 过点A （ 1, 2）时有最大值，此时

-==2,

X 1-0 10. （2016?莱芜一模）已知x , y 满足约束条件 y

，则工的最大值是（ ，则 z= 的范围是（ A [ ,2] B . B[-

- -

1

-

二

::,

答案：C 解：画出满足条件的平面区域，如图示: