平方差、完全平方公式总结2015.3

乘法公式的应用

1、平方差

2－b2

平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝a

平方差公式的特征：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．

推广：多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。

2、完全平方公式

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab＋b2

完全平方公式的特征：

（a+b）2=a2+2ab＋b2与(a－b)2=a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．

①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．

②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．

③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．

④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.

推广：（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

3、立方和（差）公式

立方和(差)公式: (a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3。

4、由平方差,立方和(差)公式引申的公式

(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4，

(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6

5、公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。

由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。

由公式的推广可知：当n为正整数时，a n-b n能被a-b整除；a2n+1+b2n+1能被a+b整除；a2n-b2n 能被a+b及a-b整除。

6、乘法公式的主要变式

(1) (a ＋b)2－(a －b)2＝4ab;

(2) (a ＋b)2＋(a －b)2=2(a 2＋b 2)；

(3) a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab

(4) a 3＋b 3=(a ＋b)3－3ab(a ＋b)

7、三元公式的一些变化：

()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤+++++=+++++⎣

⎦ 注意：

(1)公式中的a ，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式.

(2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.

(3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.